Айнымалылар дегеніміз не? Математикадағы айнымалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Математикадағы айнымалылардың маңызы зор, өйткені оның өмір сүрген уақытында ғалымдар осы салада көптеген жаңалықтар ашуға қол жеткізді және осы немесе басқа теореманы қысқаша және анық айту үшін біз айнымалылар арқылы сәйкес формулаларды жазамыз.. Мысалы, тікбұрышты үшбұрыш туралы Пифагор теоремасы: a² =b² + c^{2. Есепті шығарған кезде әр уақытта қалай жазу керек: Пифагор теоремасы бойынша гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең - біз мұны формуламен жазамыз, сонда бәрі бірден түсінікті болады.}

Сонымен, бұл мақалада айнымалылар дегеніміз не, олардың түрлері мен қасиеттері талқыланады. Әртүрлі математикалық өрнектер де қарастырылады: теңсіздіктер, формулалар, жүйелер және оларды шешу алгоритмдері.

Айнымалы ұғымы

Біріншіден, айнымалы дегеніміз не? Бұл көптеген мәндерді қабылдай алатын сандық мән. Ол тұрақты болуы мүмкін емес, өйткені әртүрлі есептер мен теңдеулерде ыңғайлы болу үшін біз шешімдерді қабылдаймызайнымалы әртүрлі сандар, яғни, мысалы, z - бұл қабылданған шамалардың әрқайсысының жалпы белгісі. Әдетте олар латын немесе грек алфавитінің әріптерімен белгіленеді (x, y, a, b және т.б.).

Айнымалылардың әртүрлі түрлері бар. Олар кейбір физикалық шамаларды – жолды (S), уақытты (t) және теңдеулердегі, функциялардағы және басқа өрнектердегі жай белгісіз мәндерді орнатады.

Мысалы, мына формула бар: S=Vt. Мұнда айнымалылар нақты әлемге қатысты белгілі шамаларды – жолды, жылдамдықты және уақытты білдіреді.

Ал мынадай теңдеу бар: 3x - 16=12x. Мұнда x қазірдің өзінде осы белгіде мағынасы бар дерексіз сан ретінде қабылданған.

Мөлшер түрлері

Мөлшер белгілі бір заттың, заттың немесе құбылыстың қасиеттерін білдіретін нәрсені білдіреді. Мысалы, ауа температурасы, жануардың салмағы, таблеткадағы витаминдердің пайызы - бұл сандық мәндерін есептеуге болатын шама.

Әр шаманың өз өлшем бірліктері бар, олар бірігіп жүйе құрайды. Ол санау жүйесі (SI) деп аталады.

Айнымалылар мен тұрақтылар дегеніміз не? Оларды нақты мысалдармен қарастырыңыз.

Түз сызықты бірқалыпты қозғалысты алайық. Кеңістіктегі нүкте әр уақытта бірдей жылдамдықпен қозғалады. Яғни, уақыт пен қашықтық өзгереді, бірақ жылдамдық өзгеріссіз қалады. Бұл мысалда уақыт пен қашықтық айнымалы, ал жылдамдық тұрақты.

Немесе, мысалы, “pi”. Бұл қайталанбай жалғасатын иррационал сансандар тізбегі және оны толық жазу мүмкін емес, сондықтан математикада ол берілген шексіз бөлшектің мәнін ғана қабылдайтын жалпы қабылданған таңбамен өрнектеледі. Яғни, «pi» тұрақты мән болып табылады.

Тарих

Айнымалыларды белгілеудің тарихы XVII ғасырда ғалым Рене Декарттан басталады.

Ол белгілі мәндерді алфавиттің бірінші әріптерімен белгіледі: a, b және т.б., ал белгісіз үшін ол соңғы әріптерді пайдалануды ұсынды: x, y, z. Бір қызығы, Декарт мұндай айнымалыларды теріс емес сандар деп есептеп, теріс параметрлермен бетпе-бет келгенде айнымалының алдына минус таңбасын немесе санның қандай таңба екені белгісіз болса эллипсті қояды. Бірақ уақыт өте келе айнымалылардың атаулары кез келген белгінің сандарын білдіре бастады және бұл математик Иоганн Хаддеден басталды.

Айнымалылары бар математикадағы есептеулерді шешу оңайырақ, өйткені, мысалы, қазір биквадрат теңдеулерді қалай шешеміз? Біз айнымалыны енгіземіз. Мысалы:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 үшін біз біраз k аламыз, сонда теңдеу анық болады:

x2=k, k ≧ 0 үшін

k2 + 15 мың + 7=0

Айнымалыларды енгізу математикаға әкелетін нәрсе.

Теңсіздіктер, шешімдер мысалдары

Теңсіздік – екі математикалық өрнек немесе екі сан салыстыру белгілерімен байланысқан жазба:, ≦, ≧. Олар қатаң және белгілермен немесе қатаң емес ≦, ≧ белгілерімен көрсетіледі.

Бұл белгілер алғаш рет енгізілдіТомас Харриот. Томас қайтыс болғаннан кейін оның осы белгілермен кітабы жарық көрді, олар математиктерге ұнады және уақыт өте келе олар математикалық есептеулерде кеңінен қолданыла бастады.

Бір айнымалы теңсіздіктерді шешу кезінде ұстанатын бірнеше ережелер бар:

Теңсіздіктің бір бөлігінен екінші бөлігіне санды ауыстырған кезде оның таңбасын керісінше өзгертіңіз.
Теңсіздік бөліктерін теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде олардың таңбалары кері болады.
Егер теңсіздіктің екі жағын да оң санға көбейтсеңіз немесе бөлсеңіз, бастапқыға тең теңсіздік шығады.

Теңсіздікті шешу айнымалы үшін барлық жарамды мәндерді табуды білдіреді.

Бір айнымалы мысал:

10x - 50 > 150

Біз оны кәдімгі сызықтық теңдеу сияқты шешеміз - айнымалысы бар мүшелерді солға, айнымалысы жоқ - оңға жылжытамыз және ұқсас шарттарды береміз:

10x > 200

Теңсіздіктің екі жағын 10-ға бөлеміз және мынаны аламыз:

x > 20

Түсінікті болу үшін бір айнымалысы бар теңсіздікті шешу мысалында сан түзуін сызыңыз, оған тесілген 20 нүктесін белгілеңіз, өйткені теңсіздік қатаң және бұл сан оның шешімдерінің жиынына кірмейді..

Бұл теңсіздіктің шешімі (20; +∞) интервал болып табылады.

Қатаң емес теңсіздікті шешу қатаң теңсіздік сияқты орындалады:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Бірақ бір ерекшелік бар. x ≧ 5 түріндегі жазбаны келесідей түсіну керек: x бестен үлкен немесе оған тең, яғнибес саны теңсіздіктің барлық шешімдерінің жиынына кіреді, яғни жауапты жазғанда бес санының алдына төртбұрышты жақша қоямыз.

x ∈ [5; +∞)

Квадрат теңсіздіктер

Егер ax2 + bx +c=0 түріндегі квадрат теңдеуді алып, ондағы теңсіздік таңбасына теңдік белгісін өзгертсек, сәйкесінше мынаны аламыз. квадрат теңсіздік.

Квадрат теңсіздікті шешу үшін квадрат теңдеулерді шеше білу керек.

y=ax2 + bx + c квадраттық функция. Біз оны дискриминантты немесе Виета теоремасын пайдаланып шеше аламыз. Бұл теңдеулердің қалай шешілетінін еске түсіріңіз:

1) y=x2 + 12x + 11 - функция парабола. Оның тармақтары жоғары бағытталған, өйткені «a» коэффициентінің таңбасы оң.

2) x2 + 12x + 11=0 - нөлге теңестіріп, дискриминант арқылы шешіңіз.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 түбір

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бойынша мынаны аламыз:

x₁ =-1, x_2=-11

Немесе бұл теңдеуді Виета теоремасы арқылы шешуге болады:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Таңдау әдісін қолданып, теңдеудің бірдей түбірлерін аламыз.

Парабола

Сонымен, квадрат теңсіздікті шешудің бірінші жолы – парабола. Оны шешу алгоритмі келесідей:

1. Парабола тармақтары қайда бағытталғанын анықтаңыз.

2. Функцияны нөлге теңестіріп, теңдеудің түбірін табыңыз.

3. Сан сызығын саламыз, оған түбірлерді белгілейміз, парабола саламыз және теңсіздік белгісіне қарай қажетті саңылауды табамыз.

Теңсіздігін шеш x2 + x - 12 > 0

Функция ретінде жазыңыз:

1) y=x2 + x - 12 - парабола, жоғары тармақтар.

Нөлге орнатылды.

2) x2 + x -12=0

Содан кейін квадрат теңдеуді шешіп, функцияның нөлдерін табамыз:

x₁ =3, x_2=-4

3) 3 және -4 нүктелері бар сан түзуін сызыңыз. Парабола олар арқылы өтеді, тармақталады және теңсіздіктің жауабы оң мәндер жиыны болады, яғни (-∞; -4), (3; +∞).

Интервал әдісі

Екінші жол - аралық әдісі. Оны шешу алгоритмі:

1. Теңсіздік нөлге тең теңдеудің түбірін табыңыз.

2. Біз оларды сандар жолында белгілейміз. Осылайша ол бірнеше аралықтарға бөлінеді.

3. Кез келген интервалдың таңбасын анықтаңыз.

4. Біз белгілерді бірінен кейін өзгерте отырып, қалған аралықтарға қоямыз.

Теңсіздігін шеш (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Теңсіздік нөлдері: 4, 5 және -7.

2) Оларды сан түзуіне сызыңыз.

3) аралықтардың белгілерін анықтаңыз.

Жауабы: (-∞; -7]; [4; 5].

Тағы бір теңсіздікті шешіңіз: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Теңсіздік нөлдері: 0, 2, -2 және 1.

2. Оларды сан жолында белгілеңіз.

3. Интервал белгілерін анықтаңыз.

Сызық интервалдарға бөлінеді - -2-ден 0-ге дейін, 0-ден 1-ге дейін, 1-ден 2-ге дейін.

Бірінші аралықтағы мәнді алыңыз - (-1). Теңсіздікте алмастыру. Бұл мәнмен теңсіздік оң болады, яғни бұл аралықтағы белгі + болады.

Одан әрі бірінші аралықтан бастап белгілерді реттейміз, бірінен кейін өзгертеміз.

Теңсіздік нөлден үлкен, яғни жолдан оң мәндер жиынын табу керек.

Жауабы: (-2; 0), (1; 2).

Теңдеулер жүйесі

Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі – жалпы шешімін табу қажет болатын бұйра жақшамен қосылған екі теңдеу.

Егер олардың біреуінің жалпы шешімі екіншісінің шешімі болса немесе екеуінің де шешімі болмаса, жүйелер баламалы болуы мүмкін.

Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесінің шешімін зерттейміз. Оларды шешудің екі жолы бар – ауыстыру әдісі немесе алгебралық әдіс.

Алгебралық әдіс

Суретте көрсетілген жүйені осы әдіс арқылы шешу үшін алдымен оның бір бөлігін осындай санға көбейту керек, осылайша кейін теңдеудің екі бөлігінен де бір айнымалыны өзара жоюға болады. Мұнда біз үшке көбейтеміз, жүйенің астына сызық жүргіземіз және оның бөліктерін қосамыз. Нәтижесінде х модулі бойынша бірдей, бірақ таңбасы қарама-қарсы болады және біз оларды азайтамыз. Әрі қарай, бір айнымалысы бар сызықтық теңдеуді аламыз және оны шешеміз.

Біз Y-ді таптық, бірақ мұнымен тоқтай алмаймыз, өйткені біз әлі Х-ті таппадық. АуыстыруX алу ыңғайлы болатын бөлікке Y, мысалы:

-x + 5y=8, y=1

-x + 5=8

Алынған теңдеуді шешіп, х табыңыз.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Жүйені шешуде ең бастысы - жауапты дұрыс жазу. Көптеген студенттер жазуда қателеседі:

Жауабы: -3, 1.

Бірақ бұл қате жазба. Өйткені, жоғарыда айтылғандай, теңдеулер жүйесін шешкен кезде оның бөліктерінің жалпы шешімін іздейміз. Дұрыс жауап:

(-3; 1)