Үшбұрыш – ең көп таралған геометриялық фигуралардың бірі, ол бізге бастауыш мектепте бұрыннан таныс. Үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады деген сұрақ геометрия сабағында әр оқушының алдында тұрады. Сонымен, берілген фигураның ауданын табудың қандай ерекшеліктерін ажыратуға болады? Бұл мақалада біз осындай тапсырманы орындау үшін қажетті негізгі формулаларды қарастырамыз, сонымен қатар үшбұрыш түрлерін талдаймыз.
Үшбұрыштар түрлері
Үшбұрыштың ауданын мүлдем басқа жолмен табуға болады, өйткені геометрияда үш бұрыштан тұратын фигураның бірнеше түрі бар. Бұл түрлерге мыналар жатады:
- Сүйірбұрышты үшбұрыш.
- Доға бұрышты.
- Теңбүйір (дұрыс).
- Тікбұрышты үшбұрыш.
- Теңбүйірлер.
Үшбұрыштардың бар түрлерінің әрқайсысын толығырақ қарастырайық.
Өткірүшбұрыш
Мұндай геометриялық фигура геометриялық есептерді шешуде ең көп таралған болып саналады. Ерікті үшбұрыш салу қажет болғанда, бұл опция көмекке келеді.
Сүйір үшбұрышта, аты айтып тұрғандай, барлық бұрыштар сүйір және қосындысы 180°-қа дейін.
Қыз бұрышты үшбұрыш
Бұл үшбұрыш та өте жиі кездеседі, бірақ сүйір бұрышқа қарағанда біршама сирек кездеседі. Мысалы, үшбұрыштарды шешу кезінде (яғни, оның бірнеше қабырғалары мен бұрыштарын білесіз және қалған элементтерін табу керек), кейде бұрыштың доғал немесе доғал емес екенін анықтау керек. Доғал бұрыштың косинусы теріс сан.
Доғал үшбұрышта бұрыштардың бірінің мәні 90°-тан асады, сондықтан қалған екі бұрыш шағын мәндерді қабылдай алады (мысалы, 15° немесе тіпті 3°).
Осындай түрдегі үшбұрыштың ауданын табу үшін кейбір нюанстарды білу керек, олар туралы кейінірек айтатын боламыз.
Дұрыс және тең қабырғалы үшбұрыштар
Дұрыс көпбұрыш - бұл n бұрышты қамтитын және барлық қабырғалары мен бұрыштары тең фигура. Бұл тікбұрышты үшбұрыш. Үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180° болғандықтан, үш бұрыштың әрқайсысы 60°.
Дұрыс үшбұрыш өзінің қасиетіне байланысты теңбүйірлі фигура деп те аталады.
Сонымен қатар мынаны да атап өткен жөндұрыс үшбұрышты тек бір шеңбермен сызуға болады және оның айналасында тек бір шеңберді сызуға болады және олардың орталықтары бір нүктеде орналасқан.
Теңбүйірлі типтен басқа, одан сәл айырмашылығы бар тең қабырғалы үшбұрышты да таңдауға болады. Мұндай үшбұрыштың екі қабырғасы мен екі бұрышы бір-біріне тең, ал үшінші қабырғасы (бірдей бұрыштары түйісетін) табан болады.
Суретте DEF тең қабырғалы үшбұрыш көрсетілген, оның D және F бұрыштары тең, ал DF негізі болып табылады.
Тікбұрышты үшбұрыш
Тік бұрышты үшбұрыш осылай аталады, өйткені оның бір бұрышы тік бұрыш, яғни 90°-қа тең. Қалған екі бұрыштың қосындысы 90°-қа дейін жетеді.
Мұндай үшбұрыштың 90° бұрышқа қарама-қарсы жатқан ең үлкен қабырғасы гипотенуза, ал қалған екі қабырғасы катеттері. Үшбұрыштардың бұл түрі үшін Пифагор теоремасы қолданылады:
Катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысы гипотенузаның ұзындығының квадратына тең.
Суретте AC гипотенузасы және катеттері AB және BC болатын BAC тікбұрышты үшбұрышы көрсетілген.
Тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданын табу үшін оның катеттерінің сандық мәндерін білу керек.
Осы фигураның ауданын табу формулаларына көшейік.
Негізгі аймақ формулалары
Геометрияда үшбұрыштардың көпшілігінің ауданын табуға қолайлы екі формула бар, атап айтқанда сүйір бұрышты, доғал бұрышты, дұрыс жәнетең қабырғалы үшбұрыштар. Олардың әрқайсысын талдап көрейік.
Қатар және биіктік
Бұл формула біз қарастырып отырған фигураның ауданын табу үшін әмбебап болып табылады. Ол үшін жағының ұзындығын және оған тартылған биіктіктің ұзындығын білу жеткілікті. Формуланың өзі (негіз мен биіктіктің жартысы) келесідей көрінеді:
S=½AH, мұндағы A – берілген үшбұрыштың қабырғасы және H – үшбұрыштың биіктігі.
Мысалы, сүйір бұрышты ACB үшбұрышының ауданын табу үшін оның АВ қабырғасын CD биіктігіне көбейтіп, алынған мәнді екіге бөлу керек.
Алайда үшбұрыштың ауданын осылай табу әрқашан оңай бола бермейді. Мысалы, бұл формуланы доғал бұрышты үшбұрыш үшін пайдалану үшін оның бір жағын жалғастырып, содан кейін ғана оған биіктік сызу керек.
Тәжірибеде бұл формула басқаларға қарағанда жиірек қолданылады.
Екі жағында және бұрышта
Бұл формула, алдыңғы сияқты, көптеген үшбұрыштар үшін қолайлы және өз мағынасында үшбұрыштың қабырғасы мен биіктігі бойынша ауданды табу формуласының салдары болып табылады. Яғни, қарастырылып отырған формуланы алдыңғысынан оңай шығаруға болады. Оның сөзі келесідей:
S=½sinOAB, мұндағы A және B үшбұрыштың қабырғалары, ал O - А және В қабырғаларының арасындағы бұрыш.
Еске салайық, бұрыштың синусын көрнекті кеңес математигі В. М. Брадис атындағы арнайы кестеде көруге болады.
Ал енді басқа формулаларға көшейік,үшбұрыштардың ерекше түрлеріне ғана жарамды.
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы
Үшбұрышта биіктік сызу қажеттілігін қамтитын әмбебап формуладан басқа, тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданын оның катеттері арқылы табуға болады.
Осылайша, тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданы оның катеттерінің көбейтіндісінің жартысы немесе:
S=½ab, мұндағы a және b тікбұрышты үшбұрыштың катеттері.
Тұрақты үшбұрыш
Геометриялық фигуралардың бұл түрі оның ауданын оның бір қабырғасының ғана көрсетілген мәнімен табуға болатындығымен ерекшеленеді (өйткені дұрыс үшбұрыштың барлық қабырғалары тең). Сонымен, «қабырғалары тең болған кезде үшбұрыштың ауданын табу» тапсырмасын орындағаннан кейін келесі формуланы пайдалану керек:
S=A2√3 / 4, мұндағы A - теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғасы.
Герон формуласы
Үшбұрыштың ауданын табудың соңғы нұсқасы - Герон формуласы. Оны пайдалану үшін фигураның үш жағының ұзындығын білу керек. Герон формуласы келесідей:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), мұндағы a, b және c - бұл үшбұрыштың қабырғалары.
Кейде тапсырма беріледі: «Дұрыс үшбұрыштың ауданы – оның қабырғасының ұзындығын табыңыз». Бұл жағдайда дұрыс үшбұрыштың ауданын табу үшін бұрыннан белгілі формуланы пайдалану керек және одан қабырғасының (немесе квадратының) мәнін шығару керек:
A2=4S / √3.
Емтихан мәселелері
GIA тапсырмаларындаМатематикада көптеген формулалар бар. Бұған қоса, жиі шашақ қағазда үшбұрыштың ауданын табу қажет.
Бұл жағдайда фигураның бір жағына биіктікті сызу, оның ұзындығын ұяшықтар арқылы анықтау және ауданды табу үшін әмбебап формуланы қолдану өте ыңғайлы:
S=½AH.
Осылайша, мақалада берілген формулаларды зерттегеннен кейін, кез келген түрдегі үшбұрыштың ауданын табуда қиындықтар болмайды.
