Математика ежелгі дәуірден бастау алады. Оның арқасында сәулет, құрылыс және әскери ғылым дамудың жаңа кезеңін берді, математиканың көмегімен қол жеткізілген жетістіктер прогресс қозғалысына әкелді. Осы күнге дейін математика барлық басқа салаларда кездесетін негізгі ғылым болып қала береді.
Білімді болу үшін бірінші сыныптан бастап балалар осы ортаға біртіндеп сіңісіп кете бастайды. Математиканы түсіну өте маңызды, өйткені ол белгілі бір дәрежеде әр адамның өмірінде болады. Бұл мақалада негізгі элементтердің бірі – туынды құралдарды табу және қолдану талданады. Бұл ұғымның қаншалықты кең қолданылатынын кез келген адам елестете алмайды. Белгілі бір салаларда немесе ғылымдарда 10-нан астам туынды қолданбаларды қарастырыңыз.
Туындыны функцияны зерттеуге қолдану
Туынды – осындай шекаргументтің көрсеткіші нөлге ұмтылған кезде функция өсімінің оның аргументінің өсіміне қатынасы. Туынды – функцияны зерттеуде таптырмас нәрсе. Мысалы, соңғысының өсу мен кемуін, экстремалды, дөңес және ойыстығын анықтауға болады. Дифференциалды есептеу математика университеттерінің 1 және 2 курс студенттері үшін міндетті оқу бағдарламасына енгізілген.
Ауқым және функция нөлдері
Графикті кез келген зерттеудің бірінші кезеңі анықтау облысын, сирек жағдайларда – мәнді табудан басталады. Анықтау облысы абсцисса осі бойымен орнатылады, басқаша айтқанда, бұл OX осіндегі сандық мәндер. Көбінесе аумақ орнатылған, бірақ ол орнатылмаған болса, x аргументінің мәнін бағалау керек. Айталық, егер аргументтің кейбір мәндері үшін функция мағынасы болмаса, онда бұл аргумент аумақтан шығарылады.
Функцияның нөлдері қарапайым жолмен табылған: f(x) функциясы нөлге теңестіріліп, алынған теңдеуді бір x айнымалысына қатысты шешу керек. Теңдеудің алынған түбірлері функцияның нөлдері, яғни бұл х-та функция 0 болады.
Көбейту және азайту
Туындыны монотондылық үшін функцияларды зерттеу үшін пайдалануды екі позициядан қарастыруға болады. Монотонды функция - туындының тек оң мәндері немесе теріс мәндері бар категория. Қарапайым сөзбен айтқанда, функция зерттелетін бүкіл аралықта тек артады немесе тек азаяды:
- Параметрді жоғарылату. Функцияf`(x) туындысы нөлден үлкен болса, f(x) артады.
- Кему параметрі. f`(x) туындысы нөлден аз болса, f(x) функциясы төмендейді.
Тангенс және көлбеу
Туындының функцияны зерттеуге қолданылуы да берілген нүктедегі функция графигіне жанама (бұрышқа бағытталған түзу) арқылы анықталады. Нүктедегі жанама (x0) – нүкте арқылы өтетін және координаталары (x0, f(x) болатын функцияға жататын түзу 0 )) және көлбеу f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - функция графигінің берілген нүктесіне жанаманың теңдеуі.
Туындының геометриялық мағынасы: f(x) функциясының туындысы берілген х нүктесіндегі осы функцияның графигіне құрылған жанаманың еңісіне тең. Бұрыштық коэффициент, өз кезегінде, оң бағытта жанаманың OX осіне (абсцисса) еңкею бұрышының тангенсіне тең. Бұл нәтиже туындыны функцияның графигіне қолдану үшін негіз болып табылады.
Экстремум ұпай
Туындыны зерттеуге қолдану жоғары және төменгі нүктелерді табуды қамтиды.
Мимум және максималды ұпайларды табу және анықтау үшін сізге қажет:
- f(x) функциясының туындысын табыңыз.
- Нәтижедегі теңдеуді нөлге қойыңыз.
- Теңдеудің түбірін табыңыз.
- Жоғары және төменгі нүктелерді табыңыз.
Шектен табу үшінмүмкіндіктері:
- Жоғарыдағы әдісті пайдаланып минималды және максималды ұпайларды табыңыз.
- Осы нүктелерді бастапқы теңдеуге ауыстырыңыз және ymax және ymin
есептеңіз
Функцияның ең үлкен нүктесі f(x) функциясының интервалдағы ең үлкен мәні болып табылады, басқаша айтқанда xmax.
Функцияның ең кіші нүктесі f(x) функциясының интервалдағы ең кіші мәні, басқаша айтқанда xname
Экстремум нүктелері максималды және минималды нүктелермен және функцияның экстремумымен бірдей (yмакс. және yминимум) - экстремум нүктелеріне сәйкес функция мәндері.
Дөңес және ойыс
Сызба құру үшін туындыны қолдану арқылы дөңес және ойыстығын анықтауға болады:
- (a, b) интервалында қарастырылған f(x) функциясы, егер функция осы аралықтағы барлық тангенстерінің астында орналасса ойыс болады.
- (a, b) интервалында зерттелген f(x) функциясы дөңес болады, егер функция осы аралықтағы барлық жанамаларының үстінде орналасса.
Дөңес пен ойысты ажырататын нүкте функцияның иілу нүктесі деп аталады.
Иілу нүктелерін табу үшін:
- Екінші түрдегі критикалық нүктелерді табыңыз (екінші туынды).
- Иілу нүктелері екі қарама-қарсы белгілерді бөлетін маңызды нүктелер.
- Функцияның иілу нүктелеріндегі функция мәндерін есептеңіз.
Ішінара туындылар
Қолданбабірнеше белгісіз айнымалы қолданылатын есептердегі осы типтегі туындылар бар. Көбінесе мұндай туындылар функция графигін, дәлірек айтқанда, кеңістікте екі осьтің орнына үш, демек, үш шама (екі айнымалы және бір тұрақты) болатын беттер сызу кезінде кездеседі.
Жартылай туындыларды есептеу кезіндегі негізгі ереже бір айнымалыны таңдап, қалғанын тұрақты мән ретінде қарастыру болып табылады. Сондықтан жартылай туындыны есептегенде тұрақты сандық мәнге айналады (туындылардың көптеген кестелерінде олар C=const деп белгіленеді). Мұндай туындының мағынасы z=f(x, y) функциясының OX және OY осьтері бойынша өзгеру жылдамдығын білдіреді, яғни ол салынған беттің ойыстары мен дөңестерінің тіктігін сипаттайды.
Физикадағы туынды
Туындыны физикада қолдану кең тараған және маңызды. Физикалық мағынасы: жолдың уақытқа қатысты туындысы – жылдамдық, ал үдеу – жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы. Физикалық мағынадан туындының мағынасын толығымен сақтай отырып, көптеген салаларды физиканың әртүрлі салаларына тартуға болады.
Туындының көмегімен келесі мәндер табылады:
- Кинематикадағы жылдамдық, мұнда жүріп өткен жолдың туындысы есептеледі. Егер жолдың екінші туындысы немесе жылдамдықтың бірінші туындысы табылса, дененің үдеуі табылады. Сонымен қатар, материалдық нүктенің лездік жылдамдығын табуға болады, бірақ ол үшін ∆t және ∆r өсімін білу қажет.
- Электродинамикада:айнымалы токтың лездік күшін, сонымен қатар электромагниттік индукцияның ЭҚК-ін есептеу. Туындыны есептеу арқылы сіз максималды қуатты таба аласыз. Электр зарядының мөлшерінің туындысы өткізгіштегі ток күші болып табылады.
Химия мен биологиядағы туынды
Химия: Туынды химиялық реакция жылдамдығын анықтау үшін қолданылады. Туындының химиялық мағынасы: p=p(t) функциясы, бұл жағдайда p - t уақыт ішінде химиялық реакцияға түсетін заттың мөлшері. ∆t – уақыт өсімі, ∆p – зат санының өсімі. ∆t нөлге ұмтылатын ∆p мен ∆t қатынасының шегі химиялық реакция жылдамдығы деп аталады. Химиялық реакцияның орташа мәні ∆p/∆t қатынасы болып табылады. Жылдамдықты анықтау кезінде барлық қажетті параметрлерді, шарттарды дәл білу, заттың және ағын ортасының агрегаттық күйін білу қажет. Бұл әртүрлі салаларда және адам іс-әрекетінде кеңінен қолданылатын химиядағы айтарлықтай үлкен аспект.
Биология: орташа көбею жылдамдығын есептеу үшін туынды ұғымы қолданылады. Биологиялық мағынасы: бізде у=x(t) функциясы бар. ∆t – уақыт өсімі. Сонда кейбір түрлендірулердің көмегімен y`=P(t)=x`(t) функциясын аламыз - t уақыт популяциясының тіршілік әрекеті (көбеюдің орташа жылдамдығы). Туындыны бұлай пайдалану статистиканы сақтауға, көбейту жылдамдығын қадағалауға және т.б. мүмкіндік береді.
География және экономикадағы туынды
Туынды географтарға шешім қабылдауға мүмкіндік бередіпопуляцияны табу, сейсмографиядағы мәндерді есептеу, ядролық геофизикалық көрсеткіштердің радиоактивтілігін есептеу, интерполяцияны есептеу сияқты тапсырмалар.
Экономикада есептеулердің маңызды бөлігі дифференциалдық есептеу және туындыны есептеу болып табылады. Бұл ең алдымен қажетті экономикалық құндылықтардың шегін анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, ең жоғары және ең төменгі еңбек өнімділігі, шығындар, пайда. Негізінде, бұл мәндер экстремалды табатын функция графиктерінен есептеледі, қажетті аймақта функцияның монотондылығын анықтайды.
Қорытынды
Бұл дифференциалдық есептеудің рөлі, мақалада айтылғандай, әртүрлі ғылыми құрылымдарда қатысады. Туынды функцияларды қолдану ғылым мен өндірістің практикалық бөлігінде маңызды элемент болып табылады. Бізді орта мектепте және университетте күрделі графиктер құруға, функцияларды зерттеуге және олармен жұмыс істеуге үйреткені бекер емес. Көріп отырғаныңыздай, туынды және дифференциалдық есептеулерсіз өмірлік көрсеткіштер мен шамаларды есептеу мүмкін емес еді. Адамзат әртүрлі процестерді модельдеуді және оларды зерттеуді, күрделі математикалық есептерді шешуді үйренді. Шынында да, математика барлық ғылымдардың патшайымы болып табылады, өйткені бұл ғылым барлық басқа жаратылыстану және техникалық пәндердің негізінде жатыр.
