Конустың ауданы формуласының туындысы. Мәселені шешу мысалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Кеңістік фигураларының қасиеттерін зерттеу практикалық есептерді шешуде маңызды рөл атқарады. Кеңістіктегі фигуралармен айналысатын ғылым стереометрия деп аталады. Бұл мақалада тұтас геометрия тұрғысынан біз конусты қарастырамыз және конустың ауданын қалай табуға болатынын көрсетеміз.

Дөңгелек негізі бар конус

Жалпы жағдайда конус - бұл барлық нүктелері кеңістікте бір нүктесі бар кесінділер арқылы қосылған қандай да бір жазық қисыққа салынған бет. Соңғысы конустың шыңы деп аталады.

Жоғарыдағы анықтамадан қисық параболалық, гиперболалық, эллиптикалық және т.б. сияқты ерікті пішінге ие болуы мүмкін екені анық. Соған қарамастан, тәжірибеде және геометриядағы есептерде жиі кездесетін дөңгелек конус. Ол төмендегі суретте көрсетілген.

Мұнда r символы фигураның табанында орналасқан шеңбердің радиусын білдіреді, h - фигураның жоғарғы жағынан жүргізілген шеңбер жазықтығына перпендикуляр. Ол биіктік деп аталады. s мәні конустың генератрисы немесе оның генератрисы.

r, h және s кесінділері екенін көруге боладытікбұрышты үшбұрыш құрайды. Егер ол h аяғының айналасында айналса, онда s гипотенузасы конустық бетті сипаттайды, ал катет r фигураның дөңгелек негізін құрайды. Осы себепті конус революцияның фигурасы болып саналады. Үш аталған сызықтық параметр өзара теңдік арқылы байланысқан:

s²=r²+ h²

Берілген теңдік тек дөңгелек түзу конус үшін жарамды екенін ескеріңіз. Тікелей фигура, егер оның биіктігі негізгі шеңбердің дәл ортасына түсетін болса ғана. Егер бұл шарт орындалмаса, онда фигура қиғаш деп аталады. Тікелей және қиғаш конустардың айырмашылығы төмендегі суретте көрсетілген.

Пішін әзірлеу

Конустың бетінің ауданын зерттеу оны жазықтықта қарастырғанда жүргізуге ыңғайлы. Кеңістіктегі фигуралардың бетін бейнелеудің бұл жолы олардың дамуы деп аталады. Конус үшін бұл дамуды келесідей алуға болады: сіз, мысалы, қағаздан жасалған фигураны алуыңыз керек. Содан кейін қайшымен шеңбердің айналасындағы дөңгелек негізді кесіңіз. Осыдан кейін генатрикс бойымен конустық бетті кесіп, оны жазықтыққа айналдырыңыз. Осы қарапайым операциялардың нәтижесі төмендегі суретте көрсетілген конустың дамуы болады.

Көріп отырғаныңыздай, конустың бетін жазықтықта көрсетуге болады. Ол келесі екі бөліктен тұрады:

• фигураның негізін білдіретін r радиусы бар шеңбер;
• конустық бет болып табылатын радиусы g бар дөңгелек сектор.

Конустың ауданының формуласы екі бүктелмеген беттердің аудандарын табуды қамтиды.

Фигураның бетінің ауданын есептеңіз

Тапсырманы екі кезеңге бөлейік. Алдымен конустың табанының ауданын, содан кейін конус бетінің ауданын табамыз.

Мәселенің бірінші бөлігін шешу оңай. Радиусы r берілгендіктен, негіздің ауданын есептеу үшін шеңбердің ауданына сәйкес өрнекті еске түсіру жеткілікті. Оны жазып алайық:

S_o=pi × r²

Егер радиус белгісіз болса, оны алдымен оның биіктігі мен генератор арасындағы қатынас формуласын пайдаланып табу керек.

Конустың ауданын табу мәселесінің екінші бөлігі біршама күрделірек. Дөңгелек сектор генератрицаның g радиусына салынғанын және ұзындығы шеңбердің шеңберіне тең доғамен шектелетінін ескеріңіз. Бұл факт пропорцияны жазуға және қарастырылатын сектордың бұрышын табуға мүмкіндік береді. Оны гректің φ әрпімен белгілейік. Бұл бұрыш мынаған тең болады:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Дөңгелек сектордың орталық бұрышын φ біле отырып, оның ауданын табу үшін сәйкес пропорцияны қолдануға болады. Оны S_b белгісімен белгілейік. Ол мынаған тең болады:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Яғни конустық беттің ауданы g генерациясының көбейтіндісіне, r негізінің радиусына және Pi санына сәйкес келеді.

Екеуінің де аймақтарын білубеттерді қарастырсақ, конус ауданы үшін соңғы формуланы жаза аламыз:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Жазбаша өрнек S есептеу үшін конустың екі сызықтық параметрін білуді болжайды. Егер g немесе r белгісіз болса, оларды h биіктігі арқылы табуға болады.

Конустың ауданын есептеу мәселесі

Дөңгелек түзу конустың биіктігі оның диаметріне тең екені белгілі. Оның табанының ауданы 50 см болатынын біле отырып, фигураның ауданын есептеу керек².

Шеңбердің ауданын біле отырып, фигураның радиусын табуға болады. Бізде:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Енді h және r арқылы g генераторын табайық. Шарт бойынша фигураның h биіктігі екі r радиусқа тең, сонда:

сағ=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Табылған g және r формулалары конустың бүкіл ауданына арналған өрнекке ауыстырылуы керек. Біз аламыз:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Алынған өрнекке негіздің ауданын S_o қойып, жауапты жазамыз: S ≈ 161,8 см².