Үшбұрыш, шаршы, алтыбұрыш - бұл фигуралар барлығына дерлік белгілі. Бірақ дұрыс көпбұрыштың не екенін бәрі бірдей біле бермейді. Бірақ бұлардың барлығы бірдей геометриялық пішіндер. Дұрыс көпбұрыш деп бұрыштары мен қабырғалары бірдей көпбұрышты айтады. Мұндай сандар өте көп, бірақ олардың барлығының қасиеттері бірдей және оларға бірдей формулалар қолданылады.
Дұрыс көпбұрыштардың қасиеттері
Квадрат немесе сегізбұрыш болсын, кез келген тұрақты көпбұрышты шеңберге жазуға болады. Бұл негізгі қасиет фигураны құрастыру кезінде жиі қолданылады. Сонымен қатар, көпбұрышқа шеңберді де жазуға болады. Бұл жағдайда жанасу нүктелерінің саны оның жақтарының санына тең болады. Дұрыс көпбұрышқа сызылған шеңбердің онымен ортақ центрі болуы маңызды. Бұл геометриялық фигуралар бірдей теоремаларға бағынады. Кез келген жағыдұрыс n-бұрыштың оның айналасында сызылған шеңбердің R радиусымен байланысты. Сондықтан оны келесі формула арқылы есептеуге болады: a=2R ∙ sin180°. Шеңбердің радиусы арқылы көпбұрыштың қабырғаларын ғана емес, сонымен қатар периметрін де табуға болады.
Дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санын қалай табуға болады
Кез келген тұрақты n-бұрыш бір-біріне тең сегменттердің белгілі санынан тұрады, олар қосылған кезде тұйық сызықты құрайды. Бұл жағдайда қалыптасқан фигураның барлық бұрыштары бірдей мәнге ие болады. Көпбұрыштар жай және күрделі болып екіге бөлінеді. Бірінші топқа үшбұрыш пен шаршы кіреді. Күрделі көпбұрыштардың көп жақтары болады. Олардың ішінде жұлдыз тәрізді фигуралар да бар. Күрделі дұрыс көпбұрыштар үшін қабырғаларды шеңберге жазу арқылы табады. Дәлел келтірейік. Қабырғаларының ерікті саны n болатын дұрыс көпбұрышты салыңыз. Оның айналасындағы шеңберді сипаттаңыз. R радиусын көрсетіңіз. Енді кейбір n-gon берілген деп елестетіңіз. Егер оның бұрыштарының нүктелері шеңберде жатса және өзара тең болса, онда қабырғаларды мына формула бойынша табуға болады: a=2R ∙ sinα: 2.
Ішілген дұрыс үшбұрыштың қабырғаларының санын табу
Теңбүйірлі үшбұрыш дұрыс көпбұрыш. Оған квадрат пен n-бұрышқа бірдей формулалар қолданылады. Үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы бірдей болса, дұрыс деп есептеледі. Бұл жағдайда бұрыштар 60⁰ болады. Қабырғасының ұзындығы a берілген үшбұрышты тұрғыз. Оның медианасы мен биіктігін біле отырып,оның жақтарының мәнін табуға болады. Ол үшін a \u003d x: cosα формуласы арқылы табу әдісін қолданамыз, мұндағы x медиана немесе биіктік. Үшбұрыштың барлық қабырғалары тең болғандықтан, a=b=c аламыз. Сонда келесі тұжырым ақиқат болады a=b=c=x: cosα. Сол сияқты, тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғаларының мәнін табуға болады, бірақ x берілген биіктік болады. Сонымен қатар, ол фигураның негізінде қатаң түрде жобалануы керек. Сонымен, x биіктігін біле отырып, a \u003d b \u003d x: cosα формуласы арқылы тең қабырғалы үшбұрыштың а қабырғасын табамыз. a мәнін тапқаннан кейін с негізінің ұзындығын есептеуге болады. Пифагор теоремасын қолданайық. Біз c негізінің жартысының мәнін іздейміз: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Сонда c=2xtanα. Мұнда кез келген сызылған көпбұрыштың қабырғаларының санын табудың қарапайым жолы берілген.
Шеңберге сызылған шаршының қабырғаларын есептеңіз
Кез келген басқа сызылған дұрыс көпбұрыш сияқты, шаршының қабырғалары мен бұрыштары бірдей. Үшбұрышқа ұқсас формулалар оған қолданылады. Диагональ мәнін пайдаланып шаршының қабырғаларын есептеуге болады. Бұл әдісті толығырақ қарастырайық. Диагональ бұрышты екіге бөлетіні белгілі. Бастапқыда оның мәні 90 градус болды. Осылайша, бөлінгеннен кейін екі тік бұрышты үшбұрыш пайда болады. Олардың негізгі бұрыштары 45 градус болады. Тиісінше, шаршының әр жағы тең болады, яғни: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, мұндағы e - квадраттың диагоналы немесе негізі бөлгеннен кейін пайда болған тікбұрышты үшбұрыш. Бұл жалғыз жол емесшаршының қабырғаларын табу. Мына фигураны шеңберге жазып алайық. Осы шеңбердің R радиусын біле отырып, шаршының қабырғасын табамыз. Оны келесідей есептейміз a4=R√2. Дұрыс көпбұрыштардың радиустары R=a: 2tg (360o: 2n) формуласымен есептеледі, мұндағы a – бүйір ұзындығы.
n-бұрыштың периметрін қалай есептеуге болады
n-бұрыштың периметрі оның барлық қабырғаларының қосындысы. Оны есептеу оңай. Мұны істеу үшін сіз барлық жақтардың құндылықтарын білуіңіз керек. Көпбұрыштардың кейбір түрлері үшін арнайы формулалар бар. Олар периметрді әлдеқайда жылдам табуға мүмкіндік береді. Кез келген дұрыс көпбұрыштың қабырғалары тең болатыны белгілі. Сондықтан оның периметрін есептеу үшін олардың кем дегенде біреуін білу жеткілікті. Формула фигураның жақтарының санына байланысты болады. Жалпы алғанда, ол келесідей көрінеді: P \u003d an, мұндағы a - жақтың мәні, ал n - бұрыштардың саны. Мысалы, қабырғасы 3 см болатын дұрыс сегізбұрыштың периметрін табу үшін оны 8-ге көбейту керек, яғни P=3 ∙ 8=24 см. Қабырғасы 5 см алтыбұрыш үшін есептейміз. келесідей: P=5 ∙ 6=30 см. Әр көпбұрыш үшін де солай.
Параллелограммның, шаршының және ромбтың периметрін табу
Дұрыс көпбұрыштың қанша қабырғасы болатынына байланысты оның периметрі есептеледі. Бұл тапсырманы әлдеқайда жеңілдетеді. Шынында да, басқа фигуралардан айырмашылығы, бұл жағдайда оның барлық жақтарын іздеудің қажеті жоқ, тек біреуі жеткілікті. Сол принцип бойынша біз периметрді табамызтөртбұрыштар, яғни шаршы және ромб. Бұл әртүрлі фигуралар болғанына қарамастан, олардың формуласы бірдей P=4a, мұндағы а - жағы. Мысал келтірейік. Егер ромбтың немесе шаршының қабырғасы 6 см болса, онда периметрді келесідей табамыз: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 см Параллелограмның тек қарама-қарсы жақтары бар. Сондықтан оның периметрі басқа әдіс арқылы табылады. Сонымен, біз фигураның ұзындығы a мен енін b білуіміз керек. Содан кейін P=(a + c) ∙ 2 формуласын қолданамыз. Барлық қабырғалары мен арасындағы бұрыштары тең параллелограмм ромб деп аталады.
Теңбүйірлі және тікбұрышты үшбұрыштың периметрін табу
Дұрыс теңбүйірлі үшбұрыштың периметрін P=3a формуласы бойынша табуға болады, мұндағы а - қабырғасының ұзындығы. Егер ол белгісіз болса, оны медиана арқылы табуға болады. Тікбұрышты үшбұрышта тек екі қабырға тең. Негізді Пифагор теоремасы арқылы табуға болады. Барлық үш жақтың мәндері белгілі болғаннан кейін периметрді есептейміз. Оны P \u003d a + b + c формуласын қолдану арқылы табуға болады, мұнда a және b - тең жақтары, ал c - негіз. Еске салайық, тең қабырғалы үшбұрышта a \u003d b \u003d a, демек, a + b \u003d 2a, содан кейін P \u003d 2a + c. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы 4 см, табаны мен периметрін табыңыз. Гипотенузаның мәнін Пифагор теоремасы арқылы есептейміз c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 см. Енді біз Р=2 ∙ 4 + 5 периметрін есептейміз, 65=13,65 см.
Дұрыс көпбұрыштың бұрыштарын қалай табуға болады
Тұрақты көпбұрышбіздің өмірімізде күнделікті кездеседі, мысалы, кәдімгі шаршы, үшбұрыш, сегізбұрыш. Бұл фигураны өзіңіз жасаудан оңай ештеңе жоқ сияқты. Бірақ бұл бір қарағанда ғана. Кез келген n-бұрышты салу үшін оның бұрыштарының мәнін білу керек. Бірақ сіз оларды қалай табасыз? Тіпті ежелгі дәуірдің ғалымдары тұрақты көпбұрыштарды салуға тырысты. Оларды шеңберлерге орналастыруды болжады. Содан кейін оған түзу сызықтармен қосылған қажетті нүктелер белгіленді. Қарапайым сандар үшін құрылыс мәселесі шешілді. Формулалар мен теоремалар алынды. Мысалы, Евклид өзінің әйгілі «Бастау» еңбегінде 3, 4, 5, 6 және 15 гондарға есептер шығарумен айналысты. Оларды салу және бұрыштарды табу жолдарын тапты. Мұны 15 гонка үшін қалай жасауға болатынын көрейік. Алдымен оның ішкі бұрыштарының қосындысын есептеу керек. S=180⁰(n-2) формуласын қолдану қажет. Сонымен, бізге 15 бұрышты берілген, яғни n саны 15. Біз белгілі деректерді формулаға қойып, S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ аламыз. Біз 15 бұрыштың барлық ішкі бұрыштарының қосындысын таптық. Енді олардың әрқайсысының бағасын алуымыз керек. Барлығы 15 бұрыш бар.2340⁰ есебін жасаймыз: 15=156⁰. Бұл әрбір ішкі бұрыштың 156⁰ екенін білдіреді, енді сызғыш пен циркульдің көмегімен сіз кәдімгі 15 бұрышты салуға болады. Бірақ күрделі n-гондар туралы не деуге болады? Ғасырлар бойы ғалымдар бұл мәселені шешу үшін күресті. Оны тек 18 ғасырда Карл Фридрих Гаусс тапқан. Ол 65537-гон құрастыра алды. Содан бері мәселе ресми түрде толығымен шешілді деп саналады.
n-бұрыштардың бұрыштарын есептеурадианмен
Әрине, көпбұрыштардың бұрыштарын табудың бірнеше жолы бар. Көбінесе олар градуспен есептеледі. Бірақ сіз оларды радианмен де көрсете аласыз. Бұны қалай істейді? Келесідей әрекет ету керек. Алдымен дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санын анықтаймыз, содан кейін одан 2-ні шегереміз. Олай болса, мәнді аламыз: n - 2. Табылған айырманы n санына көбейтеміз («pi»=3, 14). Енді алынған туындыны n-бұрыштағы бұрыштар санына бөлу ғана қалды. Сол он бес қырлы мысалды пайдалана отырып, осы есептеулерді қарастырыңыз. Сонымен, n саны 15. S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 формуласын қолданыңыз. Бұл, әрине, радиандағы бұрышты есептеудің жалғыз жолы емес. Бұрыштың градустық өлшемін жай ғана 57, 3 санына бөлуге болады. Өйткені, көптеген градус бір радианға тең.
Бұрыштардың мәнін градуспен есептеңіз
Градус пен радианнан басқа дұрыс көпбұрыштың бұрыштарының мәнін град бойынша табуға болады. Бұл келесі жолмен жүзеге асырылады. Бұрыштардың жалпы санынан 2-ні алып тастаңыз, алынған айырманы дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санына бөліңіз. Табылған нәтижені 200-ге көбейтеміз. Айтпақшы, бұршақ тәрізді бұрыштарды өлшеу бірлігі іс жүзінде қолданылмайды.
n-бұрыштардың сыртқы бұрыштарын есептеу
Ішкіден басқа кез келген қалыпты көпбұрыш үшін сыртқы бұрышты да есептеуге болады. Оның мәні басқа фигуралар сияқты табылады. Сонымен, дұрыс көпбұрыштың сыртқы бұрышын табу үшін қажетішкі мәнін білу. Әрі қарай, біз бұл екі бұрыштың қосындысы әрқашан 180 градус болатынын білеміз. Сондықтан біз есептеулерді келесідей жасаймыз: 180⁰ минус ішкі бұрыштың мәні. Біз айырмашылықты табамыз. Ол оған іргелес бұрыштың мәніне тең болады. Мысалы, шаршының ішкі бұрышы 90 градус, сондықтан сыртқы бұрышы 180⁰ - 90⁰=90⁰ болады. Көріп отырғанымыздай, оны табу қиын емес. Сыртқы бұрыш сәйкесінше +180⁰ пен -180⁰ аралығындағы мән қабылдай алады.
