Егер денелердің сызықтық қозғалысы классикалық механикада Ньютон заңдарының көмегімен сипатталса, онда механикалық жүйелердің айналмалы траекториялар бойымен қозғалысының сипаттамалары арнайы өрнек арқылы есептеледі, оны моменттердің теңдеуі деп атайды. Біз қандай сәттер туралы айтып отырмыз және бұл теңдеудің мәні неде? Осы және басқа сұрақтар мақалада берілген.
Күш моменті
Денеге әсер ететін, оған үдеу беретін Ньютон күшін бәрі жақсы біледі. Белгілі бір айналу осіне бекітілген затқа мұндай күш әсер еткенде, бұл сипаттама әдетте күш моменті деп аталады. Күш теңдеуінің моментін былай жазуға болады:
M¯=L¯F¯
Бұл өрнекті түсіндіретін сурет төменде көрсетілген.
Мұнда F¯ күші L¯ векторына Φ бұрышымен бағытталғанын көруге болады. L¯ векторының өзі айналу осінен (көрсеткімен көрсетілген) қолдану нүктесіне бағытталған деп есептеледі. F¯.
Жоғарыдағы формула екі вектордың көбейтіндісі, сондықтан M¯ де бағытталған. М күш моменті қайда бұрылады? Мұны оң қол ережесімен анықтауға болады (төрт саусақ L¯ векторының соңынан F¯ соңына дейін траектория бойымен бағытталған, ал сол жақ бас бармақ M¯ бағытын көрсетеді).
Жоғарыдағы суретте скаляр түріндегі күш моменті үшін өрнек келесідей болады:
M=LFsin(Φ)
Суретке мұқият қарасаңыз, Lsin(Φ)=d екенін көруге болады, онда бізде формула бар:
M=dF
d мәні күш моментін есептеуде маңызды сипаттама болып табылады, өйткені ол жүйеге қолданылған F тиімділігін көрсетеді. Бұл мән күш рычагы деп аталады.
М-нің физикалық мағынасы күштің жүйені айналдыру қабілетінде жатыр. Әрбір адам есікті тұтқасынан ашып, ілмектердің жанына итерсе немесе гайканы қысқа және ұзын кілтпен бұрап алуға тырысса, бұл қабілетті сезіне алады.
Жүйенің тепе-теңдігі
Күш моменті түсінігі бірнеше күш әсер ететін және осі немесе айналу нүктесі бар жүйенің тепе-теңдігін қарастырғанда өте пайдалы. Мұндай жағдайларда формуланы қолданыңыз:
∑iMi¯=0
Яғни, егер оған әсер ететін күштердің барлық моменттерінің қосындысы нөлге тең болса, жүйе тепе-теңдікте болады. Назар аударыңыз, бұл формулада момент бойынша векторлық белгі бар, яғни шешу кезінде осы таңбаны ескеруді ұмытпау керек.шамалар. Жалпы қабылданған ереже жүйені сағат тіліне қарсы айналдыратын әсер етуші күш оң Mi¯ жасайды.
Осы түрдегі мәселелердің жарқын мысалы - Архимед рычагтарының тепе-теңдігіне қатысты мәселелер.
Импульс моменті
Бұл айналмалы қозғалыстың тағы бір маңызды сипаттамасы. Физикада ол импульс пен рычагтың туындысы ретінде сипатталады. Импульс теңдеуі келесідей:
T¯=r¯p¯
Мұнда p¯ – импульс векторы, r¯ – айналмалы материал нүктесін осьпен қосатын вектор.
Төмендегі сурет бұл өрнекті көрсетеді.
Мұнда ω - момент теңдеуінде одан әрі пайда болатын бұрыштық жылдамдық. T¯ векторының бағыты M¯ сияқты бірдей ереже бойынша табылатынын ескеріңіз. Жоғарыдағы суретте T¯ бағыттағы бұрыштық жылдамдық векторымен ω¯ сәйкес келеді.
T¯ физикалық мағынасы сызықты қозғалыс жағдайындағы p¯ сипаттамаларымен бірдей, яғни бұрыштық импульс айналу қозғалысының (сақталған кинетикалық энергия) шамасын сипаттайды.
Инерция моменті
Айналмалы заттың қозғалыс теңдеуін онсыз тұжырымдау мүмкін емес үшінші маңызды сипаттама – инерция моменті. Ол физикада материалдық нүктенің бұрыштық импульсінің формуласын математикалық түрлендіру нәтижесінде пайда болады. Мұның қалай жасалғанын көрсетейік.
Мәнді елестетіп көрейікT¯ келесідей:
T¯=r¯mv¯, мұнда p¯=mv¯
Бұрыштық және сызықтық жылдамдықтар арасындағы байланысты пайдаланып, бұл өрнекті келесідей қайта жазуға болады:
T¯=r¯mr¯ω¯, мұнда v¯=r¯ω¯
Соңғы өрнекті келесідей жазыңыз:
T¯=r2mω¯
r2m мәні осьтен r қашықтықта айналмалы қозғалыс жасайтын m массалық нүкте үшін I инерция моменті. Бұл ерекше жағдай еркін пішінді дене үшін инерция моментінің жалпы теңдеуін енгізуге мүмкіндік береді:
I=∫m (r2дм)
I – қосымша шама, оның мәні айналмалы жүйенің инерциясында жатыр. Мен неғұрлым үлкен болса, денені айналдыру соғұрлым қиын болады және оны тоқтату үшін көп күш қажет.
Момент теңдеуі
Біз үш шаманы қарастырдық, олардың аты «сәт» сөзінен басталады. Бұл әдейі жасалды, өйткені олардың барлығы 3 моменттік теңдеу деп аталатын бір өрнекте байланысты. Шығарайық.
Т¯ бұрыштық импульстің өрнегін қарастырыңыз:
T¯=Iω¯
T¯ мәні уақыт бойынша қалай өзгеретінін табыңыз, бізде:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Бұрыштық жылдамдықтың туындысы сызықтық жылдамдықтың r-ге бөлінгеніне тең екенін және I мәнін кеңейтетінін ескере отырып, біз мына өрнекке келеміз:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, мұндағы a¯=dv¯/dt – сызықтық үдеу.
Масса мен үдеудің туындысы әсер ететін сыртқы күш F¯ күшінен басқа ештеңе емес екенін ескеріңіз. Нәтижесінде біз мынаны аламыз:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Қызықты қорытындыға келдік: бұрыштық импульстің өзгеруі әсер ететін сыртқы күш моментіне тең. Бұл өрнек әдетте сәл басқаша түрде жазылады:
M¯=Iα¯, мұндағы α¯=dω¯/dt - бұрыштық үдеу.
Бұл теңдік моменттердің теңдеуі деп аталады. Ол жүйенің параметрлерін және оған сыртқы әсердің шамасын біле отырып, айналмалы дененің кез келген сипаттамасын есептеуге мүмкіндік береді.
Сақталу заңы T¯
Алдыңғы абзацта алынған қорытынды күштердің сыртқы моменті нөлге тең болса, онда бұрыштық импульс өзгермейтінін көрсетеді. Бұл жағдайда біз өрнек жазамыз:
T¯=const. немесе I1ω1¯=I2ω2 ¯
Бұл формула T¯ сақталу заңы деп аталады. Яғни, жүйедегі кез келген өзгерістер жалпы бұрыштық импульсті өзгертпейді.
Бұл фактіні мәнерлеп сырғанаушылар мен балериналар өнер көрсету кезінде пайдаланады. Ол сондай-ақ кеңістікте өз осінің айналасында қозғалатын жасанды жерсерікті айналдыру қажет болған жағдайда қолданылады.
