Секундтар, жанамалар - мұның барлығын геометрия сабақтарында жүздеген рет естуге болатын. Бірақ мектеп бітіру бітті, жылдар өтеді, бұл білімнің бәрі ұмытылады. Нені есте сақтау керек?
Эссенция
«Шеңберге жанама» термині бәріне таныс шығар. Бірақ оның анықтамасын әркім тез тұжырымдай алуы екіталай. Бұл ретте жанама деп оны тек бір нүктеде қиып өтетін шеңбермен бір жазықтықта жататын осындай түзуні айтады. Олардың алуан түрлілігі болуы мүмкін, бірақ олардың барлығы бірдей қасиеттерге ие, олар төменде талқыланады. Сіз болжағандай, түйісу нүктесі - шеңбер мен сызықтың қиылысатын жері. Әрбір жағдайда бұл біреу, бірақ көп болса, ол секант болады.
Ашу және зерттеу тарихы
Тагенс ұғымы ежелгі дәуірде пайда болды. Бұл түзулерді алдымен шеңберге, сосын сызғыш пен циркульдің көмегімен эллипстерге, параболаларға және гиперболаларға салу геометрия дамуының бастапқы кезеңдерінде де жүргізілді. Әрине, тарих ашушының атын сақтаған жоқ, бірақОл кезде де адамдар шеңберге жанаманың қасиеттерін жақсы білгені анық.
Қазіргі заманда бұл құбылысқа деген қызығушылық қайтадан күшейді – жаңа қисықтардың ашылуымен ұштасқан осы тұжырымдаманы зерттеудің жаңа кезеңі басталды. Сонымен, Галилео циклоид ұғымын енгізді, ал Ферма мен Декарт оған жанама жасады. Шеңберлерге келсек, бұл өлкеде көнелерге сыр қалмаған сияқты.
Сипаттар
Қиылысу нүктесіне сызылған радиус түзуге перпендикуляр болады. Бұл
шеңберге жанаманың негізгі, бірақ жалғыз қасиеті емес. Тағы бір маңызды мүмкіндік екі түзу сызықты қамтиды. Сонымен, шеңберден тыс жатқан бір нүкте арқылы олардың кесінділері тең болатын екі жанама сызуға болады. Бұл тақырып бойынша тағы бір теорема бар, бірақ ол кейбір есептерді шешуге өте ыңғайлы болғанымен, стандартты мектеп курсы аясында сирек қарастырылады. Бұл солай естіледі. Шеңберден тыс орналасқан бір нүктеден оған жанама мен секант тартылады. AB, AC және AD сегменттері қалыптасады. А – түзулердің қиылысы, В – түйісу нүктесі, С және D – қиылысу. Бұл жағдайда келесі теңдік жарамды болады: шеңберге жанаманың квадраты ұзындығы AC және AD кесінділерінің көбейтіндісіне тең болады.
Жоғарыда айтылғандардан маңызды нәтиже бар. Шеңбердің әрбір нүктесі үшін жанама салуға болады, бірақ тек біреуі. Мұның дәлелі өте қарапайым: теориялық тұрғыдан оған радиустан перпендикуляр түсіргенде, біз түзілгенүшбұрыш болуы мүмкін емес. Бұл жанама жалғыз екенін білдіреді.
Ғимарат
Геометриядағы басқа есептердің ішінде ерекше категория бар, әдетте,
емес
оқушылар мен студенттер жақсы көреді. Бұл санаттағы тапсырмаларды шешу үшін сізге тек циркуль мен сызғыш қажет. Бұл құрылыс тапсырмалары. Тангенс салу әдістері де бар.
Сонымен, шеңбер мен оның шекарасынан тыс жатқан нүкте берілген. Және олар арқылы жанама сызу керек. Мұны қалай жасауға болады? Ең алдымен О шеңберінің центрі мен берілген нүктенің арасына кесінді салу керек. Содан кейін компастың көмегімен оны екіге бөліңіз. Мұны істеу үшін радиусты орнату керек - бастапқы шеңбердің центрі мен берілген нүкте арасындағы қашықтықтың жартысынан сәл артық. Осыдан кейін сіз екі қиылысатын доғаларды салуыңыз керек. Сонымен қатар, компастың радиусын өзгерту қажет емес, ал шеңбердің әрбір бөлігінің орталығы сәйкесінше бастапқы нүкте және О болады. Доғалардың қиылысулары қосылуы керек, бұл сегментті екіге бөледі. Компасқа осы қашықтыққа тең радиус орнатыңыз. Әрі қарай, центрді қиылысу нүктесінде қойып, басқа шеңберді сызыңыз. Оның үстінде бастапқы нүкте де, О да жатады. Бұл жағдайда есепте берілген шеңбермен тағы екі қиылысу болады. Олар бастапқы берілген нүктенің жанасу нүктелері болады.
Қызықты
Дөңгелектің жанамаларының құрылысы
дүниеге келуіне әкелді.
дифференциалдық есептеу. Бұл тақырыптағы алғашқы жұмыс болдыатақты неміс математигі Лейбниц басып шығарған. Ол бөлшек және иррационал мәндерге қарамастан максимумдарды, минимумдарды және жанамаларды табу мүмкіндігін қарастырды. Енді ол көптеген басқа есептеулер үшін де қолданылады.
Сонымен қатар шеңберге жанама жанаманың геометриялық мағынасына қатысты. Оның аты осыдан шыққан. Латын тілінен аударғанда tangens «тангенс» дегенді білдіреді. Осылайша, бұл ұғым тек геометрия мен дифференциалдық есептеулермен ғана емес, сонымен қатар тригонометриямен де байланысты.
Екі шеңбер
Тангенс әрқашан бір пішінге ғана әсер етпейді. Бір шеңберге көптеген түзу сызықтарды салуға болатын болса, неге керісінше емес? мүмкін. Бірақ бұл жағдайда тапсырма өте күрделі, өйткені екі шеңбердің жанамасы ешбір нүкте арқылы өтпеуі мүмкін және барлық осы фигуралардың салыстырмалы орналасуы өте
болуы мүмкін.
әртүрлі.
Түрлері мен сорттары
Екі шеңбер және бір немесе бірнеше сызық туралы сөз болғанда, олардың жанама екендігі белгілі болса да, бұл фигуралардың барлығы бір-біріне қатысты қалай орналасқаны бірден анықталмайды. Осыған сүйене отырып, бірнеше сорттар бар. Сонымен, шеңберлерде бір немесе екі ортақ нүкте болуы мүмкін немесе олар мүлдем болмауы мүмкін. Бірінші жағдайда олар қиылысады, ал екіншісінде олар жанасады. Ал мұнда екі сорт бар. Егер бір шеңбер екіншісіне ендірілген болса, онда жанасу ішкі, егер жоқ болса, сыртқы деп аталады. өзара түсінуфигуралардың орналасуы тек сызба негізінде ғана емес, сонымен қатар олардың радиустарының қосындысы және центрлері арасындағы қашықтық туралы ақпарат болуы мүмкін. Егер бұл екі шама тең болса, онда шеңберлер жанасады. Біріншісі үлкенірек болса, олар қиылысады, ал кішірек болса, олардың ортақ нүктелері болмайды.
Түзу сызықтармен бірдей. Ортақ нүктелері жоқ кез келген екі шеңбер үшін
төрт тангенс құрастыр. Олардың екеуі фигуралар арасында қиылысады, олар ішкі деп аталады. Тағы бірнешеу сыртқы.
Егер біз бір ортақ нүктесі бар шеңберлер туралы айтатын болсақ, онда тапсырма айтарлықтай жеңілдетілген. Бұл жағдайда кез келген өзара келісім үшін оларда бір ғана тангенс болады. Және ол олардың қиылысу нүктесі арқылы өтеді. Сондықтан құрылыс қиындық тудырмайды.
Егер фигуралардың екі қиылысу нүктесі болса, онда олар үшін бір де, екіншісі де шеңберге жанама, бірақ тек сыртқысы ғана болатын түзу салуға болады. Бұл мәселенің шешімі төменде талқыланатынға ұқсас.
Мәселені шешу
Екі шеңбердің ішкі және сыртқы жанамаларын салу оңай емес, бірақ бұл мәселені шешуге болады. Бұл үшін көмекші фигура пайдаланылады, сондықтан бұл әдісті өзіңіз ойлап көріңіз
өте проблемалы. Сонымен, радиустары әртүрлі және центрлері O1 және O2 екі шеңбер берілген. Олар үшін екі жұп тангенс құрастыру керек.
Біріншіден, үлкенірек ортасына жақынкөмекші шеңберлер салу керек. Бұл жағдайда екі бастапқы фигураның радиустары арасындағы айырмашылық компаста белгіленуі керек. Көмекші шеңбердің жанамалары кіші шеңбердің ортасынан салынады. Осыдан кейін O1 және O2 нүктелерінен осы түзулерге перпендикулярлар бастапқы фигуралармен қиылысқанша жүргізіледі. Тангенстің негізгі қасиетінен келесідей екі шеңберде де қажетті нүктелер табылады. Мәселе шешілді, ең болмағанда бірінші бөлігі.
Ішкі жанамаларды құру үшін сізге іс жүзінде шешу керек
ұқсас тапсырма. Тағы да көмекші фигура қажет, бірақ бұл жолы оның радиусы түпнұсқалардың қосындысына тең болады. Оған берілген шеңберлердің бірінің центрінен тангенстер салынады. Шешімнің ары қарайғы бағытын алдыңғы мысалдан түсінуге болады.
Шеңберге немесе тіпті екіге немесе одан да көпке жанамалау соншалықты қиын тапсырма емес. Әрине, математиктер мұндай есептерді қолмен шешуді әлдеқашан тоқтатып, есептеулерді арнайы бағдарламаларға сенеді. Бірақ қазір мұны өзіңіз жасай алудың қажеті жоқ деп ойламаңыз, өйткені компьютерге тапсырманы дұрыс құрастыру үшін көп нәрсені істеп, түсіну керек. Өкінішке орай, білімді бақылаудың тесттік формасына соңғы көшкеннен кейін құрастыру тапсырмалары оқушыларға көбірек қиындықтар туғызады деген қауіп бар.
Көбірек шеңберлер үшін ортақ жанамаларды табуға келетін болсақ, олар бір жазықтықта жатса да, бұл әрқашан мүмкін емес. Бірақ кейбір жағдайларда мұндай түзу сызықты табуға болады.
Өмірден мысалдар
Екі шеңберге ортақ жанама тәжірибеде жиі кездеседі, бірақ ол әрқашан байқалмайды. Конвейерлер, блоктық жүйелер, шығырдың беріліс белдіктері, тігін машинасындағы жіптің тартылуы, тіпті жай ғана велосипед тізбегі - мұның бәрі өмірден алынған мысалдар. Сондықтан геометриялық есептер тек теорияда қалады деп ойламаңыз: инженерияда, физикада, құрылыста және басқа да көптеген салаларда олар практикалық қолданбаларды табады.
