Стереометрия шеңберінде үш өлшемді кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттегенде, көбінесе көлем мен бет ауданын анықтауға арналған есептерді шешуге тура келеді. Бұл мақалада біз белгілі формулалар арқылы кесілген пирамиданың көлемі мен бүйір бетінің ауданын қалай есептеу керектігін көрсетеміз.
Геометриядағы пирамида
Геометрияда кәдімгі пирамида - бұл кейбір жалпақ n-бұрышқа салынған кеңістіктегі фигура. Оның барлық төбелері көпбұрыш жазықтығынан тыс орналасқан бір нүктеге қосылған. Мысалы, бесбұрышты пирамида бейнеленген фотосурет.
Бұл фигура беттер, шыңдар және жиектер арқылы жасалады. Бесбұрышты бет негізі деп аталады. Қалған үшбұрышты беттер бүйірлік бетті құрайды. Барлық үшбұрыштардың қиылысу нүктесі пирамиданың негізгі төбесі болып табылады. Егер одан негізге перпендикуляр түсірілсе, қиылысу нүктесінің орналасуының екі нұсқасы мүмкін:
- геометриялық орталықта, онда пирамида түзу деп аталады;
- кірмейдігеометриялық орталық болса, фигура қиғаш болады.
Одан әрі біз тек тұрақты n бұрыштық негізі бар түзу фигураларды қарастырамыз.
Бұл қандай фигура - кесілген пирамида?
Қиық пирамиданың көлемін анықтау үшін нақты қай фигура сөз болып отырғанын нақты түсіну керек. Осы мәселені түсіндіріп көрейік.
Кәдімгі пирамиданың табанына параллель болатын қиюшы жазықтықты алып, онымен бүйір бетінің бір бөлігін кесіп алайық. Бұл әрекет жоғарыда көрсетілген бесбұрышты пирамидамен орындалса, төмендегі суреттегідей фигураны аласыз.
Фотосуреттен бұл пирамиданың екі негізі бар, ал үстіңгі бөлігі төменгіге ұқсас, бірақ көлемі жағынан кішірек екенін көруге болады. Бүйір беті енді үшбұрыштармен емес, трапециялармен бейнеленеді. Олар тең қабырғалы, ал олардың саны негіздің қабырғаларының санына сәйкес келеді. Кесілген фигураның кәдімгі пирамида сияқты негізгі төбесі жоқ және оның биіктігі параллель негіздер арасындағы қашықтықпен анықталады.
Жалпы жағдайда, егер қарастырылып отырған фигура n бұрыштық негіздер арқылы жасалса, оның n+2 беті немесе жағы, 2n шыңы және 3n жиегі болады. Яғни, кесілген пирамида көп қырлы.
Қиық пирамида көлемінің формуласы
Еске салайық, кәдімгі пирамиданың көлемі оның биіктігі мен табанының ауданы көбейтіндісінің 1/3 бөлігін құрайды. Бұл формула кесілген пирамидаға жарамайды, өйткені оның екі негізі бар. Және оның көлеміәрқашан ол алынған тұрақты сан үшін бірдей мәннен аз болады.
Өрнекті алудың математикалық мәліметтеріне бармай-ақ, біз кесілген пирамида көлемінің соңғы формуласын ұсынамыз. Ол келесідей жазылған:
V=1/3сағ(S1+ S2+ √(S1 S2))
Мұнда S1 және S2 сәйкесінше төменгі және жоғарғы табандардың аудандары, h – фигураның биіктігі. Жазбаша өрнек түзу дұрыс кесілген пирамида үшін ғана емес, сонымен қатар осы класстың кез келген фигурасы үшін жарамды. Сонымен қатар, базалық көпбұрыштардың түріне қарамастан. V үшін өрнектің қолданылуын шектейтін жалғыз шарт - пирамида негіздерінің бір-біріне параллель болуы қажеттілігі.
Бұл формуланың қасиеттерін зерттеу арқылы бірнеше маңызды қорытынды жасауға болады. Сонымен, егер үстіңгі табанының ауданы нөлге тең болса, онда біз кәдімгі пирамиданың V формуласына келеміз. Негіздердің аудандары бір-біріне тең болса, онда призманың көлемінің формуласын аламыз.
Бүйір бетінің ауданын қалай анықтауға болады?
Қиық пирамиданың сипаттамаларын білу оның көлемін есептей білуді ғана емес, сонымен қатар бүйір бетінің ауданын анықтауды білуді қажет етеді.
Қиық пирамида беттердің екі түрінен тұрады:
- теңбүйірлі трапециялар;
- көпбұрышты негіздер.
Егер табандарда дұрыс көпбұрыш болса, онда оның ауданын есептеу үлкен емес.қиындықтар. Ол үшін сізге тек а жағының ұзындығын және олардың n санын білу қажет.
Бүйірлік бет жағдайында оның ауданын есептеу n трапецияның әрқайсысы үшін осы мәнді анықтауды қамтиды. Егер n-бұрышы дұрыс болса, онда бүйір бетінің ауданы формуласы болады:
Sb=hbn(a1+a2)/2
Мұнда hb - фигураның апотемасы деп аталатын трапецияның биіктігі. a1 және a2шамалары дұрыс n бұрышты табандарының қабырғаларының ұзындықтары.
Әрбір қалыпты n-бұрышты кесілген пирамида үшін hb апотемасы a1 және a параметрлері арқылы бірегей түрде анықталуы мүмкін. 2және пішіннің биіктігі h.
Фигураның көлемі мен ауданын есептеу тапсырмасы
Тұрақты үшбұрышты кесілген пирамида берілген. Оның биіктігі h 10 см, ал табандарының қабырғаларының ұзындығы 5 см және 3 см болатыны белгілі. Қиық пирамиданың көлемі және оның бүйір бетінің ауданы қанша?
Алдымен V мәнін есептейік. Ол үшін фигураның табанында орналасқан теңбүйірлі үшбұрыштардың аудандарын табыңыз. Бізде:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10,825см2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3,897 см2
Деректерді V формуласына ауыстырыңыз, біз қажетті көлемді аламыз:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 см3
Бүйірлік бетті анықтау үшін білу керекапотема ұзындығы hb. Пирамиданың ішіндегі сәйкес тік бұрышты үшбұрышты ескере отырып, оның теңдігін жаза аламыз:
hb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10,017 см
Сbөрнегі үшін апотеманың мәні мен үшбұрышты негіздердің қабырғалары ауыстырылды және біз жауап аламыз:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2см2
Осылайша, біз есептің барлық сұрақтарына жауап алдық: V ≈ 70,72 см3, Sb ≈ 120,2 см2.
