Бұл мақалада әдіс сызықтық теңдеулер жүйесін (SLAE) шешу тәсілі ретінде қарастырылады. Әдіс аналитикалық болып табылады, яғни ол жалпы шешім алгоритмін жазуға, содан кейін нақты мысалдардағы мәндерді ауыстыруға мүмкіндік береді. Матрицалық әдіс немесе Крамер формулаларынан айырмашылығы, сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешкенде, шешімдері шексіз көп болатындармен де жұмыс істеуге болады. Немесе мүлде жоқ.
Гаусс әдісімен шешу нені білдіреді?
Біріншіден, бізге теңдеулер жүйесін матрица түрінде жазу керек. Мынадай көрінеді. Жүйе алынды:
Коэффициенттер кесте түрінде, ал оң жақта бөлек бағанда – бос мүшелер жазылады. Бос мүшелері бар баған ыңғайлы болу үшін тік жолақпен бөлінген. Осы бағанды қамтитын матрица кеңейтілген деп аталады.
Содан кейін коэффициенттері бар негізгі матрицаны жоғарғы үшбұрышты пішінге келтіру керек. Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешудің негізгі нүктесі. Қарапайым тілмен айтқанда, белгілі бір айла-шарғылардан кейін матрица оның төменгі сол жақ бөлігінде тек нөлдер болатындай болуы керек:
Содан кейін жаңа матрицаны теңдеулер жүйесі ретінде қайта жазсаңыз, соңғы жолда түбірлердің бірінің мәні бар екенін байқайсыз, содан кейін ол жоғарыдағы теңдеуде ауыстырылады, басқа түбір табылды., және т.б..
Бұл Гаусс шешімінің ең жалпы терминдердегі сипаттамасы. Ал егер кенеттен жүйеде шешім болмаса не болады? Немесе олардың шексіз саны бар ма? Осы және басқа да көптеген сұрақтарға жауап беру үшін Гаусс әдісі бойынша шешімде қолданылатын барлық элементтерді бөлек қарастыру қажет.
Матрицалар, олардың қасиеттері
Матрицада жасырын мағына жоқ. Бұл кейінгі әрекеттер үшін деректерді жазудың ыңғайлы жолы ғана. Тіпті мектеп оқушылары да олардан қорықпауы керек.
Матрица әрқашан тікбұрышты, себебі ол ыңғайлырақ. Тіпті үшбұрышты матрицаны құруға дейін баратын Гаусс әдісінде де тіктөртбұрыш жазбада пайда болады, тек сандар жоқ жерде нөлдер бар. Нөлдерді алып тастауға болады, бірақ олар жанама.
Матрицаның өлшемі бар. Оның «ені» - жолдар саны (м), оның «ұзындығы» - бағандар саны (n). Содан кейін A матрицасының өлшемі (әдетте оларды белгілеу үшін бас латын әріптері пайдаланылады) Am×n ретінде белгіленеді. Егер m=n болса, онда бұл матрица квадрат, жәнеm=n – оның реті. Сәйкесінше, А матрицасының кез келген элементін оның жолы мен бағанының нөмірімен белгілеуге болады: axy; x - жол нөмірі, өзгерту [1, м], y - баған нөмірі, өзгерту [1, n].
Гаусс әдісінде матрицалар шешімнің негізгі нүктесі болып табылмайды. Негізінде барлық операцияларды теңдеулердің өздерімен тікелей орындауға болады, дегенмен белгілеу әлдеқайда қиын болады және онда шатастыру оңайырақ болады.
Біліктілік
Матрицаның анықтауышы да бар. Бұл өте маңызды қасиет. Оның мағынасын қазір білудің қажеті жоқ, сіз жай ғана оның қалай есептелетінін көрсете аласыз, содан кейін ол матрицаның қандай қасиеттерін анықтайтынын айта аласыз. Анықтаушыны табудың ең оңай жолы - диагональдар. Матрицада елестетілген диагональдар сызылады; олардың әрқайсысында орналасқан элементтер көбейтіледі, содан кейін алынған туындылар қосылады: оңға қарай еңісі бар диагональдар - «плюс» белгісімен, солға қарай еңіспен - «минус» белгісімен.
Анықтаушыны тек шаршы матрица үшін есептеуге болатынын ескеру өте маңызды. Тікбұрышты матрица үшін келесі әрекеттерді орындауға болады: жолдар мен бағандар санының ең кішісін таңдаңыз (ол k болсын), содан кейін матрицадағы k баған мен k жолды кездейсоқ белгілеңіз. Таңдалған бағандар мен жолдардың қиылысында орналасқан элементтер жаңа шаршы матрицаны құрайды. Егер мұндай матрицаның анықтаушысы нөлден басқа сан болса, онда ол бастапқы тікбұрышты матрицаның негізгі миноры деп аталады.
БұрынГаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешуді қалай бастау керек, анықтауышты есептеудің зияны жоқ. Егер ол нөлге тең болса, онда матрицада не шексіз шешімдер бар, не мүлде жоқ деп бірден айта аламыз. Мұндай қайғылы жағдайда сізге әрі қарай жүріп, матрицаның дәрежесі туралы білу керек.
Жүйелердің классификациясы
Матрицаның рангі деген нәрсе бар. Бұл оның нөлдік емес анықтауышының максимум реті (базистік минорды есте сақтай отырып, матрицаның дәрежесі негізгі минордың реті деп айта аламыз).
Дәрежеге байланысты SLOW келесіге бөлінеді:
- Бірлескен. Біріккен жүйелер үшін негізгі матрицаның рангі (тек коэффициенттерден тұрады) кеңейтілгеннің рангімен (бос терминдер бағанымен) сәйкес келеді. Мұндай жүйелердің шешімі бар, бірақ міндетті емес, сондықтан бірлескен жүйелер қосымша бөлінеді:
- - нақты - бірегей шешімге ие. Белгілі бір жүйелерде матрицаның дәрежесі мен белгісіздер саны тең (немесе бірдей бағандар саны);
- - белгісіз - шешімдердің шексіз санымен. Мұндай жүйелердегі матрицалардың дәрежесі белгісіздер санынан аз.
- Үйлесімсіз. Мұндай жүйелер үшін негізгі және кеңейтілген матрицалардың рангтары сәйкес келмейді. Үйлесімсіз жүйелерде шешім жоқ.
Гаусс әдісі жақсы, өйткені ол жүйенің сәйкессіздігінің бірмәнді дәлелін (үлкен матрицалардың анықтауыштарын есептемей-ақ) немесе шешімдерінің шексіз саны бар жүйенің жалпы шешімін алуға мүмкіндік береді.
Бастауыш түрлендірулер
Бұрынжүйенің шешіміне тікелей қалай өтуге болады, сіз оны азырақ ауыртпалықсыз және есептеулер үшін ыңғайлы ете аласыз. Бұған элементарлық түрлендірулер арқылы қол жеткізіледі - олардың орындалуы соңғы жауапты ешбір жолмен өзгертпейді. Айта кету керек, жоғарыда келтірілген кейбір элементар түрлендірулер тек SLAE көзі болған матрицалар үшін ғана жарамды. Міне, осы түрлендірулердің тізімі:
- Жолдарды өзгерту. Жүйе жазбасындағы теңдеулердің ретін өзгертетін болсақ, бұл шешімге ешқандай әсер етпейтіні анық. Сондықтан, бұл жүйенің матрицасындағы жолдарды ауыстыруға болады, әрине, бос мүшелер бағаны туралы ұмытпау керек.
- Жолдың барлық элементтерін кейбір факторға көбейту. Өте пайдалы! Оның көмегімен матрицадағы үлкен сандарды азайтуға немесе нөлдерді жоюға болады. Шешімдер жиынтығы, әдеттегідей, өзгермейді және одан әрі операцияларды орындау ыңғайлы болады. Ең бастысы, коэффициент нөлге тең болмауы керек.
- Пропорционалды коэффициенттері бар жолдарды жою. Бұл ішінара алдыңғы абзацтан туындайды. Егер матрицадағы екі немесе одан да көп жолдарда пропорционалдық коэффициенттер болса, онда жолдардың бірін пропорционалдық коэффициентіне көбейту/бөлу кезінде екі (немесе, тағы да, одан да көп) абсолютті бірдей жолдар алынады және сіз тек қалдырып, артық жолдарды алып тастай аласыз. бір.
- Нөл жолды жою. Егер түрлендірулер барысында бос мүшені қоса алғанда, барлық элементтері нөлге тең болатын жол алынса, онда мұндай жолды нөл деп атауға және матрицадан шығаруға болады.
- Бір жолдың элементтеріне екінші жолдың элементтерін қосу (сәйкессәйкес бағандар) кейбір коэффициентке көбейтілген. Ең түсініксіз және ең маңызды трансформация. Бұл туралы толығырақ тоқталған жөн.
Көбейткішке көбейтілген жолды қосу
Түсіну оңай болуы үшін бұл процесті кезең-кезеңімен бөлшектеген жөн. Матрицадан екі жол алынды:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Екіншіге біріншіні "-2" коэффициентіне көбейту керек делік.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Содан кейін матрицадағы екінші жол жаңасымен ауыстырылады, ал біріншісі өзгеріссіз қалады.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Көбейту коэффициентін екі жолды қосу нәтижесінде жаңа жолдың элементтерінің бірі нөлге тең болатындай етіп таңдауға болатынын ескеру қажет. Сондықтан жүйеде белгісіз біреу кем болатын теңдеу алуға болады. Егер сіз осындай екі теңдеуді алсаңыз, онда операцияны қайтадан орындауға болады және екі аз белгісізді қамтитын теңдеуді алуға болады. Ал егер әр жолы бастапқыдан төмен барлық жолдар үшін бір коэффициентті нөлге айналдырсақ, онда қадамдар сияқты матрицаның ең төменгі жағына түсіп, бір белгісізі бар теңдеу алуға болады. Бұл деп аталадыжүйені Гаусс әдісімен шешу.
Жалпы
Жүйе болсын. Оның m теңдеуі және n белгісіз түбірі бар. Сіз оны былай жаза аласыз:
Негізгі матрица жүйенің коэффициенттерінен құрастырылған. Бос мүшелердің бағаны кеңейтілген матрицаға қосылады және ыңғайлы болу үшін жолақпен бөлінген.
Келесі:
- матрицаның бірінші жолы k=коэффициентіне көбейтіледі (-a21/a11);
- матрицаның бірінші өзгертілген жолы мен екінші жолы қосылады;
- екінші жолдың орнына алдыңғы абзацтағы қосу нәтижесі матрицаға енгізіледі;
- енді жаңа екінші жолдағы бірінші коэффициент a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Қазір бірдей түрлендірулер қатары орындалады, тек бірінші және үшінші жолдар қатысады. Сәйкесінше, алгоритмнің әрбір қадамында a21 элементі a31 ауыстырылады. Содан кейін барлығы 41, … am1 үшін қайталанады. Нәтижесі [2, m] жолдарындағы бірінші элемент нөлге тең болатын матрица. Енді бірінші жолды ұмытып, екінші жолдан бастап дәл сол алгоритмді орындау керек:
- k коэффициент=(-a32/a22);
- екінші өзгертілген жол "ағымдағы" жолға қосылды;
- қосу нәтижесі үшінші, төртінші және т.б. жолдарға ауыстырылады, ал бірінші және екінші өзгеріссіз қалады;
- матрицаның [3, m] жолдарында алғашқы екі элемент әлдеқашан нөлге тең.
Алгоритмді k=коэффициенті (-am, m-1/amm пайда болғанша қайталау керек). Бұл алгоритм соңғы рет тек төменгі теңдеу үшін орындалғанын білдіреді. Енді матрица үшбұрышқа ұқсайды немесе сатылы пішінге ие. Төменгі жолда amn × x =bm теңдеуі бар. Коэффициент пен бос мүше белгілі және олар арқылы түбір өрнектеледі: x =bm/amn. Алынған түбір xn-1=(bm-1 - am-1, n табу үшін жоғарғы жолға ауыстырылады.×(bm/amn))÷aм-1, n-1. Аналогия бойынша және т.б.: әрбір келесі жолда жаңа түбір бар және жүйенің «жоғарғысына» жеткенде, шешімдер жинағын табуға болады [x1, … x ]. Бұл жалғыз болады.
Шешім болмағанда
Егер матрицалық жолдардың бірінде бос мүшеден басқа барлық элементтер нөлге тең болса, онда осы жолға сәйкес теңдеу 0=b сияқты көрінеді. Оның шешімі жоқ. Ал мұндай теңдеу жүйеге енгізілгендіктен, бүкіл жүйенің шешімдер жиыны бос, яғни азғындау.
Шешімдердің шексіз саны болғанда
Кішірейтілген үшбұрышты матрицада бір элементі – теңдеу коэффициенті және біреуі – бос мүшесі бар жолдар болмайтыны белгілі болуы мүмкін. Қайта жазылғанда екі немесе одан да көп айнымалысы бар теңдеу сияқты көрінетін жолдар ғана бар. Бұл жүйеде шешімдердің шексіз саны бар дегенді білдіреді. Бұл жағдайда жауапты жалпы шешім түрінде беруге болады. Мұны қалай жасауға болады?
Барлығыматрицадағы айнымалылар негізгі және бос болып бөлінеді. Негізгі - бұл сатылы матрицадағы жолдардың «шетінде» тұрғандар. Қалғандары тегін. Жалпы шешімде негізгі айнымалылар бос айнымалылар түрінде жазылады.
Ыңғайлы болу үшін алдымен матрица теңдеулер жүйесіне қайта жазылады. Содан кейін олардың соңғысында, дәл бір ғана негізгі айнымалы қалды, ол бір жағында қалады, ал қалғанының бәрі екіншісіне ауысады. Бұл бір негізгі айнымалысы бар әрбір теңдеу үшін жасалады. Содан кейін қалған теңдеулерде мүмкін болған жағдайда негізгі айнымалының орнына ол үшін алынған өрнек ауыстырылады. Егер нәтиже қайтадан тек бір негізгі айнымалыны қамтитын өрнек болса, ол әрбір негізгі айнымалы бос айнымалылары бар өрнек ретінде жазылғанша сол жерден қайтадан өрнектеледі және т.б. Бұл SLAE жалпы шешімі.
Сіз сондай-ақ жүйенің негізгі шешімін таба аласыз - бос айнымалыларға кез келген мәндерді беріңіз, содан кейін осы нақты жағдай үшін негізгі айнымалылардың мәндерін есептеңіз. Шексіз көптеген арнайы шешімдер бар.
Нақты мысалдармен шешім
Міне, теңдеулер жүйесі.
Ыңғайлы болу үшін оның матрицасын бірден жасаған дұрыс
Гаусс әдісімен шешкенде бірінші жолға сәйкес теңдеу түрлендірулердің соңында өзгеріссіз қалатыны белгілі. Сондықтан, матрицаның сол жақ жоғарғы элементі ең кіші болса - бірінші элементтер болса, тиімдірек болады.операциялардан кейінгі қалған жолдар нөлге айналады. Бұл құрастырылған матрицада бірінші жолдың орнына екінші жолды қою тиімді болатынын білдіреді.
Содан кейін бірінші элементтер нөлге тең болуы үшін екінші және үшінші жолдарды өзгерту керек. Ол үшін оларды бірінші коэффициентке көбейтіңіз:
екінші жол: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
үшінші жол: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Енді шатастырмау үшін түрлендірулердің аралық нәтижелері бар матрицаны жазу керек.
Әрине, мұндай матрицаны кейбір операциялардың көмегімен оқуға ыңғайлы етіп жасауға болады. Мысалы, әрбір элементті "-1"-ге көбейту арқылы екінші жолдағы барлық "минустарды" жоюға болады.
Сонымен қатар үшінші жолдағы барлық элементтер үшке еселік екенін атап өткен жөн. Сонда аласызәрбір элементті «-1/3» көбейту арқылы жолды осы санға кесіңіз (минус - теріс мәндерді жою үшін бір уақытта).
Әдемірақ көрінеді. Енді бірінші жолды жалғыз қалдырып, екінші және үшінші жолдармен жұмыс істеу керек. Тапсырма: a32 элементі нөлге айналатындай коэффициентке көбейтілген үшінші жолға екінші жолды қосу.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (кейбір түрлендірулер кезінде Жауапта бүтін сан емес болып шықты, оны жай бөлшек түрінде қалдыру ұсынылады, содан кейін ғана жауаптар алынғаннан кейін дөңгелектеу және басқа пішінге түрлендіру туралы шешім қабылдау керек. белгілеу)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Матрица жаңа мәндермен қайта жазылады.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Көріп отырғаныңыздай, нәтижелі матрицада сатылы пішін бар. Сондықтан жүйені Гаусс әдісімен одан әрі түрлендіру қажет емес. Мұнда не істеуге болады - үшінші жолдан жалпы "-1/7" коэффициентін алып тастау.
Қазір бәріжақсы. Нүкте кішкентай - матрицаны қайтадан теңдеулер жүйесі түрінде жазып, түбірлерін есептеңіз
x + 2y + 4z=12 (1)
7ж + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Түбірлерді енді табуға болатын алгоритм Гаусс әдісінде кері жылжу деп аталады. (3) теңдеу z мәнін қамтиды:
z=61/9
Келесі, екінші теңдеуге оралыңыз:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Ал бірінші теңдеу x мәнін табуға мүмкіндік береді:
x=(12 - 4z - 2ж)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Мұндай жүйені бірлескен, тіпті белгілі, яғни бірегей шешімі бар деп атауға құқығымыз бар. Жауап келесі пішінде жазылған:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Анықталмаған жүйенің мысалы
Белгілі бір жүйені Гаусс әдісімен шешу нұсқасы талданды, енді жүйе анықталмаған, яғни оған шексіз көп шешімдер табуға болатын жағдайды қарастыру қажет.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Жүйе формасының өзі алаңдатарлық, өйткені белгісіздер саны n=5, ал жүйелік матрицаның рангі бұл саннан дәл аз, өйткені жолдар саны m=4, яғни квадрат анықтауыштың ең үлкен реті 4. Демек,Шешімдердің шексіз саны бар және біз оның жалпы түрін іздеуіміз керек. Сызықтық теңдеулер үшін Гаусс әдісі мұны жасауға мүмкіндік береді.
Алдымен, әдеттегідей, кеңейтілген матрица құрастырылады.
Екінші жол: k=(-a21/a11)=-3. Үшінші жолда бірінші элемент түрлендірулердің алдында болады, сондықтан ештеңеге қол тигізудің қажеті жоқ, оны сол күйінде қалдыру керек. Төртінші жол: k=(-a41/a11)=-5
Бірінші жолдың элементтерін олардың әрбір коэффициентіне кезекпен көбейтіп, қажетті жолдарға қоса отырып, біз келесі түрдегі матрицаны аламыз:
Көріп отырғаныңыздай, екінші, үшінші және төртінші жолдар бір-біріне пропорционал элементтерден тұрады. Екінші және төртінші әдетте бірдей, сондықтан олардың біреуін бірден алып тастауға болады, ал қалғанын «-1» коэффициентіне көбейтіп, 3-жол нөмірін алуға болады. Тағы да екі бірдей жолдың бірін қалдырыңыз.
Нәтиже осындай матрица. Жүйе әлі жазылмаған, мұнда негізгі айнымалыларды анықтау қажет - a11=1 және a22=1 коэффициенттерінде тұрып., және тегін - қалғаны.
Екінші теңдеуде бір ғана негізгі айнымалы бар - x2. Демек, оны x3, x4, x5 айнымалылары арқылы жазу арқылы көрсетуге болады. тегін.
Алынған өрнекті бірінші теңдеуге ауыстырыңыз.
Бұл теңдеу шықтыжалғыз негізгі айнымалы x1. Онымен x2 сияқты жасайық.
Барлық негізгі айнымалылар, оның ішінде екеуі, үш бос мәндер арқылы өрнектеледі, енді жауапты жалпы түрде жаза аласыз.
Жүйенің арнайы шешімдерінің бірін де көрсетуге болады. Мұндай жағдайлар үшін, әдетте, бос айнымалылар үшін мәндер ретінде нөлдер таңдалады. Сонда жауап:
болады.
-16, 23, 0, 0, 0.
Сәйкес емес жүйенің мысалы
Сәйкес емес теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу ең жылдам. Кезеңдердің бірінде шешімі жоқ теңдеу алынғаннан кейін ол аяқталады. Яғни, түбірлерді есептеумен, айтарлықтай ұзақ және көңілсіз кезең жоғалады. Келесі жүйе қарастырылуда:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Әдеттегідей матрица құрастырылады:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Және сатылы пішінге қысқартылған:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Бірінші түрлендіруден кейін үшінші жолда
түріндегі теңдеу бар
0=7, шешім жоқ. Сондықтан жүйесәйкес емес және жауап бос жиын.
Әдістің артықшылықтары мен кемшіліктері
Егер сіз SLAE-ді қағазға қаламмен шешудің қай әдісін таңдасаңыз, онда осы мақалада қарастырылған әдіс ең тартымды болып көрінеді. Элементар түрлендірулерде детерминантты немесе кейбір күрделі кері матрицаны қолмен іздеу керек болса, шатасу қиынырақ. Алайда, егер сіз осы типтегі деректермен жұмыс істеуге арналған бағдарламаларды, мысалы, электрондық кестелерді пайдалансаңыз, онда мұндай бағдарламаларда матрицалардың негізгі параметрлерін - анықтауыш, минорлар, кері және транспозицияланған матрицаларды және т.б. есептеу алгоритмдері бар екені белгілі болды.. Ал егер сіз машинаның бұл мәндерді өзі есептейтініне және қателеспейтініне сенімді болсаңыз, матрицалық әдісті немесе Крамер формулаларын қолданған дұрыс, өйткені олардың қолданылуы детерминанттар мен кері матрицаларды есептеуден басталып, аяқталады.
Қолданба
Гаусс шешімі алгоритм, ал матрица шын мәнінде екі өлшемді массив болғандықтан, оны бағдарламалауда қолдануға болады. Бірақ мақала өзін «манекендерге арналған» нұсқаулық ретінде көрсететіндіктен, әдісті енгізудің ең оңай орны электрондық кестелер, мысалы, Excel екенін айту керек. Тағы да, матрица түрінде кестеге енгізілген кез келген SLAE Excel бағдарламасында екі өлшемді массив ретінде қарастырылады. Және олармен операциялар үшін көптеген жақсы командалар бар: қосу (тек бірдей өлшемдегі матрицаларды қосуға болады!), Санға көбейту, матрицаны көбейту (сонымен біргебелгілі бір шектеулер), кері және ауыстырылған матрицаларды табу және ең бастысы анықтауышты есептеу. Егер бұл көп уақытты қажет ететін тапсырма бір пәрменмен ауыстырылса, матрицаның дәрежесін анықтау әлдеқайда жылдамырақ болады, демек, оның үйлесімділігін немесе сәйкессіздігін анықтайды.
