Цилиндр – мектептегі геометрия курсында оқытылатын қарапайым үш өлшемді фигуралардың бірі (тұтас геометрия бөлімі). Бұл жағдайда цилиндрдің көлемі мен массасын есептеуде, сондай-ақ оның бетінің ауданын анықтауда жиі мәселелер туындайды. Белгіленген сұрақтарға жауаптар осы мақалада берілген.
Цилиндр дегеніміз не?
Цилиндрдің массасы және оның көлемі қандай деген сұраққа жауап бермес бұрын, бұл кеңістіктік фигураның қандай екенін қарастырған жөн. Цилиндр үш өлшемді объект екенін бірден атап өткен жөн. Яғни, кеңістікте декарттық тікбұрышты координаталар жүйесіндегі осьтердің әрқайсысының бойымен оның үш параметрін өлшеуге болады. Шындығында, цилиндрдің өлшемдерін бір мағыналы анықтау үшін оның екі параметрін ғана білу жеткілікті.
Цилиндр – екі шеңберден және цилиндрлік беттен құралған үш өлшемді фигура. Бұл нысанды нақтырақ көрсету үшін тіктөртбұрышты алып, оның кез келген жағының айналасында айналдыруды бастау жеткілікті, ол айналу осі болады. Бұл жағдайда айналмалы тіктөртбұрыш пішінді сипаттайдыайналу - цилиндр.
Екі дөңгелек бет цилиндрдің табаны деп аталады, олар белгілі бір радиуспен сипатталады. Негіздердің арасындағы қашықтық биіктік деп аталады. Екі негіз бір-бірімен цилиндрлік бетпен байланысқан. Екі шеңбердің центрі арқылы өтетін түзу цилиндрдің осі деп аталады.
Көлемі және бетінің ауданы
Жоғарыдағыдан көріп отырғаныңыздай, цилиндр екі параметрмен анықталады: h биіктігі және оның табанының радиусы r. Осы параметрлерді біле отырып, қарастырылатын дененің барлық басқа сипаттамаларын есептеуге болады. Төменде негізгілері:
- Негіздердің ауданы. Бұл мән мына формула бойынша есептеледі: S1=2pir2, мұндағы pi – 3-ке тең, 14. 2-сан Цилиндрдің екі бірдей негізі болғандықтан, формулада пайда болады.
- Цилиндрлік бетінің ауданы. Оны келесідей есептеуге болады: S2=2pirh. Бұл формуланы түсіну оңай: егер цилиндрлік бет бір негізден екіншісіне тігінен кесіліп, кеңейтілсе, онда биіктігі цилиндрдің биіктігіне тең болатын тіктөртбұрыш алынады, ал ені - үш өлшемді фигураның табанының шеңбері. Алынған тіктөртбұрыштың ауданы h және 2pir-ге тең қабырғаларының көбейтіндісі болғандықтан, жоғарыдағы формула алынды.
- Цилиндр бетінің ауданы. Ол S1 және S2 аудандарының қосындысына тең, біз мынаны аламыз: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Дыбыс. Бұл мәнді табу оңай, тек бір негіздің ауданын фигураның биіктігіне көбейту керек: V=(S1/2)h=pir 2 сағ.
Цилиндрдің массасын анықтау
Соңында, мақаланың тақырыбына тікелей өту керек. Цилиндрдің массасын қалай анықтауға болады? Мұны істеу үшін сіз оның көлемін, жоғарыда келтірілген есептеу формуласын білуіңіз керек. Және ол тұратын заттың тығыздығы. Масса қарапайым формуламен анықталады: m=ρV, мұндағы ρ – қарастырылып отырған нысанды құрайтын материалдың тығыздығы.
Тығыздық ұғымы кеңістіктің бірлік көлеміндегі заттың массасын сипаттайды. Мысалға. Темірдің ағашқа қарағанда тығыздығы жоғары екені белгілі. Бұл темір мен ағаш заттарының көлемі бірдей болған жағдайда, біріншісінің массасы екіншісінен әлдеқайда үлкен болады (шамамен 16 есе).
Мыс цилиндрінің массасын есептеу
Қарапайым мәселені қарастырыңыз. Мыстан жасалған цилиндрдің массасын табу керек. Анық болу үшін цилиндрдің диаметрі 20 см және биіктігі 10 см болсын.
Мәселені шешуді бастамас бұрын, бастапқы деректермен айналысу керек. Цилиндрдің радиусы оның диаметрінің жартысына тең, яғни r=20/2=10 см, ал биіктігі h=10 см. Есепте қарастырылатын цилиндр мысдан жасалғандықтан, онда сілтеме жасай отырып анықтамалық деректерде біз осы материалдың тығыздық мәнін жазамыз: ρ=8, 96 г/см3 (температура 20 °C үшін).
Енді мәселені шешуге кірісуге болады. Алдымен көлемді есептейік: V=pir2сағ=3, 14(10)210=3140 см3. Сонда цилиндрдің массасы: m=ρV=8,963140=28134 грамм немесе шамамен 28 килограмм болады.
Сәйкес формулаларда пайдалану кезінде бірліктердің өлшеміне назар аудару керек. Мәселен, мәселеде барлық параметрлер сантиметрмен және грамммен берілген.
Біртекті және қуыс цилиндрлер
Жоғарыда алынған нәтижеден салыстырмалы түрде шағын өлшемді (10 см) мыс цилиндрдің үлкен массасы (28 кг) болатынын көруге болады. Бұл оның ауыр материалдан жасалғандығынан ғана емес, сонымен қатар біртектілігіне байланысты. Бұл фактіні түсіну маңызды, өйткені массаны есептеуге арналған жоғарыда келтірілген формуланы цилиндр толығымен (сыртында және ішкі) бір материалдан жасалған, яғни біртекті болған жағдайда ғана қолдануға болады.
Іс жүзінде қуыс цилиндрлер жиі қолданылады (мысалы, суға арналған цилиндрлік бөшкелер). Яғни, олар қандай да бір материалдың жұқа парақтарынан жасалған, бірақ ішінде олар бос. Қуыс цилиндр үшін массаны есептеу үшін көрсетілген формуланы пайдалану мүмкін емес.
Бос цилиндрдің массасын есептеу
Мыс цилиндрі ішінде бос болса, оның массасы қандай болатынын есептеу қызық. Мысалы, ол қалыңдығы небәрі d=2 мм болатын жұқа мыс парақтан жасалсын.
Бұл мәселені шешу үшін объект жасалған мыстың өзінің көлемін табу керек. Цилиндрдің көлемі емес. Өйткені қалыңдығыпарақ цилиндрдің өлшемдерімен салыстырғанда кішкентай (d=2 мм және r=10 см), содан кейін объект жасалған мыстың көлемін цилиндрдің бүкіл бетінің ауданын көбейту арқылы табуға болады мыс парақ қалыңдығы, біз аламыз: V=dS 3=d2pir(r+h). Алдыңғы есептің деректерін ауыстырсақ, мынаны аламыз: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 см3. Шұңқыр цилиндрдің массасын оны өндіру үшін қажет алынған мыстың көлемін мыстың тығыздығына көбейту арқылы алуға болады: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 г немесе 2,3 кг. Яғни, қарастырылып отырған қуыс цилиндрдің салмағы біртектіден 12 (28, 1/2, 3) есе аз.
