Аксиоматикалық әдіс – бұрыннан қалыптасқан ғылыми теорияларды құру тәсілі. Ол дәлелдеуді немесе теріске шығаруды қажет етпейтін дәлелдерге, фактілерге, мәлімдемелерге негізделген. Шындығында, білімнің бұл нұсқасы дедуктивті құрылым түрінде ұсынылған, ол бастапқыда іргелі негіздерден – аксиомалардан мазмұнды логикалық негіздеуді қамтиды.
Бұл әдіс жаңалық бола алмайды, тек жіктеу ұғымы. Бұл оқыту үшін қолайлырақ. Негіз бастапқы ережелерді қамтиды, ал қалған ақпарат логикалық нәтиже ретінде келеді. Теорияны құрудың аксиоматикалық әдісі қайда? Ол ең заманауи және қалыптасқан ғылымдардың негізінде жатыр.
Аксиоматикалық әдіс ұғымының қалыптасуы мен дамуы, сөзге анықтама беру
Біріншіден, бұл ұғым Евклидтің арқасында Ежелгі Грецияда пайда болды. Ол геометриядағы аксиоматикалық әдістің негізін салушы болды. Бүгінгі күні ол барлық ғылымдарда жиі кездеседі, бірақ бәрінен де математикада. Бұл әдіс бекітілген мәлімдемелер негізінде қалыптасады, ал кейінгі теориялар логикалық конструкция арқылы шығарылады.
Бұл былай түсіндіріледі: сөздер мен ұғымдар барбасқа терминдермен анықталады. Нәтижесінде зерттеушілер дәлелді және тұрақты болып табылатын элементарлы тұжырымдар – негізгі, яғни аксиомалар бар деген қорытындыға келді. Мысалы, теореманы дәлелдеу кезінде олар әдетте дәлелденген және теріске шығаруды қажет етпейтін фактілерге сүйенеді.
Алайда бұған дейін оларды дәлелдеу керек еді. Осы процесте аксиома ретінде негізсіз мәлімдеме алынады екен. Тұрақты ұғымдар жиынтығы негізінде басқа теоремалар дәлелденеді. Олар планиметрияның негізін құрайды және геометрияның логикалық құрылымы болып табылады. Бұл ғылымда белгіленген аксиомалар кез келген сипаттағы объектілер ретінде анықталады. Олар, өз кезегінде, тұрақты ұғымдарда көрсетілген қасиеттерге ие.
Аксиомаларды әрі қарай зерттеу
Әдіс он тоғызыншы ғасырға дейін идеалды деп саналды. Негізгі ұғымдарды іздеудің логикалық құралдары сол кездерде зерттелмеген, бірақ Евклид жүйесінде аксиоматикалық әдістен мағыналы нәтижелерді алу құрылымын байқауға болады. Ғалымның зерттеулері таза дедуктивті жолға негізделген геометриялық білімнің толық жүйесін қалай алуға болатынын көрсетті. Оларға дәлелденетіндей ақиқат болып табылатын расталған аксиомалардың салыстырмалы түрде аз саны ұсынылды.
Ежелгі грек ақыл-ойының еңбегі
Евклид көптеген концепцияларды дәлелдеді, олардың кейбіреулері ақталды. Алайда көпшілік бұл еңбегін Пифагорға, Демокритке және Гиппократқа жатқызады. Соңғысы геометрияның толық курсын құрастырды. Рас, кейінірек Александрияда шықты«Бастау» жинағы, оның авторы Евклид. Содан кейін ол «Бастауыш геометрия» деп өзгертілді. Біраз уақыттан кейін олар оны кейбір себептерге байланысты сынай бастады:
- барлық мәндер тек сызғыш пен циркуль арқылы салынған;
- геометрия мен арифметика бір-бірінен бөлініп, жарамды сандармен және түсініктермен дәлелденді;
- аксиомаларды, олардың кейбіреулерін, атап айтқанда, бесінші постулатты жалпы тізімнен алып тастау ұсынылды.
Нәтижесінде евклидтік емес геометрия 19 ғасырда пайда болды, онда объективті шынайы постулат жоқ. Бұл әрекет геометриялық жүйенің одан әрі дамуына серпін берді. Осылайша, математикалық зерттеушілер дедуктивті құрастыру әдістеріне келді.
Аксиомаларға негізделген математикалық білімді дамыту
Геометрияның жаңа жүйесі дами бастағанда аксиоматикалық әдіс те өзгерді. Математикада олар таза дедуктивті теория құрылысына жиі жүгіне бастады. Нәтижесінде барлық ғылымның негізгі бөлімі болып табылатын қазіргі сандық логикада дәлелдеудің тұтас жүйесі пайда болды. Математикалық құрылымда негіздеу қажеттігін түсіне бастады.
Осылайша, ғасырдың соңына қарай күрделі теоремадан ең қарапайым логикалық тұжырымға дейін қысқартылған нақты тапсырмалар мен күрделі ұғымдардың құрылысы қалыптасты. Осылайша, евклидтік емес геометрия аксиоматикалық әдістің одан әрі өмір сүруіне, сондай-ақ жалпы сипаттағы мәселелерді шешуге берік негізді ынталандырды.математикалық конструкциялар:
- консистенция;
- толық;
- тәуелсіздік.
Процесс барысында интерпретация әдісі пайда болды және сәтті жасалды. Бұл әдіс келесідей сипатталады: теориядағы әрбір шығыс тұжырымдамасы үшін математикалық объект орнатылады, оның жиынтығы өріс деп аталады. Көрсетілген элементтер туралы мәлімдеме жалған немесе ақиқат болуы мүмкін. Нәтижесінде тұжырымдарға байланысты мәлімдемелер аталды.
Түсіндіру теориясының ерекшеліктері
Ереже бойынша, өріс пен қасиеттер математикалық жүйеде де қарастырылады және ол өз кезегінде аксиоматикалық болуы мүмкін. Түсіндіру салыстырмалы сәйкестігі бар мәлімдемелерді дәлелдейді. Қосымша нұсқа - теория қарама-қайшы болатын бірқатар фактілер.
Шынында, шарт кейбір жағдайларда орындалады. Нәтижесінде, егер мәлімдемелердің бірінің мәлімдемесінде екі жалған немесе ақиқат ұғым болса, онда ол теріс немесе оң болып саналады. Бұл әдіс Евклид геометриясының сәйкестігін дәлелдеу үшін қолданылды. Түсіндіру әдісін қолдана отырып, аксиома жүйелерінің тәуелсіздігі туралы мәселені шешуге болады. Егер қандай да бір теорияны жоққа шығару керек болса, онда бір ұғымның екіншісінен алынбағанын және қате екенін дәлелдеу жеткілікті.
Дегенмен, сәтті мәлімдемелермен қатар әдістің әлсіз жақтары да бар. Аксиомалар жүйесінің жүйелілігі мен тәуелсіздігі салыстырмалы нәтиже беретін сұрақтар ретінде шешіледі. Ауызша аударманың бірден-бір маңызды жетістігі болып табыладыжүйелілік мәселесі басқа ғылымдар қатарында төмендетілген құрылым ретінде арифметика рөлін ашу.
Аксиоматикалық математиканың қазіргі дамуы
Аксиоматикалық әдіс Гилберттің еңбегінде дами бастады. Оның мектебінде теория мен формальды жүйе ұғымының өзі нақтыланды. Нәтижесінде жалпы жүйе пайда болып, математикалық объектілер нақты болды. Сонымен қатар, негіздеу мәселелерін шешуге мүмкіндік туды. Осылайша, формальды жүйе формулалар мен теоремалардың ішкі жүйелерін қамтитын нақты класс арқылы құрастырылады.
Бұл құрылымды құру үшін тек техникалық ыңғайлылықты басшылыққа алу керек, өйткені олардың семантикалық жүктемесі жоқ. Оларды белгілермен, белгілермен жазуға болады. Яғни, шын мәнінде, жүйенің өзі формалды теорияны адекватты және толық қолдануға болатындай етіп салынған.
Нәтижесінде нақты математикалық мақсат немесе тапсырма нақты мазмұнға немесе дедуктивті пайымдауға негізделген теорияға құйылады. Сандық ғылымның тілі формальды жүйеге ауысады, процесте кез келген нақты және мағыналы өрнек формуламен анықталады.
Формалдау әдісі
Заттардың табиғи жағдайында мұндай әдіс жүйелілік сияқты жаһандық мәселелерді шешуге, сондай-ақ алынған формулалар бойынша математикалық теориялардың жағымды мәнін құруға қабілетті болады. Ал негізінде мұның барлығы дәлелденген тұжырымдарға негізделген формальды жүйе арқылы шешілетін болады. Математикалық теориялар үнемі негіздемелермен күрделене түсті жәнеГилберт бұл құрылымды соңғы әдістерді қолдану арқылы зерттеуді ұсынды. Бірақ бұл бағдарлама сәтсіз аяқталды. Годельдің ХХ ғасырдағы нәтижелері келесі қорытындыларға әкелді:
- табиғи бірізділік мүмкін емес, себебі бұл жүйедегі формальдандырылған арифметика немесе басқа ұқсас ғылым толық болмайды;
- шешілмейтін формулалар пайда болды;
- шағымдар дәлелденбейді.
Нағыз пайымдаулар мен ақылға қонымды ақырғы аяқтау формальды деп саналады. Осыны ескере отырып, аксиоматикалық әдістің осы теорияда белгілі және айқын шекаралары мен мүмкіндіктері бар.
Математиктердің еңбектеріндегі аксиомалардың даму нәтижелері
Кейбір пайымдаулар теріске шығарылып, дұрыс дамымағанына қарамастан, тұрақты ұғымдар әдісі математиканың негіздерін қалыптастыруда маңызды рөл атқарады. Сонымен қатар, ғылымдағы интерпретация мен аксиоматикалық әдіс көптік теориядағы таңдау тұжырымдары мен гипотезалардың жүйелілігінің, тәуелсіздігінің іргелі нәтижелерін ашты.
Дәйектілік мәселесін шешуде ең бастысы – тек қалыптасқан ұғымдарды ғана қолдану емес. Олар сондай-ақ идеялармен, тұжырымдамалармен және соңғы әрлеу құралдарымен толықтырылуы керек. Бұл ретте әртүрлі көзқарастар, әдістер, теориялар қарастырылады, олардың логикалық мағынасы мен негіздемесі ескерілуі керек.
Формальды жүйенің бірізділігі индукцияға, санауға, трансфинитті санға негізделген арифметиканың ұқсас аяқталуын көрсетеді. Ғылыми салада аксиоматизация ең маңызды болып табыладынегізге алынатын бұлтартпас тұжырымдамалар мен мәлімдемелер бар құрал.
Бастапқы тұжырымдардың мәні және олардың теориялардағы рөлі
Аксиоматикалық әдісті бағалау қандай да бір құрылымның оның мәнінде жатқанын көрсетеді. Бұл жүйе анықталмаған негізгі тұжырымдама мен іргелі мәлімдемелерді анықтаудан құрылған. Түпнұсқа болып саналатын және дәлелсіз қабылданған теоремалар да дәл осылай болады. Жаратылыстану ғылымдарында мұндай тұжырымдар ережелермен, болжамдармен, заңдармен бекітіледі.
Содан кейін қалыптасқан пайымдау негіздерін бекіту процесі жүреді. Әдетте, бір позициядан басқасы шығарылатыны бірден көрсетіледі, ал процесте қалғандары шығады, бұл мәні бойынша дедуктивті әдіспен сәйкес келеді.
Қазіргі замандағы жүйенің мүмкіндіктері
Аксиоматикалық жүйе мыналарды қамтиды:
- логикалық қорытындылар;
- терминдер мен анықтамалар;
- жартылай дұрыс емес мәлімдемелер мен түсініктер.
Қазіргі ғылымда бұл әдіс абстрактілілігін жоғалтты. Евклидтік геометриялық аксиоматизация интуитивті және шынайы ұсыныстарға негізделген. Ал теория ерекше, табиғи түрде түсіндірілді. Бүгінгі таңда аксиома – бұл өз алдына айқын ереже, ал келісім және кез келген келісім негіздеуді қажет етпейтін бастапқы ұғым ретінде әрекет ете алады. Нәтижесінде бастапқы мәндер сипаттаудан алыс болуы мүмкін. Бұл әдіс шығармашылықты, қарым-қатынастарды білуді және негізгі теорияны қажет етеді.
Қорытынды шығарудың негізгі принциптері
Дедуктивті аксиоматикалық әдіс – эмпирикалық фактілер туралы тұжырымдарды шығаратын, дұрыс іске асырылған гипотезаларға негізделген белгілі бір схема бойынша құрылған ғылыми білім. Мұндай қорытынды логикалық құрылымдардың негізінде, қатты туынды арқылы құрылады. Аксиомалар бастапқыда дәлелдеуді қажет етпейтін теріске шығаруға болмайтын мәлімдемелер болып табылады.
Шегерім кезінде бастапқы ұғымдарға белгілі талаптар қойылады: жүйелілік, толықтық, тәуелсіздік. Тәжірибе көрсеткендей, бірінші шарт формальды логикалық білімге негізделген. Яғни, теорияда ақиқат пен жалғандық мағыналары болмауы керек, өйткені оның енді мағынасы мен құндылығы болмайды.
Егер бұл шарт орындалмаса, онда ол үйлеспейтін болып саналады және ондағы кез келген мағына жоғалады, өйткені ақиқат пен жалғанның арасындағы мағыналық жүктеме жоғалады. Дедуктивті түрде аксиоматикалық әдіс ғылыми білімді құру және негіздеу тәсілі болып табылады.
Әдістің практикалық қолданылуы
Ғылыми білімді құрудың аксиоматикалық әдісі практикалық тұрғыдан қолданылады. Шын мәнінде, бұл әдіс математикаға әсер етеді және ғаламдық мәнге ие, дегенмен бұл білім өзінің шыңына жетті. Аксиоматикалық әдістің мысалдары келесідей:
- аффиндік жазықтықтардың үш мәлімдемесі және анықтамасы бар;
- эквиваленттік теорияның үш дәлелі бар;
- екілік қатынастар анықтамалар, ұғымдар және қосымша жаттығулар жүйесіне бөлінеді.
Егер бастапқы мағынаны тұжырымдағыңыз келсе, жиындар мен элементтердің табиғатын білуіңіз керек. Негізінде аксиоматикалық әдіс ғылымның әртүрлі салаларының негізін құрады.
