Университет математикасының ең қиын және түсініксіз тақырыптарының бірі - интеграция және дифференциалдық есептеулер. Сіз бұл ұғымдарды біліп, түсінуіңіз керек, сонымен қатар оларды қолдана білуіңіз керек. Көптеген университеттік техникалық пәндер дифференциалдар мен интегралдармен байланысты.
Теңдеулер туралы қысқаша ақпарат
Бұл теңдеулер білім беру жүйесіндегі ең маңызды математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Дифференциалдық теңдеу - бұл тәуелсіз айнымалыларды, табылатын функцияны және сол функцияның туындыларын тәуелсіз деп қабылданған айнымалылармен байланыстыратын теңдеу. Бір айнымалының функциясын табуға арналған дифференциалдық есептеу қарапайым деп аталады. Қажетті функция бірнеше айнымалыға тәуелді болса, онда ішінара дифференциалдық теңдеу туралы айтылады.
Шындығында теңдеудің белгілі бір жауабын табу интеграцияға келіп тіреледі, ал шешу әдісі теңдеудің түріне қарай анықталады.
Бірінші ретті теңдеулер
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу – айнымалыны, қажетті функцияны және оның бірінші туындысын сипаттай алатын теңдеу. Мұндай теңдеулерді үш түрде беруге болады: айқын, жасырын, дифференциалды.
Шешуге қажетті түсініктер
Бастапқы шарт - тәуелсіз айнымалының берілген мәні үшін қажетті функция мәнін орнату.
Дифференциалдық теңдеуді шешу – бастапқы теңдеуге дәл қойылған кез келген дифференциалданатын функция оны бірдей теңге айналдырады. Алынған, анық емес шешім теңдеудің интегралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімі y=y(x;C) функциясы болып табылады, ол келесі пайымдауларды қанағаттандыра алады:
- Функцияның тек бір еркін С тұрақтысы болуы мүмкін.
- Алынған функция ерікті тұрақтының кез келген ерікті мәндері үшін теңдеудің шешімі болуы керек.
- Берілген бастапқы шартпен ерікті тұрақтыны бірегей жолмен анықтауға болады, осылайша алынған нақты шешім берілген бастапқы бастапқы шартқа сәйкес келеді.
Тәжірибеде Коши мәселесі жиі қолданылады – ерекше және басында қойылған шартпен салыстыруға болатын шешім табу.
Коши теоремасы – дифференциалдық есепте белгілі бір шешімнің бар екенін және бірегейлігін көрсететін теорема.
Геометриялық мағына:
- Жалпы шешім y=y(x;C)теңдеу – интегралдық қисықтардың жалпы саны.
- Дифференциалдық есептеу XOY жазықтығындағы нүктенің координаталары мен интегралдық қисыққа сызылған жанамаларды қосуға мүмкіндік береді.
- Бастапқы жағдайды орнату жазықтықта нүкте орнатуды білдіреді.
- Коши есебін шешу үшін теңдеудің бірдей шешімін білдіретін интегралдық қисықтардың барлық жиынынан жалғыз мүмкін болатын нүкте арқылы өтетін жалғызын таңдау керек дегенді білдіреді.
- Нүктеде Коши теоремасының шарттарының орындалуы интегралдық қисық (оның үстіне тек біреу) жазықтықтағы таңдалған нүкте арқылы міндетті түрде өтетінін білдіреді.
Бөлінетін айнымалы теңдеу
Анықтамасы бойынша дифференциалдық теңдеу – оның оң жағы екі функцияның туындысы (кейде қатынасы) ретінде сипатталатын немесе бейнеленетін теңдеу, олардың бірі тек «x», ал екіншісі тек «y» функциясына байланысты. «. Осындай нақты мысал: y'=f1(x)f2(y).
Нақты түрдегі теңдеулерді шешу үшін алдымен y'=dy/dx туындысын түрлендіру керек. Содан кейін теңдеуді манипуляциялау арқылы оны теңдеудің екі бөлігін біріктіруге болатын пішінге келтіру керек. Қажетті түрлендірулерден кейін біз екі бөлікті біріктіреміз және нәтижені жеңілдетеміз.
Біртекті теңдеулер
Анықтау бойынша дифференциалдық теңдеу келесі пішінге ие болса, біртекті деп атауға болады: y'=g(y/x).
Бұл жағдайда y/x=ауыстыру жиі пайдаланыладыt(x).
Мұндай теңдеулерді шешу үшін біртекті теңдеуді айнымалылары ажыратылатын түрге келтіру керек. Ол үшін келесі әрекеттерді орындау керек:
- Кез келген бастапқы функциядан жаңа теңдеу ретінде бастапқы функцияның туындысын өрнектейтін дисплей.
- Келесі қадам нәтиже функцияны f(x;y)=g(y/x) пішініне түрлендіру болып табылады. Қарапайым сөзбен айтқанда, теңдеу тек y/x қатынасын және тұрақтыларды қамтитын болсын.
- Келесі ауыстыруды орындаңыз: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Орындалған ауыстыру теңдеудегі айнымалыларды бөлуге көмектеседі және оны біртіндеп қарапайым пішінге әкеледі.
Сызықтық теңдеулер
Мұндай теңдеулердің анықтамасы келесідей: сызықтық дифференциалдық теңдеу – оның оң жағы бастапқы функцияға қатысты сызықтық өрнек ретінде көрсетілген теңдеу. Бұл жағдайда қажетті функция: y'=a(x)y + b(x).
Анықтаманы былайша қайталап көрейік: егер бастапқы функция мен оның туындысы бірінші дәрежелі теңдеуге қосылып, бір-біріне көбейтілмесе, 1-ші ретті кез келген теңдеу өз түрінде сызықты болады. Сызықтық дифференциалдық теңдеудің "классикалық түрі" келесі құрылымға ие: y' + P(x)y=Q(x).
Мұндай теңдеуді шешпес бұрын оны «классикалық түрге» ауыстыру керек. Келесі қадам шешім әдісін таңдау болады: Бернулли әдісі немесе Лагранж әдісі.
Теңдеуді шешуБернулли енгізген әдісті қолдана отырып, сызықтық дифференциалдық теңдеуді бастапқы түрінде берілген U(x) және V(x) функцияларына қатысты бөлек айнымалылары бар екі теңдеуге ауыстыруды және азайтуды білдіреді.
Лагранж әдісі - бастапқы теңдеудің жалпы шешімін табу.
- Біртекті теңдеудің бірдей шешімін табу керек. Іздеуден кейін бізде y=y(x, C) функциясы бар, мұндағы C - ерікті тұрақты.
- Біз бастапқы теңдеудің сол пішіндегі шешімін іздейміз, бірақ біз C=C(x) деп есептейміз. Бастапқы теңдеуге y=y(x, C(x)) функциясын қойып, C(x) функциясын тауып, жалпы бастапқы теңдеудің шешімін жазамыз.
Бернулли теңдеуі
Бернулли теңдеуі - егер есептеудің оң жағы f(x;y)=a(x)y + b(x)yk түрін алса, мұндағы k - кез келген мүмкін рационал сандық мән, мысал жағдайлары k=0 және k=1.
Егер k=1 болса, онда есептеу бөлінетін болады, ал k=0 болғанда теңдеу сызықтық болып қалады.
Теңдеудің осы түрін шешудің жалпы жағдайын қарастырайық. Бізде стандартты Бернулли теңдеуі бар. Оны сызықтыға дейін азайту керек, ол үшін теңдеуді yk-ке бөлу керек. Осы әрекеттен кейін z(x)=y1-k ауыстырыңыз. Бірқатар түрлендірулерден кейін теңдеу сызықтыға дейін қысқарады, көбінесе ауыстыру әдісі z=UV.
Толық дифференциалдардағы теңдеулер
Анықтама. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 құрылымы бар теңдеу толық теңдеу деп аталады.дифференциалдар, егер келесі шарт орындалса (бұл жағдайда "d" ішінара дифференциал болып табылады): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Бұрын қарастырылған барлық бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді дифференциал ретінде көрсетуге болады.
Мұндай есептеулер бірнеше жолмен шешіледі. Дегенмен, олардың барлығы жағдайды тексеруден басталады. Егер шарт орындалса, онда теңдеудің сол жақ аймағы әлі белгісіз U(x;y) функциясының толық дифференциалы болады. Содан кейін теңдеуге сәйкес dU (x; y) нөлге тең болады, сондықтан жалпы дифференциалдардағы теңдеудің бірдей интегралы U (x; y) u003d C түрінде көрсетіледі. Сондықтан, теңдеудің шешімі U (x; y) функциясын табуға келтіріледі.
Интеграциялық фактор
Егер dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx шарты теңдеуде орындалмаса, онда теңдеудің біз жоғарыда қарастырған түрі болмайды. Бірақ кейде кейбір M(x;y) функциясын таңдауға болады, оны көбейткенде теңдеу толық «диффурларда» теңдеу формасын алады. M (x;y) функциясы интегралдаушы фактор деп аталады.
Интеграторды тек бір айнымалының функциясы болған кезде ғана табуға болады.
