Кеңістіктегі фигураларды қарастырған кезде олардың бетінің ауданын анықтауда мәселелер жиі туындайды. Сондай фигуралардың бірі – конус. Мақалада дөңгелек негізі бар конустың, сондай-ақ кесілген конустың бүйір беті қандай екенін қарастырыңыз.
Дөңгелек негізі бар конус
Конустың бүйір бетін қарастыруға кіріспес бұрын оның қандай фигура екенін және оны геометриялық әдістер арқылы қалай алуға болатынын көрсетеміз.
Тік бұрышты ABC үшбұрышын алайық, мұндағы AB және AC катеттері. Осы үшбұрышты АС катетіне қойып, оны АВ катетінің айналасында айналдырайық. Нәтижесінде AC және BC жақтары төменде көрсетілген фигураның екі бетін сипаттайды.
Айналу арқылы алынған фигураны дөңгелек түзу конус деп атайды. Ол дөңгелек, себебі оның табаны шеңбер, ал түзу, өйткені фигураның жоғарғы жағынан жүргізілген перпендикуляр (В нүктесі) оның центріндегі шеңберді қиып өтеді. Бұл перпендикулярдың ұзындығы биіктік деп аталады. Ол AB аяғына тең екені анық. Биіктік әдетте h әрпімен белгіленеді.
Биіктіктен басқа, қарастырылатын конус тағы екі сызықтық сипаттамамен сипатталады:
- генерациялау немесе генератрикс (гипотенуза BC);
- негізгі радиус (AC аяғы).
Радиус r әрпімен, ал генераторатриса g арқылы белгіленеді. Сонда Пифагор теоремасын ескере отырып, қарастырылып отырған фигура үшін маңызды теңдікті жаза аламыз:
g2=h2+ r2
Конусты бет
Барлық генерациялардың жиынтығы конустың конустық немесе бүйір бетін құрайды. Сыртқы түрі бойынша оның қай жалпақ фигураға сәйкес келетінін айту қиын. Соңғысын конустық беттің ауданын анықтау кезінде білу маңызды. Бұл мәселені шешу үшін сыпыру әдісі қолданылады. Ол мыналардан тұрады: бет ерікті генератрикс бойымен ойша кесіледі, содан кейін ол жазықтықта ашылады. Бұл сыпыру әдісімен келесі тегіс фигура жасалады.
Сіз болжағандай, шеңбер негізге сәйкес келеді, бірақ дөңгелек сектор конустық бет, оның ауданы бізді қызықтырады. Сектор екі генератрицамен және доғамен шектелген. Соңғысының ұзындығы негіз шеңберінің периметріне (ұзындығына) тура тең. Бұл сипаттамалар дөңгелек сектордың барлық қасиеттерін бірегей түрде анықтайды. Біз аралық математикалық есептеулерді бермейміз, бірақ конустың бүйір бетінің ауданын есептеуге болатын соңғы формуланы дереу жазамыз. Формула:
Sb=pigr
Конустық беттің ауданы Sb екі параметр мен Pi көбейтіндісіне тең.
Қиық конус және оның беті
Егер кәдімгі конусты алып, оның төбесін параллель жазықтықпен кесіп алсақ, қалған фигура қиық конус болады. Оның бүйір беті екі дөңгелек негізмен шектелген. Олардың радиустарын R және r деп белгілейік. Фигураның биіктігін h деп, ал генерацияны g деп белгілейміз. Төменде бұл сурет үшін кесілген қағаз бар.
Бүйір беті енді дөңгелек сектор емес, оның ауданы кішірек, өйткені орталық бөлігі одан кесілген. Әзірлеу төрт сызықпен шектелген, олардың екеуі түзу сызық сегменттері-генераторлар, қалған екеуі кесілген конус негіздерінің сәйкес шеңберлерінің ұзындықтары бар доғалар.
Бүйір беті Sbтөмендегідей есептелген:
Sb=pig(r + R)
Генератрица, радиустар және биіктік келесі теңдікпен байланысты:
g2=h2+ (R - r)2
Фигуралар аудандарының теңдігі мәселесі
Биіктігі 20 см, табанының радиусы 8 см болатын конус берілген. Бүйір беті осы конустың ауданына тең болатын кесілген конустың биіктігін табу керек. Кесілген фигура бір негізге салынған, ал үстіңгі негіздің радиусы 3 см.
Алдымен конус пен кесілген фигураның аудандарының теңдік шартын жазып алайық. Бізде:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Енді әр фигураның генераторлары үшін өрнектерді жазайық:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Тең аудандар үшін формулаға g1 және g2 сандарын қойып, сол және оң жақтарының квадратын белгілеңіз, біз мынаны аламыз:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
h2 өрнегін қайдан аламыз:
h2=√(R2(R2+ с 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Біз бұл теңдікті жеңілдетпейміз, жай шарттан белгілі деректерді ауыстырамыз:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 см
Осылайша, фигуралардың бүйір беттерінің аудандарын теңестіру үшін кесілген конустың келесі параметрлері болуы керек: R=8 см, r=3 см, h2≈ 14, 85 см.
