Еңкейтілген призма және оның көлемі. Мәселені шешу мысалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Кеңістіктік фигуралардың көлемін анықтау мүмкіндігі геометриялық және практикалық есептерді шешу үшін маңызды. Осы фигуралардың бірі призма. Бұл не екенін мақалада қарастырамыз және көлбеу призманың көлемін қалай есептеу керектігін көрсетеміз.

Геометрияда призма деген нені білдіреді?

Бұл параллель жазықтықта орналасқан екі бірдей негіздер мен белгіленген табандарды қосатын бірнеше параллелограммдардан құралған қалыпты көпбұрыш (көп қырлы).

Призма негіздері ерікті көпбұрыштар болуы мүмкін, мысалы, үшбұрыш, төртбұрыш, жетібұрыш және т.б. Сонымен қатар, көпбұрыштың бұрыштарының (жүйірлерінің) саны фигураның атын анықтайды.

Табасы n-бұрышты кез келген призма (n - қабырғалардың саны) n+2 жағынан, 2 × n төбеден және 3 × n шетінен тұрады. Берілген сандардан призманың элементтерінің саны Эйлер теоремасына сәйкес келетінін көруге болады:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Төмендегі суретте шыныдан жасалған үшбұрышты және төртбұрышты призмалардың қандай болатыны көрсетілген.

Фигураның түрлері. Көлбеу призма

Призманың атауы көпбұрыштың табанындағы қабырғаларының санымен анықталатыны жоғарыда айтылған болатын. Дегенмен, оның құрылымында фигураның қасиеттерін анықтайтын басқа да белгілер бар. Сонымен, призманың бүйір бетін құрайтын барлық параллелограммдар тіктөртбұрыштармен немесе шаршылармен бейнеленсе, онда мұндай фигураны түзу деп атайды. Түзу призма үшін табандар арасындағы қашықтық кез келген тіктөртбұрыштың бүйір жиегінің ұзындығына тең.

Егер қабырғалардың кейбірі немесе барлығы параллелограмм болса, онда біз көлбеу призма туралы айтып отырмыз. Оның биіктігі бүйір қабырғасының ұзындығынан әлдеқашан аз болады.

Қарастырылып отырған фигуралардың жіктелуінің тағы бір критерийі – табанындағы көпбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары мен бұрыштары. Егер олар бір-біріне тең болса, онда көпбұрыш дұрыс болады. Табандарында дұрыс көпбұрышты түзу фигураны дұрыс деп атайды. Бетінің ауданы мен көлемін анықтау кезінде онымен жұмыс істеу ыңғайлы. Осыған байланысты көлбеу призма кейбір қиындықтарды тудырады.

Төмендегі суретте негізі төртбұрышты екі призма көрсетілген. 90° бұрыш түзу және қиғаш призма арасындағы негізгі айырмашылықты көрсетеді.

Фигураның көлемін анықтау формуласы

Призманың беттерімен шектелген кеңістік бөлігі оның көлемі деп аталады. Кез келген түрдегі қарастырылатын сандар үшін бұл мәнді келесі формула бойынша анықтауға болады:

V=h × S_o

Мұнда h таңбасы призманың биіктігін білдіреді,бұл екі негіз арасындағы қашықтықтың өлшемі. S_o таңбасы - бір негізгі шаршы.

Негізгі аумақты табу оңай. Көпбұрыштың дұрыс немесе дұрыс емес екенін және оның қабырғаларының санын біле отырып, сәйкес формуланы қолданып, S_o алу керек. Мысалы, бүйірінің ұзындығы a болатын қалыпты n-бұрыш үшін аудан келесідей болады:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Енді h биіктігіне көшейік. Түзу призма үшін биіктікті анықтау қиын емес, ал қиғаш призма үшін бұл оңай жұмыс емес. Оны нақты бастапқы шарттардан бастап әртүрлі геометриялық әдістермен шешуге болады. Дегенмен, фигураның биіктігін анықтаудың әмбебап әдісі бар. Оны қысқаша сипаттап көрейік.

Идеясы кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу. Жазықтық мына теңдеумен берілген деп есептейік:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Сонда ұшақ қашықтықта болады:

сағ=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Егер координаталық осьтер (0; 0; 0) нүктесі призманың төменгі табанының жазықтығында болатындай реттелген болса, онда базалық жазықтықтың теңдеуін былай жазуға болады:

z=0

Бұл биіктік формуласы жазылатынын білдіредісондықтан:

сағ=z₁

Фигураның биіктігін анықтау үшін жоғарғы табанның кез келген нүктесінің z-координатасын табу жеткілікті.

Есептерді шешу мысалы

Төмендегі суретте төртбұрышты призма көрсетілген. Көлбеу призманың табаны қабырғасы 10 см болатын шаршы болып табылады. Егер бүйір қырының ұзындығы 15 см, ал фронталь параллелограмның сүйір бұрышы 70 ° болатыны белгілі болса, оның көлемін есептеу керек.

Фугураның h биіктігі де параллелограмның биіктігі болғандықтан, h мәнін табу үшін оның ауданын анықтау үшін формулаларды қолданамыз. Параллелограмның қабырғаларын былай белгілейік:

a=10см;

b=15см

Одан кейін S_p ауданын анықтау үшін оған келесі формулаларды жазуға болады:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Қайдан аламыз:

h=b × sin (α)

Мұндағы α - параллелограмның сүйір бұрышы. Негізі шаршы болғандықтан, көлбеу призманың көлемінің формуласы келесідей болады:

V=a² × b × sin (α)

Шарттағы деректерді формулаға ауыстырамыз және жауапты аламыз: V ≈ 1410 см³.