Конустың көлемін анықтау формуласы. Мәселені шешу мысалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Орта мектепте стереометрия сабағында әр оқушы конусқа тап болды. Бұл кеңістіктік фигураның екі маңызды сипаттамасы - беттің ауданы мен көлемі. Бұл мақалада дөңгелек конустың көлемін қалай табуға болатынын көрсетеміз.

Дөңгелек конус тікбұрышты үшбұрыштың айналу фигурасы ретінде

Мақаланың тақырыбына тікелей өтпес бұрын конусты геометриялық тұрғыдан сипаттау қажет.

Тік бұрышты үшбұрыш болсын. Егер сіз оны кез келген аяқтың айналасында айналдырсаңыз, бұл әрекеттің нәтижесі төмендегі суретте көрсетілген қажетті фигура болады.

Мұнда AB аяғы конус осінің бөлігі, ал оның ұзындығы фигураның биіктігіне сәйкес келеді. Екінші катет (CA сегменті) конустың радиусы болады. Айналдыру кезінде ол фигураның негізін шектейтін шеңберді сипаттайды. BC гипотенузасы фигураның генератрисы немесе оның генератрисы деп аталады. В нүктесі - конустың жалғыз шыңы.

ABC үшбұрышының қасиеттерін ескере отырып, генерация g, радиусы r және h биіктігі арасындағы байланысты былай жазуға болады.теңдік:

g²=h²+ r²

Бұл формула қарастырылып отырған фигурамен көптеген геометриялық есептерді шешуде пайдалы.

Конус көлем формуласы

Кез келген кеңістіктік фигураның көлемі – бұл фигураның беттерімен шектелген кеңістіктің ауданы. Конустың екі беті бар:

1. Бүйірлік немесе конустық. Ол барлық генерациялар арқылы жасалған.
2. Қор. Бұл жағдайда бұл шеңбер.

Конустың көлемін анықтау формуласын алыңыз. Мұны істеу үшін біз оны негізге параллель көптеген қабаттарға ойша кесеміз. Қабаттардың әрқайсысының қалыңдығы dx бар, ол нөлге ұмтылады. Суреттің жоғарғы жағынан x қашықтықтағы қабаттың S_x ауданы келесі өрнекке тең:

S_x=pir²x²/сағ ²

Бұл өрнектің жарамдылығын x=0 және x=h мәндерін ауыстыру арқылы интуитивті түрде тексеруге болады. Бірінші жағдайда нөлге тең аумақ аламыз, екінші жағдайда ол дөңгелек негіздің ауданына тең болады.

Конустың көлемін анықтау үшін әр қабаттың шағын «көлемдерін» қосу керек, яғни интегралдық есептеуді пайдалану керек:

V=∫₀^h(pir²x ²/сағ²dx)=pir²/сағ² ∫₀^h(x²dx)

Осы интегралды есептей отырып, біз дөңгелек конустың соңғы формуласына келеміз:

V=1/3pir²h

Бір қызығы, бұл формула ерікті пирамиданың көлемін есептеу үшін қолданылатын формулаға толығымен ұқсас. Бұл сәйкестік кездейсоқ емес, өйткені кез келген пирамида шеттерінің саны шексіздікке дейін өскен кезде конусқа айналады.

Көлемді есептеу мәселесі

V көлемі үшін туынды формуланың қолданылуын көрсететін есепті шешуге мысал келтіру пайдалы.

Дөңгелек конус берілген, оның негізі ауданы 37 см², ал фигураның генераторы радиустан үш есе үлкен. Конустың көлемі қандай?

Егер екі шаманы білсек, көлем формуласын қолдануға құқылымыз: h биіктігі және r радиусы. Есептің шартына сәйкес анықтайтын формулаларды табайық.

Радиусты S_o шеңберінің ауданын білу арқылы есептеуге болады, бізде:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Есептің шартын пайдаланып g генераторының теңдігін жазамыз:

g=3r=3√(S_o/pi)

r және g формулаларын біле отырып, h биіктігін есептеңіз:

сағ=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Біз барлық қажетті параметрлерді таптық. Енді оларды V формуласына қосу уақыты келді:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Ауыстыру қаладыбазалық аймақ S_o және көлем мәнін есептеңіз: V=119,75 см³.