1900 жылы өткен ғасырдың ең ірі ғалымдарының бірі Дэвид Гильберт математикадағы шешілмеген 23 есептің тізімін жасады. Олардағы жұмыс адам білімінің осы саласының дамуына зор әсер етті. 100 жылдан кейін Клей математикалық институты мыңжылдық есептері деп аталатын 7 есептің тізімін ұсынды. Олардың әрқайсысына 1 миллион доллар сыйақы ұсынылды.
Ғалымдарды бір ғасырдан астам уақыт бойы мазалаған жұмбақтардың екі тізімінде де пайда болған жалғыз мәселе Риман гипотезасы болды. Ол әлі шешімін күтуде.
Қысқа өмірбаяндық жазба
Георг Фридрих Бернхард Риман 1826 жылы Ганноверде кедей пастордың көп балалы отбасында дүниеге келген және небәрі 39 жыл өмір сүрген. Оның 10 еңбегін жарыққа шығаруға қол жеткізді. Дегенмен, Риман тірі кезінде-ақ өзінің ұстазы Иоганн Гаусстың мұрагері болып саналды. Жас ғалым 25 жасында «Күрделі айнымалы функциялар теориясының негіздері» атты кандидаттық диссертациясын қорғады. Кейінірек тұжырымдадыоның әйгілі гипотезасы.
Жай сандар
Математика адам санауды үйренген кезде пайда болды. Осы кезде сандар туралы алғашқы идеялар пайда болды, олар кейінірек оларды жіктеуге тырысты. Олардың кейбіреулерінің ортақ қасиеттері бар екені байқалды. Атап айтқанда, натурал сандар, яғни объектілердің санын санау (нөмірлеу) немесе белгілеу үшін қолданылатындар арасында тек біреуге және өзіне бөлінетін топ бөлінді. Олар қарапайым деп аталады. Мұндай сандар жиынының шексіздік теоремасының талғампаз дәлелін Евклид өзінің Элементтерінде келтірді. Қазіргі уақытта оларды іздеу жұмыстары жалғасуда. Атап айтқанда, бұрыннан белгілі ең үлкен сан 274 207 281 – 1.
Эйлер формуласы
Жай сандар жиынының шексіздігі туралы түсінікпен қатар Евклид жай көбейткіштерге жалғыз мүмкін болатын ыдырау туралы екінші теореманы да анықтады. Оған сәйкес кез келген натурал сан тек бір жай сандар жиынының көбейтіндісі болып табылады. 1737 жылы ұлы неміс математигі Леонхард Эйлер Евклидтің бірінші шексіздік теоремасын төмендегі формула ретінде көрсетті.
Ол zeta функциясы деп аталады, мұнда s тұрақты және p барлық жай мәндерді қабылдайды. Евклидтің экспансияның бірегейлігі туралы мәлімдемесі осыдан тікелей шыққан.
Riemann Zeta функциясы
Ейлер формуласы, мұқият тексергенде, толықтаңқаларлық, өйткені ол жай және бүтін сандар арасындағы қатынасты анықтайды. Өйткені, оның сол жағында тек жай сандарға тәуелді шексіз көп өрнектер көбейтіледі, ал барлық натурал сандармен байланысты қосынды оң жағында орналасқан.
Риман Эйлерден де асып түсті. Сандарды бөлу есебінің кілтін табу үшін ол нақты және күрделі айнымалылар үшін формуланы анықтауды ұсынды. Ол кейіннен Риман zeta функциясының атауын алды. Ғалым 1859 жылы «Берілген мәннен аспайтын жай сандар саны туралы» атты мақаласын жариялап, онда өзінің барлық ойларын жинақтайды.
Риман кез келген нақты s>1 үшін біріктірілетін Эйлер сериясын пайдалануды ұсынды. Егер бірдей формула кешенді s үшін пайдаланылса, онда қатар 1-ден үлкен нақты бөлігі бар осы айнымалының кез келген мәні үшін жинақталады. Риман zeta(лар) анықтамасын барлық күрделі сандарға кеңейте отырып, аналитикалық жалғастыру процедурасын қолданды, бірақ қондырғыны «лақтырып жіберді». Ол алынып тасталды, себебі s=1 кезінде zeta функциясы шексіздікке дейін артады.
Практикалық мағына
Лигикалық сұрақ туындайды: Риманның нөлдік гипотеза бойынша жұмысында негізгі болып табылатын zeta функциясы неге қызықты және маңызды? Өздеріңіз білетіндей, қазіргі уақытта жай сандардың натурал сандар арасында таралуын сипаттайтын қарапайым үлгі анықталмаған. Риман х аспайтын жай сандардың pi(x) саны дзета функциясының тривиальды емес нөлдерінің таралуы арқылы өрнектелетінін аша алды. Оның үстіне Риман гипотезасыкейбір криптографиялық алгоритмдердің жұмысы үшін уақытты бағалауды дәлелдеудің қажетті шарты.
Риман гипотезасы
Бұл математикалық есептің күні бүгінге дейін дәлелденбеген алғашқы тұжырымдарының бірі былай естіледі: тривиальды емес 0 zeta функциялары – нақты бөлігі ½-ге тең күрделі сандар. Басқаша айтқанда, олар Re s=½ жолында орналасқан.
Сондай-ақ жалпыланған Риман гипотезасы бар, ол бірдей мәлімдеме, бірақ әдетте Дирихле L-функциялары деп аталатын zeta функцияларының жалпылауы үшін (төмендегі суретті қараңыз).
Формулада χ(n) - кейбір сандық таңба (к модулі).
Риман мәлімдемесі нөлдік гипотеза деп аталады, өйткені ол бар үлгі деректерімен сәйкестігі тексерілген.
Риман дәлелдегендей
Неміс математикінің ескертпесі бастапқыда жай ғана айтылған. Өйткені, ол кезде ғалым жай сандарды бөлу туралы теореманы дәлелдемек болды және бұл тұрғыда бұл гипотеза ерекше маңызды емес еді. Дегенмен, оның басқа да көптеген мәселелерді шешудегі рөлі орасан зор. Сондықтан Риманның жорамалын қазір көптеген ғалымдар дәлелденбеген математикалық есептердің ең маңыздысы деп таниды.
Айтылғандай үлестіру теоремасын дәлелдеу үшін толық Риман гипотезасы қажет емес және zeta функциясының кез келген тривиальды емес нөлінің нақты бөлігінің0 мен 1 арасында. Осы қасиеттен жоғарыдағы дәл формулада пайда болатын zeta функциясының барлық 0-лерінің қосындысы ақырлы тұрақты болатыны шығады. x-тің үлкен мәндері үшін ол мүлдем жоғалуы мүмкін. Тіпті өте үлкен х үшін де өзгеріссіз қалатын формуланың жалғыз мүшесі х-тің өзі. Қалған күрделі терминдер онымен салыстырғанда асимптоталық түрде жойылады. Сондықтан өлшенген қосынды х-ке ұмтылады. Бұл жағдайды жай сандарды бөлу туралы теореманың ақиқаттығын растау деп санауға болады. Сонымен Риманның зета функциясының нөлдері ерекше рөл атқарады. Ол мұндай мәндердің ыдырау формуласына айтарлықтай үлес қоса алмайтынын дәлелдеуден тұрады.
Риманның ізбасарлары
Туберкулезден болған қайғылы өлім бұл ғалымға өз бағдарламасын логикалық соңына дейін жеткізуге мүмкіндік бермеді. Алайда оның орнынан Ш-Ж ие болды. де ла Валле Пуссен және Жак Хадамард. Бір-біріне тәуелсіз олар жай сандарды бөлу туралы теореманы шығарды. Хадамард пен Пуссин барлық тривиальды емес 0 zeta функцияларының сыни диапазонда екенін дәлелдей алды.
Осы ғалымдардың еңбегінің арқасында математикада жаңа бағыт – сандардың аналитикалық теориясы пайда болды. Кейінірек Риман жұмыс істеген теореманың тағы бірнеше қарабайыр дәлелдерін басқа зерттеушілер алды. Атап айтқанда, Пал Эрдос пен Атле Сельберг тіпті кешенді талдауды қолдануды қажет етпейтін оны растайтын өте күрделі логикалық тізбекті ашты. Дегенмен, осы сәтте бірнеше маңыздытеоремалар, соның ішінде көптеген сандар теориясы функцияларының жуықтаулары. Осыған байланысты, Эрдос пен Атле Сельбергтің жаңа жұмысы іс жүзінде ештеңеге әсер еткен жоқ.
Мәселенің ең қарапайым және әдемі дәлелдерінің бірін 1980 жылы Дональд Ньюман тапты. Ол әйгілі Коши теоремасына негізделген.
Римандық гипотеза қазіргі криптографияның негіздеріне қауіп төндіре ме
Деректерді шифрлау иероглифтердің пайда болуымен бірге пайда болды, дәлірек айтқанда, олардың өздерін алғашқы кодтар деп санауға болады. Қазіргі уақытта шифрлау алгоритмдерін дамытатын цифрлық криптографияның тұтас саласы бар.
Жай және «жартылай жай» сандар, яғни бір сыныптағы 2 басқа сандарға ғана бөлінетін сандар RSA деп аталатын ашық кілттер жүйесінің негізін құрайды. Оның ең кең қолданысы бар. Атап айтқанда, ол электронды қолтаңбаны қалыптастыру кезінде қолданылады. Манекендерге қол жетімді терминдермен айтатын болсақ, Риман гипотезасы жай сандарды бөлу жүйесінің бар екенін растайды. Осылайша, электронды коммерция саласындағы онлайн транзакциялардың қауіпсіздігі тәуелді болатын криптографиялық кілттердің күші айтарлықтай төмендейді.
Басқа шешілмеген математикалық есептер
Мыңжылдықтың басқа мақсаттарына бірнеше сөз арнау арқылы мақаланы аяқтаған жөн. Оларға мыналар жатады:
- P және NP кластарының теңдігі. Есеп келесідей тұжырымдалған: егер белгілі бір сұраққа оң жауап көпмүшелік уақытта тексерілсе, онда бұл сұрақтың жауабының өзі дұрыс па?тез табуға болады ма?
- Ходждың болжамы. Қарапайым сөзбен айтқанда, оны келесідей тұжырымдауға болады: проекциялық алгебралық сорттардың (кеңістіктердің) кейбір түрлері үшін Ходж циклдері геометриялық түсіндірмесі бар нысандардың тіркесімі болып табылады, яғни алгебралық циклдар.
- Пуанкаре болжамы. Бұл бүгінгі күнге дейін дәлелденген жалғыз мыңжылдық шақыру. Оған сәйкес, 3 өлшемді сфераның спецификалық қасиеттеріне ие кез келген 3 өлшемді объект деформацияға дейін шар болуы керек.
- Янның кванттық теориясын растау - Миллс. Бұл ғалымдардың R 4 кеңістігі үшін ұсынған кванттық теориясының бар екенін және кез келген қарапайым ықшам өлшемді G тобы үшін 0-ші массалық ақауы бар екенін дәлелдеу қажет.
- Берч-Свиннертон-Дайер гипотезасы. Бұл криптографияға қатысты тағы бір мәселе. Ол эллиптикалық қисықтарға тиеді.
- Навье-Стокс теңдеулерінің шешімдерінің бар болуы және біркелкілігі мәселесі.
Енді Риман гипотезасын білесіз. Қарапайым тілмен айтқанда, біз басқа да Мыңжылдық міндеттердің кейбірін тұжырымдадық. Олардың шешілетіні немесе олардың шешімі жоқ екені дәлелденетіні уақыт талабы. Оның үстіне, бұл тым көп күте қоюы екіталай, өйткені математика компьютерлердің есептеу мүмкіндіктерін көбірек пайдаланады. Дегенмен, бәрі технологияға бағынбайды, ғылыми мәселелерді шешу үшін ең алдымен интуиция мен шығармашылық қажет.
