Катеттері мен гипотенузасы тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары. Біріншісі тік бұрышқа іргелес сегменттер, ал гипотенуза фигураның ең ұзын бөлігі және 90o бұрышына қарама-қарсы орналасқан. Пифагор үшбұрышы - қабырғалары натурал сандарға тең; бұл жағдайда олардың ұзындықтары "Пифагор үштігі" деп аталады.
Египет үшбұрышы
Қазіргі ұрпақ геометрияны қазір мектепте оқытылатын формада меңгеруі үшін ол бірнеше ғасырлар бойы дамып келеді. Негізгі нүкте - Пифагор теоремасы. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары (фигура бүкіл әлемге белгілі) 3, 4, 5.
"Пифагор шалбары барлық бағытта бірдей" деген сөзді білмейтіндер аз. Дегенмен, теорема шын мәнінде былай естіледі: c2 (гипотенузаның квадраты)=a2+b2(квадраттардың квадраттарының қосындысы).
Математиктер арасында қабырғалары 3, 4, 5 (см, м, т.б.) болатын үшбұрыш «египеттік» деп аталады. Бір қызығы, суретте жазылған шеңбердің радиусы бірге тең. Бұл атау шамамен б.з.б. 5 ғасырда, грек философтары Мысырға саяхат жасаған кезде пайда болды.
Пирамидаларды салған кезде сәулетшілер мен геодезистер 3:4:5 қатынасын пайдаланған. Мұндай құрылымдар пропорционалды, көзге ұнамды және кең болып шықты, сонымен қатар сирек құлады.
Тік бұрышты салу үшін құрылысшылар 12 түйін байланған арқан қолданды. Бұл жағдайда тік бұрышты үшбұрыш салу ықтималдығы 95%-ға дейін өсті.
Тең фигуралардың белгілері
- Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы және екінші үшбұрыштың бірдей элементтеріне тең үлкен қабырғасы фигуралар теңдігінің даусыз белгісі болып табылады. Бұрыштардың қосындысын ескере отырып, екінші сүйір бұрыштардың да тең екендігін дәлелдеу оңай. Осылайша, үшбұрыштар екінші мүмкіндікте бірдей.
- Екі фигура бір-бірінің үстіне қойылғанда, олар біріктіріліп, бір тең қабырғалы үшбұрыш болатындай етіп бұраңыз. Оның қасиеті бойынша қабырғалары, дәлірек айтсақ, гипотенузалар, табандағы бұрыштар сияқты тең, яғни бұл сандар бірдей.
Бірінші белгі бойынша үшбұрыштардың шын мәнінде тең екенін дәлелдеу өте оңай, бастысы екі кіші қабырғасы (яғни, катеттері) бір-біріне тең.
Үшбұрыштар II функцияда бірдей болады, оның мәні катет пен сүйір бұрыштың теңдігі болып табылады.
Тік бұрышы бар үшбұрыштың қасиеттері
Тік бұрыштан түсірілген биіктік фигураны екі тең бөлікке бөледі.
Тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен оның медианасын ереже бойынша тану оңай: гипотенузаға түсірілген медиана оның жартысына тең. Фигураның ауданын Герон формуласы бойынша да, оның аяқтардың көбейтіндісінің жартысына тең деген тұжырым арқылы да табуға болады.
Тікбұрышты үшбұрышта 30o, 45o және 60o бұрыштарының қасиеттері.
- Бұрыш 30o болса, қарама-қарсы аяқ ең үлкен жағының 1/2 бөлігіне тең болатынын есте сақтаңыз.
- Егер бұрыш 45o болса, екінші сүйір бұрыш та 45o болады. Бұл үшбұрыштың тең қабырғалы және катеттері бірдей екенін көрсетеді.
- 60o бұрыштың қасиеті – үшінші бұрыштың градус өлшемі 30o.
Аумақты үш формуланың бірі арқылы анықтау оңай:
- оның түсетін биіктігі мен жағы арқылы;
- Герон формуласы бойынша;
- бүйірлерде және олардың арасындағы бұрышта.
Тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары, дәлірек айтсақ, катеттері екі биіктікке жақындайды. Үшіншісін табу үшін алынған үшбұрышты қарастыру керек, содан кейін Пифагор теоремасын пайдаланып, қажетті ұзындықты есептеу керек. Бұл формуладан басқа, гипотенузаның екі еселенген ауданы мен ұзындығының қатынасы да бар. Студенттер арасында ең көп таралған өрнек бірінші болып табылады, өйткені ол аз есептеуді қажет етеді.
Тіктөртбұрышқа қолданылатын теоремаларүшбұрыш
Тікбұрышты үшбұрыштың геометриясы келесідей теоремаларды қолдануды қамтиды:
- Пифагор теоремасы. Оның мәні гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең екендігінде. Евклид геометриясында бұл қатынас негізгі болып табылады. Үшбұрыш берілген болса, формуланы пайдалана аласыз, мысалы, SNH. SN гипотенуза болып табылады және оны табу керек. Содан кейін SN2=NH2+HS2.
- Косинус теоремасы. Пифагор теоремасын жалпылайды: g2=f2+s2-2fsолардың арасындағы бұрыштың cos. Мысалы, DOB үшбұрышы берілген. DB катеті мен DO гипотенузасы белгілі, ОБ табу керек. Содан кейін формула келесі пішінді алады: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos бұрышы D. Үш салдар бар: үшбұрыштың бұрышы сүйір болады, егер екі қабырғасының квадраттарының қосындысынан үшіншінің ұзындығының квадратын алып тастаса, нәтиже нөлден аз болуы керек. Бұл өрнек нөлден үлкен болса, бұрыш доғал болады. Бұрыш - нөлге тең болғанда тік бұрыш.
- Синустар теоремасы. Ол қабырғалардың қарама-қарсы бұрыштарға қатынасын көрсетеді. Басқаша айтқанда, бұл қабырғалардың ұзындықтарының қарама-қарсы бұрыштардың синусына қатынасы. Гипотенузасы HF болатын HFB үшбұрышында ол ақиқат болады: HF/sin B бұрышы=FB/күні H=HB бұрышы/күні F бұрышы.
