Біркелкі гравитация өрісінде созылмайтын салмақсыз жіпке (оның массасы дене салмағымен салыстырғанда шамалы) ілінетін материалдық нүктеден (денеден) тұратын механикалық жүйе математикалық маятник деп аталады (басқа атауы осциллятор). Бұл құрылғының басқа түрлері бар. Жіптің орнына салмақсыз таяқшаны қолдануға болады. Математикалық маятник көптеген қызықты құбылыстардың мәнін анық аша алады. Тербеліс амплитудасы аз болса, оның қозғалысы гармоникалық деп аталады.
Механикалық жүйеге шолу
Осы маятниктің тербеліс периоды формуласын голланд ғалымы Гюйгенс (1629-1695) шығарған. И. Ньютонның бұл замандасы осы механикалық жүйеге өте ұнады. 1656 жылы ол бірінші маятникті сағатты жасады. Олар уақытты ерекше өлшегенсол кездегі дәлдік үшін. Бұл өнертабыс физикалық эксперименттер мен практикалық әрекеттерді дамытудағы маңызды кезең болды.
Егер маятник тепе-теңдікте болса (тік ілулі болса), онда ауырлық күші жіптің тартылу күшімен теңестіріледі. Созылмайтын жіптегі жалпақ маятник - қосылысы бар екі еркіндік дәрежесі бар жүйе. Бір ғана құрамдас бөлікті өзгерткенде, оның барлық бөліктерінің сипаттамалары өзгереді. Сонымен, егер жіп өзекпен ауыстырылса, онда бұл механикалық жүйе тек 1 дәрежелі еркіндікке ие болады. Математикалық маятниктің қандай қасиеттері бар? Бұл қарапайым жүйеде периодты күйзеліс әсерінен хаос пайда болады. Аспалы нүкте қозғалмайтын, бірақ тербелетін жағдайда маятник жаңа тепе-теңдік жағдайына ие болады. Жылдам жоғары және төмен тербелістермен бұл механикалық жүйе тұрақты төңкерілген күйге ие болады. Оның да өз аты бар. Ол Капица маятнигі деп аталады.
Маятник қасиеттері
Математикалық маятник өте қызықты қасиеттерге ие. Олардың барлығы белгілі физикалық заңдармен расталады. Кез келген басқа маятниктің тербеліс периоды дененің өлшемі мен пішіні, ілу нүктесі мен ауырлық центрі арасындағы қашықтық, осы нүктеге қатысты массаның таралуы сияқты әртүрлі жағдайларға байланысты. Сондықтан ілулі дененің кезеңін анықтау өте қиын мәселе. Математикалық маятниктің периодын есептеу әлдеқайда оңай, оның формуласы төменде келтіріледі. Ұқсастарды бақылау нәтижесіндемеханикалық жүйелер келесі үлгілерді орната алады:
• Егер маятниктің бірдей ұзындығын сақтай отырып, біз әртүрлі салмақтарды ілсек, онда олардың тербеліс периоды бірдей болады, бірақ олардың массалары айтарлықтай өзгереді. Сондықтан мұндай маятниктің периоды жүктің массасына тәуелді емес.
• Жүйені іске қосқан кезде маятник тым үлкен емес, бірақ әртүрлі бұрыштармен ауытқыса, ол бірдей периодпен, бірақ әртүрлі амплитудалармен тербеле бастайды. Тепе-теңдік центрінен ауытқулар тым үлкен болмаса, олардың түріндегі тербелістер гармоникалық тербелістерге өте жақын болады. Мұндай маятниктің периоды ешқандай жағдайда тербеліс амплитудасына тәуелді емес. Бұл механикалық жүйенің бұл қасиеті изохронизм деп аталады (грек тілінен аударғанда «chronos» - уақыт, «isos» - тең).
Математикалық маятниктің периоды
Бұл көрсеткіш табиғи тербелістер кезеңін білдіреді. Күрделі тұжырымға қарамастан, процестің өзі өте қарапайым. Егер математикалық маятниктің жібінің ұзындығы L, ал еркін түсу үдеуі g болса, онда бұл мән:
T=2π√L/g
Ұсақ табиғи тербелістер периоды ешбір жағдайда маятниктің массасына және тербеліс амплитудасына тәуелді емес. Бұл жағдайда маятник қысқартылған ұзындығы бар математикалық маятник сияқты қозғалады.
Математикалық маятниктің тербелістері
Математикалық маятник тербеледі, оны қарапайым дифференциалдық теңдеумен сипаттауға болады:
x + ω2 sin x=0, мұндағы x (t) белгісіз функция (бұл төменгіден ауытқу бұрышыt уақытындағы тепе-теңдік жағдайы, радианмен көрсетілген); ω – оң константа, ол маятниктің параметрлерінен анықталады (ω=√g/L, мұндағы g – еркін түсу үдеуі және L – математикалық маятниктің ұзындығы (суспензия).
Тепе-теңдік жағдайына жақын шағын тербелістердің теңдеуі (гармоникалық теңдеу) келесідей:
x + ω2 sin x=0
Маятниктің тербелмелі қозғалыстары
Кішкене тербелістерді жасайтын математикалық маятник синусоид бойымен қозғалады. Екінші ретті дифференциалдық теңдеу мұндай қозғалыстың барлық талаптары мен параметрлеріне жауап береді. Траекторияны анықтау үшін жылдамдық пен координатаны көрсету керек, содан кейін тәуелсіз тұрақтылар анықталады:
x=Күнә (θ0 + ωt), мұндағы θ0 - бастапқы фаза, A - тербеліс амплитудасы, ω - қозғалыс теңдеуінен анықталған циклдік жиілік.
Математикалық маятник (үлкен амплитудаларға арналған формулалар)
Өзінің тербелістерін елеулі амплитудамен жасайтын бұл механикалық жүйе қозғалыстың күрделірек заңдарына бағынады. Мұндай маятник үшін олар мына формула бойынша есептеледі:
sin x/2=usn(ωt/u), мұндағы sn - Якоби синусы, ол u үшін < 1 периодтық функция, ал кіші u үшін қарапайым тригонометриялық синусымен сәйкес келеді. u мәні келесі өрнекпен анықталады:
u=(ε + ω2)/2ω2, мұндағы ε=E/mL2 (мЛ2 – маятниктің энергиясы).
Сызықты емес маятниктің тербеліс периодын анықтауформула бойынша жүзеге асырылады:
T=2π/Ω, мұндағы Ω=π/2ω/2K(u), K – эллиптикалық интеграл, π - 3, 14.
Маятниктің бөлгіш бойымен қозғалысы
Ажыратқыш - екі өлшемді фазалық кеңістік бар динамикалық жүйенің траекториясы. Математикалық маятник оның бойымен периодты емес қозғалады. Уақыттың шексіз қашықтағы сәтінде ол ең жоғарғы позициядан нөлдік жылдамдықпен жағына түседі, содан кейін оны біртіндеп көтереді. Ол ақырында тоқтап, бастапқы орнына оралады.
Егер маятник тербелістерінің амплитудасы π санына жақындаса, бұл фазалық жазықтықтағы қозғалыстың бөлгішке жақындағанын көрсетеді. Бұл жағдайда шағын қозғаушы периодтық күштің әсерінен механикалық жүйе хаотикалық әрекетті көрсетеді.
Математикалық маятник тепе-теңдік күйінен белгілі φ бұрышымен ауытқыған кезде Fτ=–mg sin φ ауырлық күшінің тангенциалды күші пайда болады. Минус таңбасы бұл тангенциалды құраушы маятниктің ауытқуынан қарама-қарсы бағытта бағытталғанын білдіреді. Маятниктің радиусы L шеңбер доғасы бойымен орын ауыстыруын х деп белгілегенде, оның бұрыштық орын ауыстыруы φ=x/L-ге тең болады. Үдеу векторы мен күшінің проекцияларына арналған Исаак Ньютонның екінші заңы қажетті мәнді береді:
mg τ=Fτ=–мг sin x/L
Осы қатынасқа сүйене отырып, бұл маятниктің сызықты емес жүйе екені анық, өйткені қайтаруға ұмтылатын күшол тепе-теңдік күйіне, әрқашан x орын ауыстыруына емес, x/L үшін пропорционал.
Математикалық маятник шағын тербелістер жасағанда ғана ол гармоникалық осциллятор болып табылады. Басқаша айтқанда, ол гармоникалық тербелістерді орындауға қабілетті механикалық жүйеге айналады. Бұл жуықтау 15–20° бұрыштар үшін іс жүзінде жарамды. Үлкен амплитудалары бар маятник тербелістері гармоникалық емес.
Маятниктің шағын тербелістеріне арналған Ньютон заңы
Егер бұл механикалық жүйе шағын тербелістерді орындаса, Ньютонның 2-ші заңы келесідей болады:
мг τ=Fτ=–m г/Л x.
Осыған сүйене отырып, математикалық маятниктің тангенциалды үдеуі оның минус таңбасы бар орын ауыстыруына пропорционал деген қорытынды жасауға болады. Бұл жүйе гармоникалық осцилляторға айналатын шарт. Ауыстыру мен үдеу арасындағы пропорционалды күшейту модулі дөңгелек жиіліктің квадратына тең:
ω02=г/л; ω0=√ г/л.
Бұл формула маятниктің осы түрінің шағын тербелістерінің табиғи жиілігін көрсетеді. Осының негізінде
T=2π/ ω0=2π√ г/л.
Энергияның сақталу заңына негізделген есептеулер
Маятниктің тербелмелі қозғалыстарының қасиеттерін энергияның сақталу заңы арқылы да сипаттауға болады. Бұл жағдайда маятниктің гравитациялық өрістегі потенциалдық энергиясы:
болатынын ескеру керек.
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Толық механикалық энергиякинетикалық немесе максималды потенциалға тең: Epmax=Ekmsx=E
Энергияның сақталу заңы жазылғаннан кейін теңдеудің оң және сол жақтарының туындысын алыңдар:
Эп + Ек=const
Тұрақты мәндердің туындысы 0 болғандықтан, (Ep + Ek)'=0. Қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, сондықтан:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Соңғы формула негізінде мынаны табамыз: α=- g/Lx.
Математикалық маятниктің практикалық қолданылуы
Еркін түсу үдеуі географиялық ендікке байланысты өзгереді, өйткені бүкіл планетада жер қыртысының тығыздығы бірдей емес. Тығыздығы жоғары тау жыныстары болған жерде ол біршама жоғары болады. Математикалық маятниктің үдеуін геологиялық барлау үшін жиі қолданады. Ол әртүрлі пайдалы қазбаларды іздеу үшін қолданылады. Жай маятниктің айналу санын санау арқылы сіз жер қойнауынан көмір немесе кен таба аласыз. Бұл мұндай қазбалардың тығыздығы мен массасы олардың астындағы борпылдақ тау жыныстарынан жоғары болуына байланысты.
Математикалық маятникті Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед сияқты көрнекті ғалымдар пайдаланған. Олардың көпшілігі бұл механикалық жүйе адамның тағдыры мен өміріне әсер етуі мүмкін деп есептеді. Архимед өз есептеулерінде математикалық маятникті пайдаланды. Қазіргі уақытта көптеген оккультисттер мен экстрасенстербұл механикалық жүйені олардың пайғамбарлықтарын орындау немесе жоғалған адамдарды іздеу үшін пайдаланыңыз.
Атақты француз астрономы және табиғат зерттеушісі К. Фламмарион да өз зерттеулерінде математикалық маятникті пайдаланды. Ол өзінің көмегімен жаңа планетаның ашылуын, Тунгуска метеоритінің пайда болуын және басқа да маңызды оқиғаларды болжай алды деп мәлімдеді. Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде Германияда (Берлин) мамандандырылған маятник институты жұмыс істеді. Бүгінгі күні Мюнхен парапсихология институты осындай зерттеулермен айналысады. Бұл мекеме қызметкерлері маятникпен жұмысын «радиестезия» деп атайды.
