Жазықтықтардың параллельдігі мен перпендикулярлығын анықтау үшін, сондай-ақ осы геометриялық объектілер арасындағы қашықтықтарды есептеу үшін сандық функциялардың сол немесе басқа түрін қолдану ыңғайлы. Қандай есептер үшін кесінділердегі жазықтықтың теңдеуін қолдану ыңғайлы? Бұл мақалада біз оның не екенін және оны практикалық тапсырмаларда қалай пайдалану керектігін қарастырамыз.
Түзу кесінділеріндегі теңдеу дегеніміз не?
Ұшықтықты 3D кеңістігінде бірнеше жолмен анықтауға болады. Бұл мақалада олардың кейбіреулері әртүрлі типтегі есептерді шешу кезінде беріледі. Мұнда жазықтықтың кесінділеріндегі теңдеудің толық сипаттамасын береміз. Оның әдетте келесі пішіні бар:
x/p + y/q + z/r=1.
Мұндағы p, q, r таңбалары кейбір нақты сандарды білдіреді. Бұл теңдеуді жалпы өрнекке және жазықтыққа арналған сандық функциялардың басқа түрлеріне оңай аударуға болады.
Теңдеуді кесінділерде жазудың ыңғайлылығы оның құрамында жазықтықтың перпендикуляр координаталар осьтерімен қиылысуының айқын координаталарының болуы. x осіндебасына қатысты жазықтық r ұзындығы, y осінде - q-ға тең, z бойынша - ұзындығы r кесіндісін кесіп тастайды.
Егер үш айнымалының ешқайсысы теңдеуде болмаса, онда бұл жазықтық сәйкес ось арқылы өтпейтінін білдіреді (математиктер оны шексіздікте қиып өтеді деп айтады).
Келесі, біз осы теңдеумен қалай жұмыс істеу керектігін көрсететін кейбір есептер.
Жалпы және теңдеулердің сегменттеріндегі байланыс
Жазықтық келесі теңдікпен берілгені белгілі:
2x - 3y + z - 6=0.
Бұл жазықтықтың жалпы теңдеуін кесінділермен жазу керек.
Ұқсас мәселе туындағанда, сіз мына әдісті орындауыңыз керек: бос терминді теңдіктің оң жағына ауыстырамыз. Содан кейін біз барлық теңдеуді осы терминге бөлеміз, оны алдыңғы абзацта берілген формада көрсетуге тырысамыз. Бізде:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Біз кесінділерде бастапқыда жалпы түрде берілген жазықтықтың теңдеуін алдық. Жазықтық x, y және z осьтері үшін сәйкесінше ұзындығы 3, 2 және 6 болатын кесінділерді кесіп тастағаны байқалады. Y осі теріс координат аймағындағы жазықтықты қиып өтеді.
Кесінділер бойынша теңдеу құру кезінде барлық айнымалылардың алдында «+» таңбасы тұруы маңызды. Тек осы жағдайда, осы айнымалының бөлінетін саны осьте кесілген координатаны көрсетеді.
Қалыпты вектор және жазықтықтағы нүкте
Кейбір жазықтықта бағыт векторы болатыны белгілі (3; 0; -1). (1; 1; 1) нүктесінен өтетіні де белгілі. Бұл жазықтық үшін теңдеуді кесінділермен жазыңыз.
Бұл мәселені шешу үшін алдымен осы екі өлшемді геометриялық нысанның жалпы пішінін пайдалану керек. Жалпы пішін былай жазылған:
Ax + By + Cz + D=0.
Мұндағы алғашқы үш коэффициент есеп нұсқаулығында көрсетілген бағыттаушы вектордың координаталары, яғни:
A=3;
B=0;
C=-1.
Еркін D терминін табу керек. Оны келесі формула бойынша анықтауға болады:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Мұнда 1 индексі бар координат мәндері жазықтыққа жататын нүктенің координаталарына сәйкес келеді. Біз олардың мәндерін мәселенің шартынан ауыстырамыз, біз аламыз:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Енді сіз толық теңдеуді жаза аласыз:
3x - z - 2=0.
Бұл өрнекті жазықтықтың кесінділеріндегі теңдеуге түрлендіру техникасы жоғарыда көрсетілген. Қолдану:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Мәселенің жауабы алынды. Бұл жазықтық тек x және z осьтерін қиып өтетінін ескеріңіз. y үшін ол параллель.
Жазықтықты анықтайтын екі түзу
Кеңістіктік геометрия курсынан әрбір студент екі еркін түзудің жазықтықты біркелкі анықтайтынын біледі.үш өлшемді кеңістік. Ұқсас мәселені шешейік.
Екі сызық теңдеуі белгілі:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Жазықтықтың теңдеуін осы түзулерден өтетін кесінділермен жазу керек.
Екі түзу де жазықтықта жатуы керек болғандықтан, бұл олардың векторлары (бағыттауыштары) жазықтық үшін векторға (бағыттаушы) перпендикуляр болуы керек дегенді білдіреді. Сонымен қатар, ерікті екі бағытталған кесінділердің векторлық көбейтіндісі бастапқы екіге перпендикуляр, үшінші координаталар түрінде нәтиже беретіні белгілі. Осы сипатты ескере отырып, қажетті жазықтыққа нормаль векторының координаталарын аламыз:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Оны ерікті санға көбейтуге болатындықтан, бұл бастапқыға параллель жаңа бағытталған кесінді құрайды, алынған координаталар таңбасын керісінше (-1-ге көбейту) ауыстыра аламыз, біз мынаны аламыз:
(1; 2; 1).
Біз бағыт векторын білеміз. Түзулердің бірінің ерікті нүктесін алып, жазықтықтың жалпы теңдеуін құрастыру қалады:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Бұл теңдікті сегменттердегі өрнекке аударсақ, біз мынаны аламыз:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Осылайша, жазықтық координаталар жүйесінің оң аймағындағы барлық үш осьті қиып өтеді.
Үш ұпай және ұшақ
Екі түзу сияқты, үш нүкте үш өлшемді кеңістікте жазықтықты бірегей түрде анықтайды. Жазықтықта жатқан нүктелердің келесі координаталары белгілі болса, сәйкес теңдеуді кесінділерге жазамыз:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Мынаны орындаймыз: осы нүктелерді қосатын екі ерікті вектордың координаталарын есептеп, содан кейін табылған бағытталған кесінділердің көбейтіндісін есептеу арқылы жазықтыққа нормаль n¯ векторын табыңыз. Біз аламыз:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Мысал ретінде P нүктесін ал, жазықтықтың теңдеуін құрастыр:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 немесе z=0.
Берілген тікбұрышты координаталар жүйесіндегі xy жазықтығына сәйкес келетін қарапайым өрнек алдық. Оны кесінділерде жазу мүмкін емес, өйткені x және y осьтері жазықтыққа жатады, ал z осінде кесілген кесіндінің ұзындығы нөлге тең ((0; 0; 0) нүкте жазықтыққа жатады).
