Косинустың туындысы синустың туындысына ұқсастық арқылы табылады, дәлелдеудің негізі функцияның шегін анықтау болып табылады. Бұрыштардың косинусы мен синусын тригонометриялық азайту формулаларын қолданып, басқа әдісті қолдануға болады. Бір функцияны екіншісі арқылы өрнектеңіз - косинусты синус арқылы өрнектеңіз және синусты күрделі аргументпен ажыратыңыз.
(Cos(x))' формуласын шығарудың бірінші мысалын қарастырыңыз
y=Cos(x) функциясының x аргументіне елеусіз аз Δx өсімін беріңіз. х+Δх аргументінің жаңа мәнімен Cos(х+Δх) функциясының жаңа мәнін аламыз. Сонда Δy функция өсімі Cos(х+Δx)-Cos(x) тең болады.
Функция өсімінің Δх-қа қатынасы: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Алынған бөлшектің алымы бойынша бірдей түрлендірулерді жүргізейік. Бұрыштардың косинустарының айырмасының формуласын еске түсірейік, нәтиже -2Sin (Δx / 2) есе Sin (x + Δx / 2) көбейтіндісі болады. Δx нөлге ұмтылатындықтан, біз осы туындының лимитін бөлетін шегін Δx бойынша табамыз. Бірінші екені белгілі(оны тамаша деп атайды) lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) 1-ге тең, ал -Sin(x+Δx/2) шегі -Sin(x) тең Δx ретінде. нөлге ұмтылады. Нәтижені жазыңыз: (Cos(x))' туындысы - Sin(x).
Кейбір адамдар бір формуланы алудың екінші әдісін қалайды
Тригонометрия курсынан белгілі: Cos(x) тең Sin(0, 5 ∏-x), сол сияқты Sin(x) да Cos(0, 5 ∏-x) тең. Сонда күрделі функцияны – қосымша бұрыштың синусын (х косинусының орнына) ажыратамыз.
Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' туындысын аламыз, өйткені х синусының туындысы Х косинусқа тең. (0,5 ∏-x)'=-1 екенін ескере отырып, косинусты синусқа ауыстырудың Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) екінші формуласына көшеміз. Енді -Sin(x) аламыз. Сонымен, косинустың туындысы табылды, y=Cos(x) функциясы үшін y'=-Sin(x).
Квадрат косинус туынды
Косинус туындысы қолданылатын жиі қолданылатын мысал. y=Cos2(x) функциясы қиын. Алдымен 2 дәрежелі дәрежелі функцияның дифференциалын табамыз, ол 2·Cos(x) болады, содан кейін оны туындыға (Cos(x))' көбейтеміз, ол -Sin(x) тең. Біз у'=-2 Cos(x) Sin(x) аламыз. Қос бұрыштың синусы Sin(2x) формуласын қолданғанда біз соңғы жеңілдетілгенжауап y'=-Sin(2x) аламыз
Гиперболалық функциялар
Олар көптеген техникалық пәндерді оқуда қолданылады: математикада, мысалы, интегралдарды есептеуді, дифференциалдық теңдеулерді шешуді жеңілдетеді. Олар ойша тригонометриялық функциялар арқылы өрнектеледіаргумент, сондықтан гиперболалық косинус ch(x)=Cos(i x), мұндағы i – елестетілген бірлік, гиперболалық синус sh(x)=Sin(i x).
Гиперболалық косинустың туындысы өте қарапайым есептеледі.
y=функциясын қарастырайық (ex+e-x) /2, бұл және гиперболалық косинус ch(x). Екі өрнектің қосындысының туындысын табу ережесін, туындының таңбасынан тұрақты көбейткішті (Const) алу ережесін қолданамыз. Екінші мүшесі 0,5 e-x күрделі функция (оның туындысы -0,5 e-x), 0,5 eх - бірінші тоқсан. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' жазуға болады басқа жолмен: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, себебі туынды (e - x)' тең -1 есе e-x. Нәтиже айырмашылық болып табылады және бұл sh(x) гиперболалық синусы.Шығыс: (ch(x))'=sh(x).
Қалай істеуге болатынын мысалға қарастырайық. y=ch(x
3+1) функциясының туындысын есептеңіз.Күрделі y'=sh(x
аргументі бар гиперболалық косинус дифференциалдау ережесіне сәйкес. 3+1) (x 3+1)', мұнда (x3+1)'=3 x 2+0. Жауап: бұл функцияның туындысы 3 x
2sh(x3+1).
Қарастырылған функциялардың кестелік туындылары y=ch(x) және y=Cos(x)
Мысалдар шешкен кезде ұсынылған схема бойынша оларды әр уақытта ажыратудың қажеті жоқ, қорытындыны қолдану жеткілікті.
Мысалы. y=функциясын дифференциалдаңызCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Есептеу оңай (кестелік деректерді пайдалану), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
