Бұл геометриялық пішіндер бізді барлық жерде қоршап тұрады. Дөңес көпбұрыштар табиғи болуы мүмкін, мысалы, бал ұясы немесе жасанды (адам жасаған). Бұл фигуралар әртүрлі жабын түрлерін өндіруде, кескіндемеде, сәулетте, декорацияда және т.б. Дөңес көпбұрыштар олардың барлық нүктелері осы геометриялық фигураның көршілес төбелері жұбынан өтетін түзудің бір жағында болатын қасиетіне ие. Басқа да анықтамалар бар. Көпбұрыш дөңес деп аталады, егер ол бір қабырғасы бар кез келген түзуге қатысты бір жарты жазықтықта орналасса.
Дөңес көпбұрыштар
Бастауыш геометрия курсында әрқашан тек жай көпбұрыштар қарастырылады. Мұндай барлық қасиеттерді түсіну үшінгеометриялық пішіндер, олардың табиғатын түсіну керек. Алдымен, кез келген сызықтың ұштары сәйкес келетін жабық деп аталатынын түсіну керек. Сонымен қатар, оның көмегімен жасалған фигура әртүрлі конфигурацияларға ие болуы мүмкін. Көпбұрыш – бұл көрші буындар бір түзуде орналаспайтын қарапайым тұйық сынық сызық. Оның буындары мен төбелері сәйкесінше осы геометриялық фигураның қабырғалары мен шыңдары болып табылады. Қарапайым көп сызықтың қиылысулары болмауы керек.
Көпбұрыштың төбелері, егер олар оның бір қабырғасының ұштарын білдірсе, оны іргелес деп атайды. Төбелерінің n-ші саны, демек қабырғаларының n-ші саны болатын геометриялық фигураны n-бұрыш деп атайды. Сынық сызықтың өзі осы геометриялық фигураның шекарасы немесе контуры деп аталады. Көпбұрышты немесе жазық көпбұрышты кез келген жазықтықтың өзімен шектелген шеткі бөлігі деп атайды. Бұл геометриялық фигураның іргелес жақтары бір шыңнан шығатын сынық сызықтың кесінділері деп аталады. Егер олар көпбұрыштың әртүрлі төбелерінен келсе, олар көрші болмайды.
Дөңес көпбұрыштардың басқа анықтамалары
Бастауыш геометрияда қай көпбұрыш дөңес деп аталатынын көрсететін тағы бірнеше баламалы анықтамалар бар. Бұл мәлімдемелердің барлығы бірдей шындық. Көпбұрыш дөңес болып саналады, егер:
• ішіндегі кез келген екі нүктені қосатын әрбір сегмент толығымен оның ішінде жатыр;
• оның ішіндеоның барлық диагональдары жатыр;
• кез келген ішкі бұрыш 180° аспайды.
Көпбұрыш әрқашан жазықтықты 2 бөлікке бөледі. Олардың бірі шектеулі (оны шеңберге салуға болады), ал екіншісі шектеусіз. Біріншісі ішкі аймақ деп аталады, ал екіншісі осы геометриялық фигураның сыртқы аймағы. Бұл көпбұрыш бірнеше жарты жазықтықтың қиылысуы (басқаша айтқанда, ортақ компонент). Сонымен қатар, көпбұрышқа жататын нүктелерде аяқталатын әрбір сегмент толығымен оған тиесілі.
Дөңес көпбұрыштардың түрлері
Дөңес көпбұрыштың анықтамасы олардың көптеген түрлері бар екенін көрсетпейді. Және олардың әрқайсысының белгілі бір критерийлері бар. Сонымен, ішкі бұрышы 180° болатын дөңес көпбұрыштар әлсіз дөңес деп аталады. Үш төбесі бар дөңес геометриялық фигураны үшбұрыш, төртеуі төртбұрыш, бесеуі бесбұрыш, т.б. деп атайды. Дөңес n-бұрыштардың әрқайсысы келесі маңызды талапқа жауап береді: n 3-ке тең немесе одан үлкен болуы керек. үшбұрыштар дөңес. Барлық төбелері бір шеңберде орналасқан осындай типтегі геометриялық фигураны шеңберге сызылған деп атайды. Дөңес көпбұрыш, егер оның шеңберге жақын барлық қабырғалары тиіп тұрса, оны шектелген деп атайды. Екі көпбұрыш, егер оларды суперпозиция арқылы қоюға болатын болса ғана тең деп аталады. Жазық көпбұрыш көпбұрышты жазықтық деп аталады.(жазықтық бөлігі), бұл геометриялық фигурамен шектелген.
Тұрақты дөңес көпбұрыштар
Тұрақты көпбұрыштар - бұрыштары мен қабырғалары бірдей геометриялық пішіндер. Олардың ішінде оның әрбір төбесінен бірдей қашықтықта орналасқан 0 нүктесі бар. Ол осы геометриялық фигураның центрі деп аталады. Осы геометриялық фигураның төбелерімен центрді қосатын кесінділер апотемалар, ал 0 нүктесін қабырғаларымен қосатын кесінділер радиустар деп аталады.
Дұрыс төртбұрыш – шаршы. Тең бүйірлі үшбұрыш тең қабырғалы үшбұрыш деп аталады. Мұндай фигуралар үшін келесі ереже бар: дөңес көпбұрыштың әрбір бұрышы 180°(n-2)/ n, мұндағы n – осы дөңес геометриялық фигураның төбелерінің саны.
Кез келген дұрыс көпбұрыштың ауданы мына формуламен анықталады:
S=pсағ, мұндағы p – берілген көпбұрыштың барлық қабырғаларының қосындысының жартысы және h – апотеманың ұзындығы.
Дөңес көпбұрыштардың қасиеттері
Дөңес көпбұрыштардың белгілі бір қасиеттері бар. Сонымен, мұндай геометриялық фигураның кез келген 2 нүктесін қосатын кесінді міндетті түрде оның ішінде орналасады. Дәлел:
Р берілген дөңес көпбұрыш деп есептейік. Біз 2 ерікті нүктені аламыз, мысалы, А, В, олар Р-ға жатады. Дөңес көпбұрыштың бар анықтамасы бойынша бұл нүктелер Р-тің кез келген жағын қамтитын түзудің бір жағында орналасқан. Демек, AB-де де осындай қасиет бар және ол P-де бар. Дөңес көпбұрышты оның бір төбесінен сызылған абсолютті барлық диагональдары арқылы әрқашан бірнеше үшбұрыштарға бөлуге болады.
Дөңес геометриялық пішіндердің бұрыштары
Дөңес көпбұрыштың бұрыштары оның қабырғаларынан құралған бұрыштар болып табылады. Ішкі бұрыштар берілген геометриялық фигураның ішкі аймағында орналасқан. Оның бір төбеге жиналатын қабырғалары түзетін бұрыш дөңес көпбұрыштың бұрышы деп аталады. Берілген геометриялық фигураның ішкі бұрыштарына іргелес бұрыштар сыртқы деп аталады. Оның ішінде орналасқан дөңес көпбұрыштың әрбір бұрышы:
180° - x, мұндағы x – сыртқы бұрыштың мәні. Бұл қарапайым формула осы түрдегі кез келген геометриялық фигуралар үшін жұмыс істейді.
Жалпы, сыртқы бұрыштар үшін келесі ереже бар: дөңес көпбұрыштың әрбір бұрышы 180° пен ішкі бұрыштың мәні арасындағы айырмашылыққа тең. Оның -180° пен 180° аралығындағы мәндері болуы мүмкін. Сондықтан ішкі бұрыш 120° болғанда, сыртқы бұрыш 60° болады.
Дөңес көпбұрыштардың бұрыштарының қосындысы
Дөңес көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы мына формуламен белгіленеді:
180°(n-2), мұндағы n - n-бұрыштың төбелерінің саны.
Дөңес көпбұрыштың бұрыштарының қосындысын есептеу өте оңай. Кез келген осындай геометриялық фигураны қарастырыңыз. Дөңес көпбұрыштың ішіндегі бұрыштардың қосындысын анықтау үшін қажетоның бір төбесін басқа төбелерге қосыңыз. Осы әрекеттің нәтижесінде (n-2) үшбұрыштар алынады. Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрқашан 180° болатынын білеміз. Кез келген көпбұрыштағы олардың саны (n-2) болғандықтан, мұндай фигураның ішкі бұрыштарының қосындысы 180° x (n-2) болады.
Берілген дөңес геометриялық фигура үшін дөңес көпбұрыштың, атап айтқанда кез келген екі ішкі және іргелес сыртқы бұрыштарының қосындысы әрқашан 180°-қа тең болады. Осының негізінде оның барлық бұрыштарының қосындысын анықтауға болады:
180 x n.
Ішкі бұрыштардың қосындысы 180°(n-2). Осының негізінде осы санның барлық сыртқы бұрыштарының қосындысы мына формуламен белгіленеді:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Кез келген дөңес көпбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы әрқашан 360° болады (қабырғаларының санына қарамастан).
Дөңес көпбұрыштың сыртқы бұрышы әдетте 180° пен ішкі бұрыштың мәні арасындағы айырмашылықпен көрсетіледі.
Дөңес көпбұрыштың басқа қасиеттері
Осы геометриялық фигуралардың негізгі қасиеттерінен басқа, оларда оларды өңдеу кезінде пайда болатын басқалары бар. Сонымен, көпбұрыштардың кез келгенін бірнеше дөңес n-бұрыштарға бөлуге болады. Ол үшін оның әрбір жағын жалғастырып, осы геометриялық фигураны осы түзу сызықтар бойымен қию керек. Сондай-ақ кез келген көпбұрышты бөліктердің әрқайсысының төбелері оның барлық төбелерімен сәйкес келетіндей етіп бірнеше дөңес бөліктерге бөлуге болады. Осындай геометриялық фигурадан үшбұрыштарды барлығын салу арқылы өте қарапайым жасауға боладыбір төбесінен диагональдар. Осылайша, кез келген көпбұрышты үшбұрыштардың белгілі бір санына бөлуге болады, бұл мұндай геометриялық фигуралармен байланысты әртүрлі есептерді шешуде өте пайдалы болып шығады.
Дөңес көпбұрыштың периметрі
Көпбұрыштың қабырғалары деп аталатын сынық сызықтың сегменттері көбінесе келесі әріптермен белгіленеді: ab, bc, cd, de, ea. Бұл төбелері a, b, c, d, e болатын геометриялық фигураның қабырғалары. Осы дөңес көпбұрыштың барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы оның периметрі деп аталады.
Көпбұрыш шеңбері
Дөңес көпбұрыштарды сызуға және сызуға болады. Осы геометриялық фигураның барлық жағына жанасатын шеңбер оған сызылған деп аталады. Мұндай көпбұрышты шеңберлі деп атайды. Көпбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі берілген геометриялық фигурадағы барлық бұрыштардың биссектрисаларының қиылысу нүктесі болып табылады. Мұндай көпбұрыштың ауданы:
S=pr, мұндағы r – іштей сызылған шеңбердің радиусы және p – берілген көпбұрыштың жарты периметрі.
Көпбұрыштың төбелері бар шеңбер оның айналасына сызылған деп аталады. Оның үстіне бұл дөңес геометриялық фигура сызылған деп аталады. Осындай көпбұрышқа сызылған шеңбердің центрі барлық қабырғалардың перпендикуляр биссектрисаларының қиылысу нүктесі болып табылады.
Дөңес геометриялық фигуралардың диагональдары
Дөңес көпбұрыштың диагональдары мынандай кесінділеріргелес емес төбелерді қосыңыз. Олардың әрқайсысы осы геометриялық фигураның ішінде жатыр. Мұндай n-бұрыштың диагональдарының саны мына формуламен белгіленеді:
N=n (n – 3)/ 2.
Дөңес көпбұрыштың диагональдарының саны элементар геометрияда маңызды рөл атқарады. Әрбір дөңес көпбұрышты бөлуге болатын үшбұрыштар саны (K) келесі формула бойынша есептеледі:
K=n – 2.
Дөңес көпбұрыштың диагональдарының саны әрқашан оның төбелерінің санына байланысты.
Дөңес көпбұрыштың ыдырауы
Кейбір жағдайларда геометриялық есептерді шығару үшін дөңес көпбұрышты диагональдары қиылыспайтын бірнеше үшбұрыштарға бөлу керек. Бұл мәселені белгілі бір формуланы шығару арқылы шешуге болады.
Есептің анықтамасы: дөңес n-бұрышын осы геометриялық фигураның тек төбелерінде қиылысатын диагональдары бойынша бірнеше үшбұрыштарға дұрыс бөлуді шақырайық.
Шешімі: Р1, Р2, Р3 …, Pn осы n-бұрыштың төбелері болсын. Xn саны оның бөлімдерінің саны болып табылады. Pi Pn геометриялық фигурасының алынған диагоналын мұқият қарастырайық. Кез келген қалыпты бөлімдерде P1 Pn белгілі бір P1 Pi Pn үшбұрышына жатады, оның 1<i<n. Осыған сүйене отырып және i=2, 3, 4 …, n-1 деп есептесек, біз осы бөлімдердің (n-2) топтарын аламыз, олар барлық ықтимал нақты жағдайларды қамтиды.
I=2 әрқашан диагональ Р2 Pn болатын қалыпты бөлімдердің бір тобы болсын. Оған кіретін бөлімдердің саны бөлімдер санымен бірдей(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Басқаша айтқанда, ол Xn-1-ге тең.
Егер i=3 болса, онда бұл басқа бөлімдер тобында әрқашан Р3 Р1 және Р3 Pn диагональдары болады. Бұл жағдайда осы топтағы тұрақты бөлімдердің саны (n-2)-gon P3 P4 … Pn бөлімдерінің санына сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, ол Xn-2-ге тең болады.
I=4 болсын, онда үшбұрыштар арасында қалыпты бөлімде міндетті түрде P1 P4 Pn үшбұрышы болады, оған P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn төртбұрыш қосылады.. Мұндай төртбұрыштың дұрыс бөлімдерінің саны X4, ал (n-3)-гонның бөлімдерінің саны Xn-3. Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, осы топтағы дұрыс бөлімдердің жалпы саны Xn-3 X4 деп айта аламыз. i=4, 5, 6, 7… басқа топтарда Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … кәдімгі бөлімдер болады.
I=n-2 болсын, онда бұл топтағы дұрыс бөлулер саны i=2 (басқаша айтқанда, Xn-1-ге тең) топтағы бөлулер санымен бірдей болады.
X1=X2=0, X3=1, X4=2… болғандықтан, дөңес көпбұрыштың барлық бөлімдерінің саны:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Мысалы:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Ішінде бір диагональмен қиылысатын дұрыс бөлімдер саны
Ерекше жағдайларды тексерген кезде мына жерге жетуге боладыдөңес n-бұрыштарының диагональдарының саны осы фигураның барлық бөлімдерінің көбейтіндісіне (n-3) тең деген болжам.
Бұл болжамның дәлелі: P1n=Xn(n-3), онда кез келген n-бұрышты (n-2)-үшбұрыштарға бөлуге болатынын елестетіңіз. Сонымен қатар, олардан (n-3) төртбұрышты құруға болады. Сонымен қатар әрбір төртбұрыштың диагоналы болады. Бұл дөңес геометриялық фигурада екі диагональ салуға болатындықтан, бұл кез келген (n-3) төртбұрышқа қосымша (n-3) диагональдар салуға болатынын білдіреді. Осыған сүйене отырып, біз кез келген қалыпты бөлімде осы есептің шарттарына сәйкес келетін (n-3)-диагоналдарын салуға болады деген қорытындыға келуге болады.
Дөңес көпбұрыштардың ауданы
Көбінесе элементар геометрияның әртүрлі есептерін шешу кезінде дөңес көпбұрыштың ауданын анықтау қажет болады. (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n - өздік қиылысулары жоқ көпбұрыштың барлық көрші төбелерінің координаталар тізбегі деп есептейік. Бұл жағдайда оның ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), мұнда (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
