Шеңберге сызылған төртбұрыш. ABCD төртбұрышы шеңберге сызылған

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Математиканың алгебра мен геометрияға бөлінуімен оқу материалы қиындай түседі. Жаңа сандар және олардың ерекше жағдайлары пайда болады. Материалды жақсы түсіну үшін объектілердің ұғымдарын, қасиеттерін және олармен байланысты теоремаларды зерттеу қажет.

Жалпы түсініктер

Төртбұрыш геометриялық фигураны білдіреді. Ол 4 ұпайдан тұрады. Оның үстіне оның 3-еуі бір түзуде орналаспайды. Көрсетілген нүктелерді тізбектей қосатын сегменттер бар.

Мектептегі геометрия курсында оқытылатын барлық төртбұрыштар келесі диаграммада көрсетілген. Қорытынды: ұсынылған суреттегі кез келген нысан алдыңғы суреттің қасиеттеріне ие.

Төртбұрыштың келесі түрлері болуы мүмкін:

• Параллелограмм. Оның қарама-қарсы жақтарының параллельдігі сәйкес теоремалар арқылы дәлелденеді.
• Трапеция. Табандары параллель төртбұрыш. Қалған екі тарап емес.
• Тіктөртбұрыш. Барлық 4 бұрышы бар фигура=90º.
• Ромб. Барлық қабырғалары тең фигура.
• Шаршы. Соңғы екі фигураның қасиеттерін біріктіреді. Оның барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тік.

Бұл тақырыптың негізгі анықтамасы - шеңберге сызылған төртбұрыш. Ол төмендегілерден тұрады. Бұл шеңбер суреттелген фигура. Ол барлық шыңдардан өтуі керек. Шеңберге сызылған төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 360º-ға жетеді.

Әр төртбұрышты жазу мүмкін емес. Бұл 4 жақтың перпендикуляр биссектрисалары бір нүктеде қиылыспауы мүмкін екендігіне байланысты. Бұл 4 бұрышты сызып жатқан шеңбердің центрін табу мүмкін емес болады.

Ерекше жағдайлар

Әр ережеде ерекшеліктер бар. Сонымен, бұл тақырыпта ерекше жағдайлар да бар:

• Палеллограммды шеңберге жазуға болмайды. Тек оның ерекше жағдайы. Бұл тіктөртбұрыш.
• Егер ромбтың барлық төбелері шеңбер сызығында болса, онда ол шаршы болады.
• Трапецияның барлық төбелері шеңбердің шекарасында. Бұл жағдайда олар тең қабырғалы фигура туралы айтады.

Шеңберге сызылған төртбұрыштың қасиеттері

Берілген тақырып бойынша қарапайым және күрделі есептерді шешуден бұрын біліміңізді тексеру керек. Оқу материалын зерттемей, бір ғана мысалды шешу мүмкін емес.

Теорема 1

Шеңберге сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180º.

Дәлелдеу

Берілген: ABCD төртбұрышы шеңберге сызылған. Оның центрі О нүктесі. Біз _<A + _<C=180º және _< екенін дәлелдеуіміз керек. B + _<D=180º.

Ұсынылған сандарды ескеру қажет.

1. _{<A ортасы О нүктесінде орналасқан шеңберге жазылған. Ол ½ BCD (жартылай доға) арқылы өлшенеді.}
2. _{<C сол шеңберге жазылған. Ол ½ ЖАМАН (жартылай доға) арқылы өлшенеді.}
3. BAD және BCD бүтін шеңбер құрайды, яғни олардың магнитудасы 360º.
4. _<A + _{<C көрсетілген жарты доғалардың қосындысының жартысына тең.}
5. Осыдан _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Сол сияқты, _<B және _{<D үшін дәлел. Дегенмен, мәселенің екінші шешімі бар.}

1. Төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 360º болатыны белгілі.
2. Себебі _<A + _<C=180º. Сәйкесінше, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Теорема 2

(Оны жиі кері деп атайды) Егер төртбұрышта _<A + _<C=180º және _{<B +} <_{D=180º (егер олар қарама-қарсы болса), онда мұндай фигураның айналасында шеңберді сипаттауға болады.}

Дәлелдеу

180º тең ABCD төртбұрышының қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы берілген. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Шеңберді ABCD айналасында сызуға болатынын дәлелдеу керек.}

Геометрия курсынан төртбұрыштың 3 нүктесі арқылы шеңбер салуға болатыны белгілі. Мысалы, A, B, C нүктелерін пайдалануға болады. D нүктесі қай жерде орналасады? 3 болжам бар:

1. Ол шеңбердің ішінде аяқталады. Бұл жағдайда D сызыққа тимейді.
2. Шеңберден тыс. Ол белгіленген сызықтан әлдеқайда асып түседі.
3. Ол шеңберде шықты.

D шеңбердің ішінде деп есептеу керек. Көрсетілген шыңның орнын D´ алып жатыр. Бұл ABCD´ төртбұрышы болып шығады.

Нәтиже:_<B + _{<D´=2күн.}

Егер AD´ центрі Е нүктесінде орналасқан бар шеңбермен қиылысуға дейін жалғастырып, E мен C нүктелерін қосатын болсақ, онда сызылған ABCE төртбұрышын аламыз. Бірінші теоремадан теңдік шығады:

Геометрия заңдарына сәйкес өрнек жарамсыз, себебі _<D´ CD´E үшбұрышының сыртқы бұрышы. Сәйкесінше, ол _{<E мәнінен көп болуы керек. Осыдан біз D шеңберде немесе оның сыртында болуы керек деген қорытынды жасауға болады.}

Сол сияқты, D´´ сипатталған фигураның шекарасынан шыққанда үшінші болжамның қателігі дәлелденуі мүмкін.

Екі гипотезадан жалғыз дұрысы шығады. D шыңы шеңбер сызығында орналасқан. Басқаша айтқанда, D E-мен сәйкес келеді. Бұдан төртбұрыштың барлық нүктелері сипатталған түзуде орналасқаны шығады.

Осыларданекі теорема, салдары мынадай:

Кез келген тіктөртбұрышты шеңберге жазуға болады. Тағы бір салдары бар. Шеңберді кез келген тіктөртбұрышты айналдыруға болады

Жамбастары бірдей трапецияны шеңберге жазуға болады. Басқаша айтқанда, ол келесідей естіледі: трапецияның айналасындағы шеңберді шеттері бірдей суреттеуге болады

Бірнеше мысал

1-есеп. ABCD төртбұрышы шеңберге сызылған. _<ABC=105º, _<CAD=35º. _{<ABD табу керек. Жауап градуспен жазылуы керек.}

Шешім. Басында жауап табу қиын болып көрінуі мүмкін.

1. Осы тақырыптағы қасиеттерді есте сақтау керек. Атап айтқанда: қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Геометрияда принципті ұстанған дұрыс: қолыңыздан келгеннің бәрін табыңыз. Кейінірек пайдалы.

2. Келесі қадам: үшбұрыш қосындысы теоремасын пайдаланыңыз.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 3 75º=70º}

_<ABD және _{<ACD жазылған. Шарт бойынша олар бір доғаға сүйенеді. Сәйкесінше, олардың мәндері бірдей:}

_<ABD=_<ACD=70º

Жауап: _<ABD=70º.

2-есеп. BCDE – шеңберге іштей сызылған төртбұрыш. _<B=69º, _<C=84º. Шеңбердің центрі - E нүктесі. Табыңыз - _<E.

Шешім.

1. 1-теорема бойынша _{<E табу керек.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Жауап: _{< E=96º.}

3-есеп. Шеңберге сызылған төртбұрыш берілген. Деректер суретте көрсетілген. Белгісіз x, y, z мәндерін табу керек.

Шешімі:

z=180º – 93º=87º (1-теорема бойынша)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (1-теорема бойынша)

Жауабы: z=87º, x=82º, y=98º.

4-есеп. Шеңберге сызылған төртбұрыш бар. Мәндер суретте көрсетілген. x, y табыңыз.

Шешімі:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Жауабы: x=100º, y=109º.

Тәуелсіз шешуге арналған мәселелер

Мысал 1. Шеңбер берілген. Оның центрі О нүктесі. AC және BD диаметрлері. _<ACB=38º. _{<AOD табу керек. Жауап градуспен берілуі керек.}

2-мысал. ABCD төртбұрышы және оның айналасына сызылған шеңбер берілген. _<ABC=110º, _<ABD=70º. _{<CAD табыңыз. Жауабыңызды градуспен жазыңыз.}

3-мысал. Шеңбер және іштей ABCD төртбұрышы берілген. Оның екі бұрышы 82º және58º. Қалған бұрыштардың ең үлкенін тауып, жауапты градуспен жазу керек.

Мысал 4. ABCD төртбұрышы берілген. A, B, C бұрыштары 1:2:3 қатынасында берілген. Көрсетілген төртбұрышты шеңберге сызуға болатын болса, D бұрышын табу керек. Жауап градуспен берілуі керек.

Мысал 5. ABCD төртбұрышы берілген. Оның қабырғалары сызылған шеңбердің доғаларын құрайды. AB, BC, CD және AD дәреже мәндері сәйкесінше: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Берілген төртбұрыштан _{< тауып, жауапты градуспен жазыңыз.}