Шешілмейтін есептер – ең қызықты 7 математикалық есеп. Олардың әрқайсысын бір уақытта белгілі ғалымдар, әдетте, гипотеза түрінде ұсынған. Көптеген ондаған жылдар бойы бүкіл әлемдегі математиктер олардың шешімдері туралы ойларын ортаға салды. Табысқа жеткендер Клей институты ұсынатын миллион АҚШ долларымен марапатталады.
Бас тарих
1900 жылы ұлы неміс математигі Давид Гильберт 23 есептің тізімін ұсынды.
Оларды шешу үшін жүргізілген зерттеулер 20 ғасыр ғылымына үлкен әсер етті. Қазіргі уақытта олардың көпшілігі жұмбақ болудан қалды. Шешілмеген немесе жартылай шешілгендердің арасында:
- арифметикалық аксиомалардың бірізділік мәселесі;
- кез келген сан өрісінің кеңістігіндегі жалпы өзаралық заңы;
- физикалық аксиомаларды математикалық зерттеу;
- еркін алгебралық санның квадраттық формаларын зерттеукоэффициенттер;
- Федор Шуберттің есептеу геометриясын қатаң негіздеу мәселесі;
- т.б.
Зерттелмегендер: белгілі Кронекер теоремасын рационалдылықтың кез келген алгебралық аймағына және Риман гипотезасына кеңейту мәселесі.
Клей институты
Бұл штаб-пәтері Кембриджде, Массачусетс штатында орналасқан жеке коммерциялық емес ұйымның атауы. Оның негізін 1998 жылы Гарвард математигі А. Джеффи мен кәсіпкер Л. Клей қойған. Институттың мақсаты – математикалық білімді насихаттау және дамыту. Осы мақсатқа жету үшін ұйым ғалымдар мен демеушілерді марапаттайды.
21 ғасырдың басында Клей математикалық институты ең қиын шешілмейтін есептерді шешетіндерге сыйлық ұсынды, олардың тізімін Мыңжылдық сыйлығының мәселелері деп атады. Гилберт тізіміне Риман гипотезасы ғана енгізілген.
Мыңжылдық сынақтары
The Clay Institute тізімі бастапқыда:
- Ходж циклінің гипотезасы;
- кванттық Ян-Миллс теориясы теңдеулері;
- Пуанкаре гипотезасы;
- P және NP кластарының теңдігі мәселесі;
- Риман гипотезасы;
- Навье-Стокс теңдеулері, оның шешімдерінің бар болуы және тегістігі туралы;
- Берч-Свиннертон-Дайер мәселесі.
Бұл ашық математикалық есептер үлкен қызығушылық тудырады, өйткені олардың көптеген практикалық іске асырулары болуы мүмкін.
Григорий Перельман нені дәлелдеді
1900 жылы атақты философ Анри Пуанкаре шекарасы жоқ кез келген жай қосылған ықшам 3-көпшілік 3 өлшемді сфераға гомеоморфты болады деп ұсынды. Оның дәлелі жалпы жағдайда бір ғасыр бойы табылмады. Тек 2002-2003 жылдары ғана петерборлық математик Г. Перельман Пуанкаре мәселесінің шешімімен бірнеше мақалалар жариялады. Олар жарылған бомбаның әсері болды. 2010 жылы Пуанкаре гипотезасы Клей институтының «Шешілмеген мәселелер» тізімінен шығарылды, ал Перельманның өзіне оған тиесілі қомақты сыйақы алу ұсынылды, соңғысы бұл шешімнің себептерін түсіндірместен бас тартты.
Орыс математигі дәлелдей алған нәрсенің ең түсінікті түсіндірмесін резеңке дискі пончикке (торус) тартылғанын елестету арқылы беруге болады, содан кейін олар оның шеңберінің шеттерін бір нүктеге тартуға тырысады. Бұл мүмкін емес екені анық. Тағы бір нәрсе, егер сіз бұл тәжірибені доппен жасасаңыз. Бұл жағдайда шеңбері гипотетикалық сым арқылы бір нүктеге дейін тартылған дисктен пайда болған үш өлшемді болып көрінетін шар қарапайым адамның түсінігінде үш өлшемді, бірақ математика тұрғысынан екі өлшемді болады.
Пуанкаре үш өлшемді сфераны беті бір нүктеге дейін жиырылуы мүмкін жалғыз үш өлшемді «нысан» деп ұсынды және Перельман оны дәлелдей алды. Сонымен, «Шешілмейтін мәселелер» тізімі бүгінде 6 есептен тұрады.
Янг-Миллс теориясы
Бұл математикалық есепті оның авторлары 1954 жылы ұсынған. Теорияның ғылыми тұжырымы келесідей:кез келген қарапайым ықшам габариттік топ үшін Ян және Миллс жасаған кванттық кеңістік теориясы бар және сонымен бірге массалық ақауы нөлдік.
Қарапайым адамға түсінікті тілде сөйлейтін болсақ, табиғи объектілердің (бөлшектер, денелер, толқындар т.б.) өзара әрекеттесуі электромагниттік, гравитациялық, әлсіз және күшті болып 4 түрге бөлінеді. Көптеген жылдар бойы физиктер жалпы өріс теориясын жасауға тырысты. Ол осы өзара әрекеттесулердің барлығын түсіндіру құралына айналуы керек. Ян-Миллс теориясы – математикалық тіл, оның көмегімен табиғаттың 4 негізгі күшінің 3-ін сипаттауға болады. Бұл гравитацияға қолданылмайды. Сондықтан, Ян мен Миллс өріс теориясын жасай алды деп санауға болмайды.
Сонымен қатар, ұсынылған теңдеулердің сызықты еместігі оларды шешуді өте қиындатады. Кішігірім қосылыс константалары үшін олар шамамен бұзылу теориясының сериясы түрінде шешілуі мүмкін. Дегенмен, бұл теңдеулерді күшті байланыс арқылы қалай шешуге болатыны әлі белгісіз.
Навье-Стокс теңдеулері
Бұл өрнектер ауа ағындары, сұйықтық ағыны және турбуленттілік сияқты процестерді сипаттайды. Кейбір ерекше жағдайлар үшін Навье-Стокс теңдеуінің аналитикалық шешімдері табылған, бірақ әзірге ешкім мұны жалпыға бірдей жасай алмады. Сонымен қатар жылдамдықтың, тығыздықтың, қысымның, уақыттың және т.б. нақты мәндерге арналған сандық модельдеу тамаша нәтижелерге қол жеткізе алады. Біреу Навье-Стокс теңдеулерін керісінше қолдана алады деп үміттену керек.бағыт, яғни оларды пайдаланып параметрлерді есептеңіз немесе шешу әдісі жоқ екенін дәлелдеңіз.
Берч-Свиннертон-Дайер мәселесі
«Шешілмеген мәселелер» санатына Кембридж университетінің британдық ғалымдары ұсынған гипотеза да кіреді. Тіпті 2300 жыл бұрын ежелгі грек ғалымы Евклид x2 + y2=z2 теңдеуінің шешімдеріне толық сипаттама берген.
Егер әрбір жай сан үшін оның модулі бойынша қисықтағы нүктелер санын есептесек, бүтін сандардың шексіз жиынын аламыз. Егер сіз оны күрделі айнымалының 1 функциясына арнайы «жабыстырсаңыз», онда сіз L әрпімен белгіленген үшінші ретті қисық үшін Hasse-Weil zeta функциясын аласыз. Ол барлық жай сандарды бір уақытта әрекет модулі туралы ақпаратты қамтиды.
Брайан Берч пен Питер Свиннертон-Дайер эллиптикалық қисықтар туралы болжам жасады. Оған сәйкес оның рационалды шешімдер жиынының құрылымы мен саны L-функцияның сәйкестіктегі әрекетімен байланысты. Қазіргі уақытта дәлелденбеген Берч-Свиннертон-Дайер болжамы 3-дәрежелі алгебралық теңдеулердің сипаттамасына байланысты және эллиптикалық қисықтардың рангін есептеудің салыстырмалы қарапайым жалпы тәсілі болып табылады.
Бұл тапсырманың практикалық маңыздылығын түсіну үшін қазіргі криптографияда асимметриялық жүйелердің тұтас класы эллиптикалық қисық сызықтарға негізделгенін, ал отандық цифрлық қолтаңба стандарттары олардың қолданылуына негізделгенін айту жеткілікті.
p және np сыныптарының теңдігі
Егер қалған мыңжылдық сынақтары таза математикалық болса, онда бұлалгоритмдердің нақты теориясына қатынасы. Кук-Левин мәселесі деп те аталатын p және np кластарының теңдігіне қатысты мәселені түсінікті тілде келесідей тұжырымдауға болады. Белгілі бір сұраққа оң жауапты жеткілікті жылдам тексеруге болады делік, яғни полиномдық уақытта (PT). Сонда оның жауабын тез табуға болады деген тұжырым дұрыс па? Бұл мәселе одан да қарапайымырақ көрінеді: мәселені шешуден гөрі оны тексеру қиын емес пе? Егер p және np кластарының теңдігі дәлелденсе, онда PV үшін барлық таңдау есептерін шығаруға болады. Қазіргі уақытта көптеген сарапшылар керісінше дәлелдей алмаса да, бұл мәлімдеменің растығына күмәндануда.
Риман гипотезасы
1859 жылға дейін жай сандар натурал сандар арасында қалай бөлінетінін сипаттайтын үлгі табылмады. Мүмкін, бұл ғылымның басқа мәселелермен айналысуына байланысты болды. Алайда 19 ғасырдың ортасына қарай жағдай өзгерді және олар математика айналыса бастаған ең өзекті мәселелердің біріне айналды.
Осы кезеңде пайда болған Риман гипотезасы жай сандарды бөлуде белгілі бір заңдылық бар деген болжам болып табылады.
Бүгінгі күні көптеген заманауи ғалымдар, егер ол дәлелденсе, электронды коммерция механизмдерінің маңызды бөлігінің негізін құрайтын заманауи криптографияның көптеген іргелі принциптерін қайта қарау қажет болады деп санайды.
Риман гипотезасы бойынша кейіпкержай сандарды бөлу қазіргі кезде қабылданғаннан айтарлықтай өзгеше болуы мүмкін. Өйткені, осы уақытқа дейін жай сандарды бөлу жүйесі ашылған жоқ. Мысалы, «егіздердің» мәселесі бар, олардың айырмашылығы 2. Бұл сандар 11 және 13, 29. Басқа жай сандар кластерлерді құрайды. Бұл 101, 103, 107 және т.б. Ғалымдар мұндай кластерлер өте үлкен жай сандар арасында бар деп бұрыннан күдіктенген. Егер олар табылса, қазіргі криптографиялық кілттердің күші күмән тудырады.
Ходж циклінің гипотезасы
Бұл әлі шешілмеген мәселе 1941 жылы тұжырымдалған. Ходж гипотезасы үлкен өлшемдегі қарапайым денелерді «жабыстыру» арқылы кез келген нысанның пішінін жақындату мүмкіндігін ұсынады. Бұл әдіс бұрыннан белгілі және сәтті қолданылған. Дегенмен, қаншалықты жеңілдетуге болатыны белгісіз.
Енді қазір қандай шешілмейтін мәселелер бар екенін білесіз. Олар дүние жүзіндегі мыңдаған ғалымдардың зерттеу нысаны болып табылады. Олар жақын арада шешіледі және олардың іс жүзінде қолданылуы адамзатқа технологиялық дамудың жаңа кезеңіне өтуге көмектеседі деп үміттену керек.
