Иррационал сандар дегеніміз не? Неліктен олар бұлай аталады? Олар қайда қолданылады және олар қандай? Бұл сұрақтарға ойланбастан жауап бере алатындар аз. Бірақ іс жүзінде оларға жауаптар өте қарапайым, бірақ олар бәріне қажет емес және өте сирек жағдайларда
Мәні мен белгіленуі
Иррационал сандар шексіз периодты емес ондық бөлшектер. Бұл ұғымды енгізу қажеттілігі бұрын пайда болған нақты немесе нақты, бүтін, натурал және рационал сандар ұғымдарының жаңа туындайтын есептерді шешуге жеткіліксіз болуына байланысты. Мысалы, 2-нің квадраты не екенін есептеу үшін қайталанбайтын шексіз ондық бөлшектерді пайдалану керек. Сонымен қатар, көптеген қарапайым теңдеулердің иррационал сан түсінігінсіз шешімі жоқ.
Бұл жиын I деп белгіленеді. Ал, түсінікті болғандай, бұл мәндерді алымында бүтін сан, ал бөлгіште натурал сан болатын жай бөлшек түрінде көрсетуге болмайды..
Алғаш ретәйтпесе, үнді математиктері бұл құбылыспен біздің эрамызға дейінгі 7 ғасырда, кейбір шамалардың квадрат түбірлерін нақты көрсетуге болмайтыны анықталған кезде кездесті. Ал мұндай сандардың бар екендігінің алғашқы дәлелі тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышты зерттеу процесінде мұны жасаған Пифагор Гиппасына жатады. Бұл жинақты зерттеуге біздің дәуірімізге дейін өмір сүрген басқа да ғалымдар елеулі үлес қосты. Иррационал сандар түсінігін енгізу қолданыстағы математикалық жүйені қайта қарауды талап етті, сондықтан олар соншалықты маңызды.
Аттың шығу тегі
Егер қатынас латын тілінен аударғанда «бөлшек», «қатынас» дегенді білдірсе, «ir»
префиксі бұл сөзге қарама-қарсы мағына береді. Осылайша, бұл сандар жиынының атауы олардың бүтін немесе бөлшекпен корреляцияланбайтынын, олардың бөлек орны бар екенін көрсетеді. Бұл олардың мәнінен туындайды.
Жалпы классификациядағы орын
Иррационал сандар рационал сандармен бірге нақты немесе нақты сандар тобына жатады, олар өз кезегінде күрделі сандарға жатады. Ішкі жиындар жоқ, дегенмен алгебралық және трансценденттік сорттар бар, олар төменде талқыланады.
Сипаттар
Иррационал сандар нақты сандар жиынының бөлігі болғандықтан, олардың арифметикада зерттелетін барлық қасиеттері (оларды негізгі алгебралық заңдар деп те атайды) оларға қолданылады.
a + b=b + a (коммутативтілік);
(a + b) + c=a + (b + c)(ассоциативтілік);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (қарсы санның болуы);
ab=ba (орын ауыстыру заңы);
(ab)c=a(bc) (тарату);
a(b+c)=ab + ac (тарату заңы);
a x 1=a
a x 1/a=1 (кері санның болуы);
Салыстыру да жалпы заңдар мен принциптерге сәйкес жүзеге асырылады:
Егер a > b және b > c болса, онда a > c (қатынастың транзитивтілігі) және. т.б.
Әрине, барлық иррационал сандарды негізгі арифметика арқылы түрлендіруге болады. Бұл үшін арнайы ережелер жоқ.
Сонымен қатар, Иррационал сандарға Архимед аксиомасы қолданылады. Онда a және b кез келген екі шама үшін a терминін жеткілікті рет алу арқылы b мәнінен асып кетуге болатыны рас.
Қолдану
Қарапайым өмірде олармен жиі айналысудың қажеті жоқ екеніне қарамастан, иррационал сандарды санау мүмкін емес. Олардың көпшілігі бар, бірақ олар дерлік көрінбейді. Бізді барлық жерде иррационал сандар қоршайды. Барлығына таныс мысалдар - 3-ке тең pi саны, 1415926 … немесе натурал логарифмнің негізі болып табылатын e, 2, 718281828 … Алгебра, тригонометрия және геометрияда оларды үнемі пайдалану керек.. Айтпақшы, «алтын бөліктің» әйгілі мәні, яғни үлкен бөліктің кішіге және керісінше қатынасы да
осы жинаққа жатады. Аз танымал "күміс" - бұл да.
Олар сандар сызығында өте тығыз орналасқан, сондықтан рационалдар жиынына қатысты кез келген екі мәннің арасында иррационалдық мәні міндетті түрде болады.
Бұл жинаққа қатысты әлі де көптеген шешілмеген мәселелер бар. Санның иррационалдығының өлшемі және қалыптылығы сияқты критерийлер бар. Математиктер олардың бір немесе басқа топқа жататындығы үшін ең маңызды мысалдарды зерттеуді жалғастыруда. Мысалы, e қалыпты сан, яғни оның жазбасында әртүрлі цифрлардың пайда болу ықтималдығы бірдей деп есептеледі. Пиге келетін болсақ, оған қатысты зерттеулер әлі де жалғасуда. Иррационалдық өлшемі осы немесе басқа санды рационал сандармен қаншалықты жуықтап алуға болатынын көрсететін мән деп те аталады.
Алгебралық және трансцендентальды
Айтылғандай иррационал сандар шартты түрде алгебралық және трансценденттік болып бөлінеді. Шартты түрде, нақты айтқанда, бұл жіктеу C жиынын бөлу үшін пайдаланылады.
Бұл белгілеу нақты немесе нақты сандарды қамтитын күрделі сандарды жасырады.
Сонымен, алгебралық шама нөлге бірдей емес көпмүшенің түбірі болып табылатын шама. Мысалы, 2 санының квадрат түбірі осы санатта болады, себебі ол x2 - 2=0 теңдеуінің шешімі болып табылады.
Бұл шартты қанағаттандырмайтын барлық басқа нақты сандар трансценденттік деп аталады. Бұл әртүрліліккеең танымал және бұрын айтылған мысалдарды қамтиды - pi саны және табиғи логарифмнің негізі e.
Бір қызығы, бірде-біреуін де, екіншісін де бастапқыда математиктер мұндай дәрежеде шығарған жоқ, олардың иррационалдылығы мен трансценденттігі ашылғаннан кейін көп жылдар өткен соң дәлелденді. Пи үшін дәлелдеу 1882 жылы беріліп, 1894 жылы жеңілдетілді, бұл шеңберді квадраттау мәселесіне қатысты 2500 жылдық пікірталасқа нүкте қойды. Ол әлі толық түсінілмеген, сондықтан қазіргі математиктердің жұмыс істеуі керек нәрсе бар. Айтпақшы, бұл шаманың алғашқы жеткілікті дәл есебін Архимед жүргізді. Оның алдында барлық есептеулер тым жуық болды.
e (Эйлер немесе Непье сандары) үшін оның трансценденттігінің дәлелі 1873 жылы табылды. Ол логарифмдік теңдеулерді шешуде қолданылады.
Басқа мысалдарға синус, косинус және кез келген алгебралық нөлдік емес мәндер үшін тангенс мәндері кіреді.
