Матрицалар мен анықтауыштар XVIII-XIX ғасырларда ашылды. Бастапқыда олардың дамуы геометриялық объектілерді түрлендіруге және сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге қатысты. Тарихи тұрғыдан алғанда, алғашқы екпін детерминантқа бағытталған. Қазіргі сызықтық алгебраны өңдеу әдістерінде бірінші кезекте матрицалар қарастырылады. Бұл сұраққа біраз уақыт ой жүгірткен жөн.
Осы білім саласының жауаптары
Матрицалар көптеген мәселелерді шешудің теориялық және практикалық пайдалы жолын қамтамасыз етеді, мысалы:
- сызықты теңдеулер жүйесі;
- қатты денелердің тепе-теңдігі (физика бойынша);
- график теориясы;
- Леонтьевтің экономикалық моделі;
- орман шаруашылығы;
- компьютерлік графика және томография;
- генетика;
- криптография;
- электр желілері;
- фракталдық.
Шын мәнінде, "манекештерге" арналған матрицалық алгебраның жеңілдетілген анықтамасы бар. Ол былайша өрнектеледі: бұл білімнің ғылыми саласы, ондақарастырылып отырған құндылықтар зерттеледі, талданады және толық зерттеледі. Алгебраның бұл бөлімінде зерттелетін матрицаларға әртүрлі амалдар зерттеледі.
Матрицалармен қалай жұмыс істеу керек
Бұл мәндер өлшемдері бірдей болса және біреуінің әрбір элементі екіншісінің сәйкес элементіне тең болса, тең деп есептеледі. Матрицаны кез келген тұрақтыға көбейтуге болады. Бұл берілген скаляр көбейту деп аталады. Мысал: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Бір өлшемдегі матрицаларды енгізулер арқылы қосуға және азайтуға және үйлесімді өлшемдердің мәндерін көбейтуге болады. Мысал: екі A және B қосыңыз: A=[21−10]B=[1423]. Бұл мүмкін, себебі A және B екеуі де екі жолы және бірдей бағандар саны бар матрицалар. А-дағы әрбір элементті В-дегі сәйкес элементке қосу керек: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Матрицалар алгебрада дәл осылай шегеріледі.
Матрицаны көбейту сәл басқаша жұмыс істейді. Сонымен қатар, көптеген жағдайлар мен нұсқалар, сондай-ақ шешімдер болуы мүмкін. Егер Apq және Bmn матрицасын көбейтсек, онда Ap×q+Bm×n=[AB]p×n көбейтіндісі шығады. AB-ның g-ші жолы мен h-ші бағанындағы жазба g A және h B-дегі сәйкес жазбалардың көбейтіндісінің қосындысы болып табылады. Екі матрицаны тек бірінші бағандағы және екіншідегі жолдар саны болса ғана көбейтуге болады. тең. Мысал: қарастырылған A және B шартын орындаңыз: A=[1−130]B=[2−11214]. Бұл мүмкін, себебі бірінші матрицада 2 баған, екіншісінде 2 жол бар. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Матрицалар туралы негізгі ақпарат
Қарастырылған мәндер айнымалылар мен тұрақтылар сияқты ақпаратты ұйымдастырады және оларды әдетте C деп аталатын жолдар мен бағандарда сақтайды. Матрицадағы әрбір позиция элемент деп аталады. Мысалы: C=[1234]. Екі жолдан және екі бағаннан тұрады. 4-элемент 2-жолда және 2-бағанда. Әдетте матрицаны оның өлшемдерінен кейін атауға болады, Cmk деп аталатынында m жол және k баған бар.
Кеңейтілген матрицалар
Қараулар - бұл әртүрлі қолданбалы салаларда пайда болатын керемет пайдалы нәрселер. Матрицалар бастапқыда сызықтық теңдеулер жүйесіне негізделген. Теңсіздіктердің келесі құрылымын ескере отырып, келесі толықтырылған матрицаны ескеру қажет:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Коэффициенттерді жазып, мәндерге жауап беріңіз, соның ішінде барлық минус белгілері. Теріс саны бар элемент болса, онда ол «1-ге» тең болады. Яғни, (сызықтық) теңдеулер жүйесін ескере отырып, онымен матрицаны (жақша ішіндегі сандар торын) байланыстыруға болады. Бұл тек сызықтық жүйенің коэффициенттерін қамтитын жүйе. Бұл «кеңейтілген матрица» деп аталады. Әрбір теңдеудің сол жағындағы коэффициенттерді қамтитын тор әр теңдеудің оң жағындағы жауаптармен "толтырылды".
Жазбалар, яғниматрицаның B мәндері бастапқы жүйедегі x-, y- және z мәндеріне сәйкес келеді. Егер ол дұрыс реттелген болса, ең алдымен оны тексеріңіз. Кейде зерттелетін немесе зерттелетін матрицаға толтырғыштар ретінде шарттарды өзгерту немесе нөлдерді енгізу қажет.
Келесі теңдеулер жүйесін ескере отырып, біз бірден байланысты кеңейтілген матрицаны жаза аламыз:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Біріншіден, жүйені келесідей қайта реттеңіз:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Онда байланысты матрицаны былай жазуға болады: [11000113-1012]. Кеңейтілгенді құру кезінде сызықтық теңдеулер жүйесіндегі сәйкес нүкте бос кез келген жазба үшін нөлді қолданған жөн.
Матрицалық алгебра: амалдардың қасиеттері
Егер элементтерді тек коэффициент мәндерінен құру қажет болса, онда қарастырылатын мән келесідей болады: [110011-101]. Бұл "коэффициент матрицасы" деп аталады.
Келесі кеңейтілген матрицалық алгебраны ескере отырып, оны жетілдіріп, байланысты сызықтық жүйені қосу керек. Айта кету керек, олар айнымалы мәндердің жақсы реттелген және ұқыпты болуын талап ететінін есте ұстаған жөн. Әдетте үш айнымалы болғанда, сол ретпен x, y және z пайдаланыңыз. Демек, байланысты сызықтық жүйе болуы керек:
x + 3y=4
2ж - z=5
3x + z=-2.
Матрица өлшемі
Қарастырылып отырған элементтер көбінесе өнімділігі бойынша аталады. Алгебрадағы матрицаның өлшемі келесідей берілгенөлшемдер, өйткені бөлмені басқаша атауға болады. Мәндердің өлшенетін өлшемдері ені мен ұзындығы емес, жолдар мен бағандар болып табылады. Мысалы, A матрицасы:
[1234]
[2345]
[3456].
A үш жол және төрт баған болғандықтан, A өлшемі 3 × 4.
→
↓
Сызықтар бүйіріне қарай жылжиды. Бағандар жоғары және төмен түседі. «Жол» және «баған» техникалық сипаттамалар болып табылады және бір-бірін алмастырмайды. Матрица өлшемдері әрқашан жолдар санымен, содан кейін бағандар санымен көрсетіледі. Осы конвенциядан кейін келесі B:
[123]
[234] - 2 × 3. Егер матрицада жолдар саны бағандар сияқты болса, онда ол "шаршы" деп аталады. Мысалы, жоғарыдан алынған коэффициент мәндері:
[110]
[011]
[-101] – 3×3 шаршы матрица.
Матрицаны белгілеу және пішімдеу
Пішімдеу ескертпесі: Мысалы, матрицаны жазу қажет болғанда, жақшаларды пайдалану маңызды. || абсолютті мән жолақтары пайдаланылмайды, себебі олардың осы контексте басқа бағыты бар. Жақшалар немесе бұйра жақшалар {} ешқашан пайдаланылмайды. Немесе басқа топтастыру белгісі немесе мүлде жоқ, өйткені бұл көрсетілімдер ешқандай мағынаға ие емес. Алгебрада матрица әрқашан төртбұрышты жақшаның ішінде болады. Тек дұрыс белгілерді пайдалану керек, әйтпесе жауаптар бұрмаланған деп саналуы мүмкін.
Бұрын айтылғандай, матрицадағы мәндер жазбалар деп аталады. Қандай да бір себептермен қарастырылатын элементтер әдетте жазыладыбас әріптер, мысалы, A немесе B және жазбалар сәйкес кіші әріптерді пайдаланып, бірақ төменгі таңбалармен көрсетіледі. А матрицасында мәндер әдетте "ai, j" деп аталады, мұндағы i - A жолы және j - А бағаны. Мысалы, a3, 2=8. a1, 3 жазбасы 3.
Кішірек матрицалар үшін, жолдар мен бағандар оннан аз болса, кейде үтір қойылмайды. Мысалы, «a1, 3=3» «a13=3» түрінде жазылуы мүмкін. Бұл үлкен матрицалар үшін жұмыс істемейтіні анық, себебі a213 түсініксіз болады.
Матрица түрлері
Кейде жазба конфигурацияларына қарай жіктеледі. Мысалы, диагональдың жоғарғы-сол-төмен-оң жақ «диагоналының» астында барлық нөлдік жазбалары бар мұндай матрица жоғарғы үшбұрыш деп аталады. Басқа нәрселермен қатар, басқа түрлері мен түрлері болуы мүмкін, бірақ олар өте пайдалы емес. Әдетте, көбінесе жоғарғы үшбұрыш ретінде қабылданады. Көрсеткіштері нөлден басқа тек көлденең мәндер диагональ деп аталады. Ұқсас түрлерде барлығы 1 болатын нөлдік емес жазбалар бар, мұндай жауаптар бірдей деп аталады (сұрақтағы мәндерді қалай көбейту керектігін үйреніп, түсінген кезде түсінікті болатын себептерге байланысты). Осыған ұқсас көптеген зерттеу көрсеткіштері бар. 3 × 3 сәйкестендіру I3 арқылы белгіленеді. Сол сияқты, 4 × 4 сәйкестендіруі I4.
Матрицалық алгебра және сызықтық кеңістік
Үшбұрышты матрицалар шаршы екенін ескеріңіз. Бірақ диагональдары үшбұрышты. Осыны ескере отырып, оларшаршы. Ал сәйкестіктер диагональдар және, демек, үшбұрыш және шаршы болып саналады. Матрицаны сипаттау қажет болғанда, әдетте өзінің ең ерекше классификациясын көрсетеді, өйткені бұл барлық басқаларын білдіреді. Келесі зерттеу нұсқаларын жіктеңіз:3 × 4. Бұл жағдайда олар шаршы емес. Сондықтан құндылықтар басқа ештеңе бола алмайды. Келесі жіктеу:3 × 3 ретінде мүмкін. Бірақ ол шаршы болып саналады және бұл туралы ерекше ештеңе жоқ. Келесі деректердің жіктелуі:3 × 3 жоғарғы үшбұрыш ретінде, бірақ ол диагональ емес. Рас, қарастырылатын мәндерде орналасқан және көрсетілген кеңістікте немесе үстінде қосымша нөлдер болуы мүмкін. Зерттелетін классификация одан әрі: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], мұнда ол диагональ ретінде берілген және оның үстіне жазбалардың барлығы 1. Сонда бұл 3 × 3 сәйкестік., I3.
Ұқсас матрицалар анықтамасы бойынша квадрат болғандықтан, олардың өлшемдерін табу үшін тек бір индексті пайдалану қажет. Екі матрица тең болуы үшін олардың бірдей параметрі және бірдей жерлерде бірдей жазбалары болуы керек. Мысалы, қарастырылатын екі элемент бар делік: A=[1 3 0] [-2 0 0] және B=[1 3] [-2 0]. Бұл мәндер бірдей болуы мүмкін емес, өйткені олардың өлшемдері әртүрлі.
А және В: A=[3 6] [2 5] [1 4] және B=[1 2 3] [4 5 6] болса да - олар бәрібір бірдей емес бірдей нәрсе. A және B әрқайсысында баралты жазба және де бірдей сандар бар, бірақ бұл матрицалар үшін жеткіліксіз. A - 3×2. Ал В - 2×3 матрица. 3×2 үшін A 2×3 емес. А және В деректерінің бірдей саны немесе тіпті жазбалардағы бірдей сандар болуы маңызды емес. Егер A және B өлшемдері мен пішіндері бірдей болмаса, бірақ ұқсас жерлерде бірдей мәндер болса, олар тең емес.
Қарастырылып отырған аймақтағы ұқсас операциялар
Матрицалық теңдіктің бұл қасиетін тәуелсіз зерттеуге арналған тапсырмаларға айналдыруға болады. Мысалы, екі матрица берілген және олардың тең екендігі көрсетілген. Бұл жағдайда айнымалы мәндерді зерттеу және оларға жауап алу үшін осы теңдікті пайдалану қажет.
Алгебрадағы матрицалардың мысалдары мен шешімдері әртүрлі болуы мүмкін, әсіресе теңдіктер туралы сөз болғанда. Келесі матрицалар қарастырылатынын ескере отырып, х және у мәндерін табу керек. А және В тең болуы үшін олардың өлшемі мен пішіні бірдей болуы керек. Шын мәнінде, олар осындай, өйткені олардың әрқайсысы 2 × 2 матрица. Және олар бірдей жерлерде бірдей мәндерге ие болуы керек. Сонда a1, 1 тең болуы керек b1, 1, a1, 2 тең b1, 2 және т.б.). Бірақ, a1, 1=1 b1, 1=x-ке тең емес екені анық. А В-мен бірдей болуы үшін жазбада a1, 1=b1, 1 болуы керек, сондықтан ол 1=x болуы мүмкін. Сол сияқты a2, 2=b2, 2 индекстері де 4=у. Сонда шешім: x=1, y=4. Мынаны ескере отырыпматрицалар тең болса, x, y және z мәндерін табу керек. A=B болуы үшін коэффициенттерде барлық жазбалар тең болуы керек. Яғни, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 және т.б. Атап айтқанда:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Таңдалған матрицалардан көріп отырғаныңыздай: 1, 1-, 2, 2- және 3, 1-элементтермен. Осы үш теңдеуді шеше отырып, біз жауап аламыз: x=4, y=-6 және z=9. Матрицалық алгебра және матрицалық амалдар бәрі үйреніп кеткеннен өзгеше, бірақ олар қайталанбайды.
Осы аймақтағы қосымша ақпарат
Сызықтық матрицалық алгебра – ұқсас теңдеулер жиынын және олардың түрлендіру қасиеттерін зерттеу. Бұл білім саласы кеңістіктегі айналуларды талдауға, ең кіші квадраттарды жуықтап алуға, байланысты дифференциалдық теңдеулерді шешуге, берілген үш нүкте арқылы өтетін шеңберді анықтауға және математика, физика және техниканың басқа да көптеген есептерін шешуге мүмкіндік береді. Матрицаның сызықтық алгебрасы шын мәнінде қолданылған сөздің техникалық мағынасы емес, яғни f өрісіндегі v векторлық кеңістік және т.б.
Матрица және анықтауыш өте пайдалы сызықтық алгебра құралдары. Орталық тапсырмалардың бірі х үшін Ax=b матрицалық теңдеуін шешу болып табылады. Мұны теориялық түрде кері x=A-1 b көмегімен шешуге болады. Басқа әдістер, мысалы, Гауссты жою, сандық жағынан сенімдірек.
Сызықтық теңдеулер жиынын зерттеуді сипаттау үшін пайдаланылуымен қатар, көрсетілгенжоғарыда аталған термин алгебраның белгілі бір түрін сипаттау үшін де қолданылады. Атап айтқанда, F өрісіндегі L дистрибутивтік заңдармен бірге ішкі қосу мен көбейтуге арналған барлық әдеттегі аксиомалары бар сақина құрылымына ие. Сондықтан оған сақинадан гөрі көбірек құрылым береді. Сызықтық матрицалық алгебра сонымен қатар негізгі F өрісінің элементтері болып табылатын скалярлар арқылы көбейтудің сыртқы операциясын мойындайды. Мысалы, V векторлық кеңістігінен F өрісі арқылы өзіне дейінгі барлық қарастырылатын түрлендірулер жиыны F үстінде құрылады. Сызықтықтың тағы бір мысалы алгебра – өрістегі барлық нақты шаршы матрицалардың R нақты сандар жиыны.
