Менің ойымша, біз дифференциалдық теңдеулер сияқты тамаша математикалық құралдың тарихынан бастауымыз керек. Барлық дифференциалдық және интегралдық есептеулер сияқты бұл теңдеулерді Ньютон 17 ғасырдың аяғында ойлап тапқан. Ол өзінің бұл ашылуын маңызды деп санағаны соншалық, ол тіпті бүгінгі күні келесідей аударуға болатын хабарламаны шифрлады: «Табиғаттың барлық заңдары дифференциалдық теңдеулер арқылы сипатталады». Бұл асыра сілтеу сияқты көрінуі мүмкін, бірақ бұл шындық. Физика, химия, биологияның кез келген заңын осы теңдеулер арқылы сипаттауға болады.
Математиктер Эйлер мен Лагранж дифференциалдық теңдеулер теориясын дамытуға және жасауға үлкен үлес қосты. 18 ғасырда олар қазір университеттердің жоғары курстарында оқып жатқандарын тауып, дамытты.
Дифференциалдық теңдеулерді зерттеудегі жаңа кезең Анри Пуанкаренің арқасында басталды. Ол «дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясын» құрды, ол күрделі айнымалы функциялар теориясымен үйлесе отырып, топологияның – кеңістік және оның ғылымының негізін салуға зор үлес қосты.қасиеттер.
Дифференциалдық теңдеулер дегеніміз не?
Көптеген адамдар «дифференциалдық теңдеу» деген бір сөз тіркесінен қорқады. Дегенмен, осы мақалада біз бұл өте пайдалы математикалық аппараттың бүкіл мәнін егжей-тегжейлі қарастырамыз, ол шын мәнінде атаудан көрінетіндей күрделі емес. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер туралы сөйлесуді бастау үшін алдымен осы анықтамаға тән негізгі ұғымдармен танысу керек. Біз дифференциалдан бастаймыз.
Дифференциал
Көбі бұл ұғымды мектептен біледі. Дегенмен, оны толығырақ қарастырайық. Функцияның графигін елестетіңіз. Біз оны оның кез келген сегменті түзу пішінін алатындай дәрежеге дейін ұлғайта аламыз. Онда біз бір-біріне шексіз жақын екі нүктені аламыз. Олардың координаталары (x немесе y) арасындағы айырмашылық шексіз аз мән болады. Ол дифференциал деп аталады және dy (y-ден дифференциал) және dx (х-тен дифференциал) белгілерімен белгіленеді. Дифференциал ақырғы шама емес екенін түсіну өте маңызды, бұл оның мәні мен негізгі қызметі.
Ал енді дифференциалдық теңдеу түсінігін түсіндіруде бізге пайдалы болатын келесі элементті қарастыру керек. Бұл туынды.
Туынды
Мектепте және бұл ұғымды бәріміз естіген шығармыз. Туынды деп функцияның өсу немесе кему жылдамдығын айтады. Дегенмен, бұл анықтамаданкөп нәрсе түсініксіз болып қалады. Туындыны дифференциалдар арқылы түсіндіруге тырысайық. Бір-бірінен минималды қашықтықта орналасқан екі нүктесі бар функцияның шексіз аз кесіндісіне қайта оралайық. Бірақ бұл қашықтық үшін де функция белгілі бір мөлшерде өзгереді. Және бұл өзгерісті сипаттау үшін олар басқаша дифференциалдардың қатынасы ретінде жазылатын туынды ойлап тапты: f(x)'=df/dx.
Енді туындының негізгі қасиеттерін қарастырған жөн. Олардың үшеуі ғана бар:
- Қосындының немесе айырмашылықтың туындысын туындылардың қосындысы немесе айырмасы ретінде көрсетуге болады: (a+b)'=a'+b' және (a-b)'=a'-b'.
- Екінші қасиет көбейтумен байланысты. Көбейтіндінің туындысы бір функцияның туындысы мен екіншісінің туындысының қосындысы болып табылады: (ab)'=a'b+ab'.
- Айырманың туындысын келесі теңдік түрінде жазуға болады: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Бұл қасиеттердің барлығы бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу үшін пайдалы болады.
Жартылай туындылар да бар. Бізде x және y айнымалыларына тәуелді z функциясы бар делік. Бұл функцияның ішінара туындысын есептеу үшін, айталық, x-ке қатысты, y айнымалысын тұрақты деп алып, жай ғана дифференциалдау керек.
Интеграл
Тағы бір маңызды ұғым – интегралдық. Шын мәнінде, бұл туынды сөзге тікелей қарама-қарсы. Интегралдың бірнеше түрі бар, бірақ ең қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін бізге ең тривиальды анықталмаған интегралдар қажет.
Сонымен интеграл дегеніміз не? Бізде f тәуелділігі бар делікx бастап. Одан интегралды аламыз және туындысы бастапқы функцияға тең F (x) функциясын аламыз (көбінесе антитуынды деп аталады). Сонымен F(x)'=f(x). Бұдан туындының интегралы бастапқы функцияға тең болатыны да шығады.
Дифференциалдық теңдеулерді шешкен кезде интегралдың мәні мен қызметін түсіну өте маңызды, өйткені шешімін табу үшін оларды жиі қабылдауға тура келеді.
Теңдеулер табиғатына қарай әртүрлі. Келесі бөлімде бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің түрлерін қарастырамыз, содан кейін оларды шешу жолдарын үйренеміз.
Дифференциалдық теңдеулер кластары
«Диффури» олардағы туындылардың ретіне қарай бөлінеді. Осылайша, бірінші, екінші, үшінші және одан да көп тәртіп бар. Оларды бірнеше сыныпқа бөлуге болады: қарапайым және ішінара туындылар.
Бұл мақалада бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Сондай-ақ мысалдар мен оларды шешу жолдарын келесі тарауларда қарастырамыз. Біз тек ODE-ді қарастырамыз, өйткені бұл теңдеулердің ең кең таралған түрлері. Кәдімгі түршелерге бөлінеді: айнымалысы бөлінетін, біртекті және гетерогенді. Әрі қарай олардың бір-бірінен қалай ерекшеленетінін және оларды шешу жолдарын үйренесіз.
Сонымен қатар, бұл теңдеулерді біріктіруге болады, осылайша біз бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз. Біз сондай-ақ мұндай жүйелерді қарастырамыз және оларды шешу жолын үйренеміз.
Неге біз тек бірінші ретті қарастырамыз? Өйткені сіз қарапайымнан бастап, дифференциалға қатысты барлық нәрсені сипаттауыңыз керекбір мақалада теңдеулер мүмкін емес.
Бөлінетін айнымалы теңдеулер
Бұл ең қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Оларға келесідей жазуға болатын мысалдар кіреді: y'=f(x)f(y). Бұл теңдеуді шешу үшін туындыны дифференциалдардың қатынасы ретінде көрсету формуласы қажет: y'=dy/dx. Оны пайдалана отырып, келесі теңдеуді аламыз: dy/dx=f(x)f(y). Енді стандартты мысалдарды шешу әдісіне көшуге болады: айнымалыларды бөліктерге бөлеміз, яғни y айнымалысы бар барлығын dy орналасқан бөлікке ауыстырамыз және х айнымалысымен де солай істейміз. Екі бөліктің де интегралдарын алу арқылы шешілетін dy/f(y)=f(x)dx түріндегі теңдеуді аламыз. Интегралды алғаннан кейін орнатылуы тиіс тұрақты туралы ұмытпаңыз.
Кез келген «диффуранстың» шешімі х-тің у-ға тәуелділігінің функциясы (біздің жағдайда) немесе егер сандық шарт болса, онда жауап сан түрінде болады. Нақты мысалды қолданып, шешімнің бүкіл жолын талдап көрейік:
y'=2ysin(x)
Айнымалы мәндерді әртүрлі бағытта жылжыту:
dy/y=2sin(x)dx
Енді біз интегралды аламыз. Олардың барлығын арнайы интегралдар кестесінен табуға болады. Біз мынаны аламыз:
ln(y)=-2cos(x) + C
Қажет болса, біз "y" сөзін "x" функциясы ретінде көрсете аламыз. Енді шарт берілмесе, дифференциалдық теңдеу шешілді деп айта аламыз. Шартты беруге болады, мысалы, y(n/2)=e. Содан кейін біз бұл айнымалылардың мәнін шешімге жай ғана ауыстырамыз жәнетұрақтының мәнін табыңыз. Біздің мысалда ол 1-ге тең.
Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер
Енді қиынырақ бөлігіне көшейік. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулерді жалпы түрде былай жазуға болады: y'=z(x, y). Айта кету керек, екі айнымалының дұрыс функциясы біртекті және оны екі тәуелділікке бөлуге болмайды: x бойынша z және у бойынша z. Теңдеудің біртекті немесе біртекті еместігін тексеру өте қарапайым: біз x=kx және y=ky алмастыруды жасаймыз. Енді біз барлық k. Егер осы әріптердің барлығы қысқартылған болса, онда теңдеу біртекті болады және оны шешуге қауіпсіз кірісуге болады. Алға қарап, айталық: бұл мысалдарды шешу принципі де өте қарапайым.
Ауыстыруды жасау керек: y=t(x)x, мұндағы t – х-ке де тәуелді кейбір функция. Сонда туындыны өрнектей аламыз: y'=t'(x)x+t. Осының барлығын бастапқы теңдеуімізге қойып, оны жеңілдете отырып, біз t және x ажыратылатын айнымалылары бар мысал аламыз. Оны шешіп, t(x) тәуелділігін аламыз. Біз оны алған кезде, біз жай ғана y=t(x)x мәнін алдыңғы ауыстыруымызға ауыстырамыз. Сонда у-ның х-ке тәуелділігін аламыз.
Нақтырақ болу үшін мысалды қарастырайық: xy'=y-xey/x.
Ауыстыру арқылы тексергенде бәрі азаяды. Сондықтан теңдеу шынымен біртекті. Енді біз айтқан басқа ауыстыруды жасаймыз: y=t(x)x және y'=t'(x)x+t(x). Жеңілдетілгеннен кейін келесі теңдеуді аламыз: t'(x)x=-et. Алынған мысалды бөлінген айнымалылар арқылы шешеміз және мынаны аламыз: e-t=ln(Cx). Бізге тек t-ді у/х-пен ауыстыру керек (егер y=tx болса, онда t=y/x), және біз аламызжауап: e-y/x=ln(xC).
Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Тағы бір үлкен тақырыптың уақыты келді. Бірінші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді талдаймыз. Олардың алдыңғы екеуінен қандай айырмашылығы бар? Оны анықтап көрейік. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпы түрде былай жазуға болады: y' + g(x)y=z(x). z(x) және g(x) тұрақтылар болуы мүмкін екенін түсіндірген жөн.
Ал енді мысал: y' - yx=x2.
Оны шешудің екі жолы бар, екеуін де ретімен шешеміз. Біріншісі - ерікті тұрақтыларды өзгерту әдісі.
Теңдеуді осылай шешу үшін алдымен оң жағын нөлге теңестіріп, алынған теңдеуді шешу керек, ол бөліктерді жылжытқаннан кейін келесі пішінді алады:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Енді бізге C1 тұрақтысын табу керек v(x) функциясымен ауыстыру керек.
y=vex2/2.
Туындыны өзгертейік:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Ал мына өрнектерді бастапқы теңдеуге ауыстырыңыз:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Сіз сол жақта екі терминнің жойылатынын көре аласыз. Егер қандай да бір мысалда бұл орын алмаса, сіз дұрыс емес нәрсе жасадыңыз. Жалғастыру:
v'ex2/2 =x2.
Енді біз айнымалыларды бөлу керек әдеттегі теңдеуді шешеміз:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Интегралды шығару үшін біз мұнда бөліктер бойынша интеграцияны қолдануымыз керек. Дегенмен, бұл біздің мақаланың тақырыбы емес. Егер сізді қызықтыратын болсаңыз, мұндай әрекеттерді өзіңіз қалай жасауға болатынын білуге болады. Бұл қиын емес және жеткілікті шеберлік пен назар аудару көп уақытты қажет етпейді.
Біртекті емес теңдеулерді шешудің екінші әдісіне: Бернулли әдісіне көшейік. Қай әдіс тезірек және оңайырақ болады.
Олай болса, теңдеуді осы әдіспен шешкенде, біз ауыстыруды жасауымыз керек: y=kn. Мұндағы k және n - кейбір х-тәуелді функциялар. Сонда туынды келесідей болады: y'=k'n+kn'. Екі алмастыруды теңдеуге қойыңыз:
k'n+kn'+xkn=x2.
Топ:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Енді жақшадағыны нөлге теңеу керек. Енді, егер сіз екі нәтижелі теңдеуді біріктірсеңіз, сіз шешуге қажет бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін аласыз:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Бірінші теңдік қалыпты теңдеу сияқты шешіледі. Ол үшін айнымалы мәндерді бөлу керек:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Интегралды алып, мынаны алыңыз: ln(n)=x2/2. Сонда, егер n өрнектесек:
n=ex2/2.
Енді алынған теңдікті жүйенің екінші теңдеуіне ауыстырамыз:
k'ex2/2=x2.
Ал түрлендіру бірінші әдістегідей теңдікке ие боламыз:
dk=x2/ex2/2.
Біз де басқа қадамдарға бармаймыз. Айта кету керек, бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешу бастапқыда айтарлықтай қиындықтар туғызады. Дегенмен, тақырыпқа тереңірек енген сайын ол жақсырақ бола бастайды.
Дифференциалдық теңдеулер қайда қолданылады?
Дифференциалдық теңдеулер физикада өте белсенді қолданылады, өйткені барлық дерлік негізгі заңдар дифференциалдық түрде жазылған және біз көріп отырған формулалар осы теңдеулердің шешімі болып табылады. Химияда олар бір себеппен қолданылады: олардан негізгі заңдар шығады. Биологияда дифференциалдық теңдеулер жыртқыш-жыртқыш сияқты жүйелердің мінез-құлқын модельдеу үшін қолданылады. Оларды, мысалы, микроорганизмдер колониясының көбею үлгілерін жасау үшін де пайдалануға болады.
Дифференциалдық теңдеулер өмірде қалай көмектеседі?
Бұл сұрақтың жауабы қарапайым: мүмкін емес. Егер сіз ғалым немесе инженер болмасаңыз, олардың сізге пайдалы болуы екіталай. Дегенмен, жалпы даму үшін дифференциалдық теңдеудің не екенін және оның қалай шешілетінін білудің зияны жоқ. Сосын ұл-қызының «дифференциалдық теңдеу дегеніміз не?» деген сұрағы. сізді шатастырмайды. Егер сіз ғалым немесе инженер болсаңыз, бұл тақырыптың кез келген ғылымдағы маңыздылығын өзіңіз түсінесіз. Бірақ ең бастысы, қазір «бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді қалай шешуге болады?» деген сұрақ туындайды. сіз әрқашан жауап бере аласыз. Келісіңіз, бұл әрқашан жақсыадамдардың түсінуге қорқатынын түсінгенде.
Оқудың негізгі мәселелері
Бұл тақырыпты түсінудегі басты мәселе - функцияларды біріктіру және саралау дағдысының нашарлығы. Егер сіз туынды және интегралды қабылдауда нашар болсаңыз, онда көбірек біліп, интегралдау мен дифференциалдаудың әртүрлі әдістерін меңгеріп, содан кейін ғана мақалада сипатталған материалды оқуды бастауыңыз керек.
Кейбір адамдар dx-ті тасымалдауға болатынын білгенде таңғалады, өйткені бұрын (мектепте) dy/dx бөлімі бөлінбейтін деп айтылған. Мұнда туынды туралы әдебиеттерді оқып, бұл теңдеулерді шешу кезінде өңдеуге болатын шексіз аз шамалардың қатынасы екенін түсіну керек.
Көбісі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімі жиі қабылданбайтын функция немесе интеграл екенін бірден түсінбейді және бұл адасу оларға көп қиындық тудырады.
Жақсы түсіну үшін тағы нені оқуға болады?
Арнайы оқулықтармен, мысалы, математикалық емес мамандықтардың студенттеріне арналған есептеулермен дифференциалдық есептеулер әлеміне одан әрі енуді бастаған дұрыс. Одан кейін көбірек арнайы әдебиеттерге көшуге болады.
Айту керек, дифференциалдық теңдеулермен қатар интегралдық теңдеулер де бар, сондықтан сізде әрқашан ұмтылатын және зерттейтін нәрсе болады.
Қорытынды
Оқығаннан кейін солай деп үміттенемізБұл мақала дифференциалдық теңдеулер деген не және оларды қалай дұрыс шешуге болатыны туралы түсінік берді.
Қандай жағдайда да математика бізге өмірде қандай да бір пайдалы болады. Ол логика мен зейінді дамытады, онсыз әр адам қолсыз сияқты болады.
