Үшбұрыш – тек өзара байланысты үш сегменттен тұратын жазықтықта тұйықталған ең қарапайым фигура. Геометрия есептерінде көбінесе бұл фигураның ауданын анықтау қажет. Бұл үшін не білу керек? Мақалада біз үш жақтағы үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады деген сұраққа жауап береміз.
Жалпы формула
Үшбұрыштың ауданы оның кез келген қабырғаларының ұзындығының көбейтіндісі ретінде есептелетінін біледі - биіктігінің жартысы - h, таңдалған жағына түсірілген. Төменде сәйкес формула берілген: S=ah/2.
Бұл өрнекті кем дегенде екі жағы және олардың арасындағы бұрыштың мәні белгілі болса пайдалануға болады. Бұл жағдайда h биіктігін синус сияқты тригонометриялық функцияларды пайдаланып есептеу оңай. Бірақ үшбұрыштың үш жағындағы ауданды қалай табуға болатынын бәрі бірдей біле бермейді.
Герон формуласы
Бұл формула қалай деген сұраққа жауапүш қабырғасы үшбұрыштың ауданын табады. Оны жазбас бұрын ерікті фигураның кесінділерінің ұзындықтарын a, b және c деп белгілейік. Герон формуласы былай жазылады: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Мұндағы p – фигураның жарты периметрі, яғни: p=(a+b+c)/2.
Көрінетін қиындығына қарамастан, S аймағына арналған жоғарыдағы өрнекті есте сақтау оңай. Мұны істеу үшін алдымен үшбұрыштың жарты периметрін есептеу керек, содан кейін одан фигураның бір жағының ұзындығына шегеріп, алынған барлық айырмашылықтарды және жартылай периметрдің өзін көбейту керек. Соңында өнімнің квадрат түбірін алыңыз.
Бұл формула біздің дәуіріміздің басында өмір сүрген Александриялық Геронның атымен аталған. Қазіргі тарих сәйкес есептеулерді орындау үшін бұл өрнекті алғаш рет қолданған осы философ болды деп есептейді. Бұл формула біздің заманымыздың 60-шы жылдарына жататын оның «Метрика» кітабында жарияланған. Героннан екі ғасыр бұрын өмір сүрген Архимедтің кейбір еңбектерінде грек философының формуланы бұрыннан білгендігінің белгілері бар екеніне назар аударыңыз. Сонымен қатар, ежелгі қытайлықтар үш қабырғасын біле отырып, үшбұрыштың ауданын табуды да білген.
Мәселені Герон формуласының бар екенін білмей-ақ шешуге болатынын ескерген жөн. Ол үшін үшбұрышта бірнеше биіктік сызыңыз және сәйкес теңдеулер жүйесін құрастыра отырып, алдыңғы абзацтағы жалпы формуланы пайдаланыңыз.
Герон өрнегі оларды екіге бөлгеннен кейін ерікті көпбұрыштардың аудандарын есептеу үшін пайдаланылуы мүмкінүшбұрыштар және алынған диагональдардың ұзындықтарын есептеу.
Есептерді шешу мысалы
Үшбұрыштың үш қабырғасының ауданын табуды біле отырып, келесі есепті шығару арқылы білімімізді бекітейік. Фигураның қабырғалары 5 см, 4 см және 3 см болсын. Ауданды табыңыз.
Үшбұрыштың үш қабырғасы белгілі, сондықтан Герон формуласын қолдануға болады. Біз жартылай периметрді және қажетті айырмашылықтарды есептейміз, бізде:
- p=(a+b+c)/2=6 см;
- p-a=1см;
- p-b=2см;
- p-c=3 см.
Сонда ауданды аламыз: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 см2.
Есептің шартында берілген үшбұрыш тік бұрышты, оны Пифагор теоремасын пайдаланғаныңызды тексеру оңай. Мұндай үшбұрыштың ауданы катеттердің көбейтіндісінің жартысы болғандықтан, біз мынаны аламыз: S=43/2=6 см2.
Нәтижедегі мән Герон формуласымен бірдей, бұл соңғысының жарамдылығын растайды.
