Тіпті мектепте әрқайсымыз теңдеулерді және, әрине, теңдеулер жүйесін зерттедік. Бірақ оларды шешудің бірнеше жолы бар екенін көпшілік біле бермейді. Бүгін біз екіден көп теңдіктерден тұратын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің барлық әдістерін егжей-тегжейлі талдаймыз.
Тарих
Қазіргі таңда теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу өнері Ежелгі Вавилон мен Египетте пайда болғаны белгілі. Дегенмен, теңдіктер өздерінің әдеттегі түрінде 1556 жылы ағылшын математигі Рекорд енгізген «=» теңдік белгісі пайда болғаннан кейін пайда болды. Айтпақшы, бұл белгі бір себеппен таңдалды: бұл екі параллель тең сегменттерді білдіреді. Расында, теңдіктің бұдан жақсы үлгісі жоқ.
Белгісіздердің қазіргі әріптік белгілері мен дәреже белгілерінің негізін салушы француз математигі Франсуа Вьет. Алайда оның тағайындаулары бүгінгіден айтарлықтай ерекшеленді. Мысалы, ол белгісіз санның квадратын Q әрпімен (лат. «quadratus»), ал кубты С (лат. «cubus») әрпімен белгіледі. Бұл белгілер қазір ыңғайсыз болып көрінеді, бірақ содан кейінбұл сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін жазудың ең түсінікті жолы болды.
Алайда сол кездегі шешу әдістерінің кемшілігі математиктердің тек оң түбірлерді ғана қарастыруында болды. Мүмкін, бұл теріс құндылықтардың практикалық қолданылмағандығына байланысты болуы мүмкін. Қалай болғанда да, 16 ғасырда теріс түбірлерді бірінші болып қарастырған итальяндық математиктер Никколо Тарталья, Джероламо Кардано және Рафаэль Бомбелли болды. Ал заманауи көрініс, квадрат теңдеулерді шешудің негізгі әдісі (дискриминант арқылы) тек 17 ғасырда Декарт пен Ньютонның еңбектерінің арқасында жасалды.
18 ғасырдың ортасында швейцариялық математик Габриэль Крамер сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді жеңілдетудің жаңа әдісін тапты. Бұл әдіс кейіннен оның есімімен аталды және біз оны бүгінгі күнге дейін қолданамыз. Бірақ біз Крамер әдісі туралы сәл кейінірек айтатын боламыз, бірақ әзірге сызықтық теңдеулер мен оларды жүйеден бөлек шешу әдістерін талқылаймыз.
Сызықтық теңдеулер
Сызықтық теңдеулер айнымалы(лары) бар ең қарапайым теңдіктер. Олар алгебралық деп жіктеледі. Сызықтық теңдеулер жалпы түрде келесідей жазылады: 2+…a x =b. Жүйелер мен матрицаларды одан әрі құрастыру кезінде бізге олардың осы пішінде ұсынылуы қажет болады.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
Бұл терминнің анықтамасы мынадай: ол ортақ белгісіздері және ортақ шешімі бар теңдеулер жиыны. Әдетте, мектепте барлығын жүйе шешетінекі немесе тіпті үш теңдеумен. Бірақ төрт немесе одан да көп компоненттері бар жүйелер бар. Алдымен оларды кейінірек шешуге ыңғайлы болу үшін оларды қалай жазу керектігін анықтайық. Біріншіден, егер барлық айнымалылар сәйкес индекспен x түрінде жазылса, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі жақсырақ көрінеді: 1, 2, 3 және т.б. Екіншіден, барлық теңдеулерді канондық түрге келтіру керек: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Осы қадамдардың барлығынан кейін сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін қалай табуға болатыны туралы сөйлесуді бастауға болады. Бұл үшін матрицалар өте пайдалы болады.
Матрицалар
Матрица - бұл жолдар мен бағандардан тұратын және оның элементтері олардың қиылысында орналасқан кесте. Бұл нақты мәндер немесе айнымалылар болуы мүмкін. Көбінесе элементтерді белгілеу үшін олардың астына жазылу белгілері қойылады (мысалы, a11 немесе a23). Бірінші индекс жол нөмірін, екіншісі баған нөмірін білдіреді. Матрицаларда, сондай-ақ кез келген басқа математикалық элементте әртүрлі операцияларды орындауға болады. Осылайша сіз:
1) Бірдей өлшемдегі кестелерді алып тастау және қосу.
2) Матрицаны қандай да бір санға немесе векторға көбейтіңіз.
3) Транспозиция: матрицалық жолдарды бағандарға және бағандарды жолдарға айналдырыңыз.
4) Егер матрицалардың біреуінің жолдарының саны екіншісінің бағандарының санына тең болса, оларды көбейтіңіз.
Осы әдістердің барлығын толығырақ қарастырамыз, өйткені олар болашақта бізге пайдалы болады. Матрицаларды қосу және азайту өте оңай. Соныменбіз бірдей өлшемдегі матрицаларды алатын болсақ, онда бір кестенің әрбір элементі екіншісінің әрбір элементіне сәйкес келеді. Осылайша, біз осы екі элементті қосамыз (алып тастаймыз) (олардың матрицаларында бірдей орындарда болуы маңызды). Матрицаны санға немесе векторға көбейту кезінде матрицаның әрбір элементін сол санға (немесе векторға) көбейту керек. Транспозиция өте қызықты процесс. Кейде оны нақты өмірде көру өте қызықты, мысалы, планшеттің немесе телефонның бағытын өзгерту кезінде. Жұмыс үстеліндегі белгішелер матрица болып табылады және орынды өзгерткен кезде ол ауыстырылады және кеңейеді, бірақ биіктігі азаяды.
Матрицаны көбейту сияқты процесті тағы бір рет қарастырайық. Бұл бізге пайдалы болмаса да, оны білу пайдалы болады. Екі матрицаны көбейтуге болады, егер бір кестедегі бағандар саны екінші кестедегі жолдар санына тең болса ғана. Енді бір матрицаның жолының элементтерін және екіншісінің сәйкес бағанының элементтерін алайық. Біз оларды бір-біріне көбейтеміз, содан кейін қосамыз (мысалы, a11 және a12 элементтерінің b көбейтіндісі 12және b22 мыналарға тең болады: a11b12 + a 12 b22). Осылайша, кестенің бір элементі алынады және ол ұқсас әдіспен толтырылады.
Енді сызықтық теңдеулер жүйесі қалай шешілетінін қарастыруға болады.
Гаусс әдісі
Бұл тақырып тіпті мектепте өте бастайды. Біз «Екі сызықтық теңдеулер жүйесі» ұғымын жақсы білеміз және оларды шешу жолдарын білеміз. Бірақ теңдеулердің саны екіден көп болса ше? Бұған Гаусс әдісі көмектеседі.
Әрине, жүйеден матрица жасасаңыз, бұл әдісті пайдалану ыңғайлы. Бірақ оны түрлендіріп, таза күйінде шеше алмайсыз.
Сонымен бұл әдіс сызықтық Гаусс теңдеулер жүйесін қалай шешеді? Айтпақшы, бұл әдіс оның атымен аталса да, ол ертеде ашылған. Гаусс келесіні ұсынады: барлық жиынды сатылы түрге келтіру үшін теңдеулермен амалдарды орындау. Яғни, жоғарыдан төменге қарай (дұрыс орналастырылған жағдайда) бірінші теңдеуден соңғысына дейін бір белгісіз кемуі қажет. Басқаша айтқанда, біз, айталық, үш теңдеу алатынымызға көз жеткізуіміз керек: біріншісінде - үш белгісіз, екіншісінде - екі, үшіншіде - бір. Содан кейін соңғы теңдеуден бірінші белгісізді табамыз, оның мәнін екінші немесе бірінші теңдеуге ауыстырамыз, содан кейін қалған екі айнымалыны табамыз.
Крамер әдісі
Бұл әдісті меңгеру үшін матрицаларды қосу, алу дағдыларын меңгеру өте маңызды, сонымен қатар анықтауыштарды таба білу қажет. Сондықтан, егер мұның бәрін нашар орындасаңыз немесе қалай істеу керектігін мүлде білмесеңіз, сізге үйренуге және жаттығуға тура келеді.
Бұл әдістің мәні неде және оны сызықтық Крамер теңдеулер жүйесі алынатын етіп қалай жасауға болады? Барлығы өте қарапайым. Бізге сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің сандық (әрдайым дерлік) коэффициенттерінен матрицаны құру керек. Мұны істеу үшін белгісіздердің алдындағы сандарды алып, оларды орналастырыңызкестеде олар жүйеде жазылу ретімен. Егер санның алдында «-» таңбасы болса, онда теріс коэффициент жазамыз. Сонымен, біз теңдік таңбаларынан кейінгі сандарды қоспай, белгісіздердің коэффициенттерінен бірінші матрицаны құрастырдық (табиғи, теңдеу тек оң жақта, ал барлық белгісіздер бар кезде канондық түрге келтіру керек. сол жақтағы коэффициенттер). Содан кейін тағы бірнеше матрица жасау керек - әрбір айнымалы үшін бір. Ол үшін бірінші матрицадағы коэффициенттермен әрбір бағанды теңдік белгісінен кейінгі сандар бағанымен кезекпен ауыстырамыз. Осылайша, біз бірнеше матрицаларды аламыз, содан кейін олардың анықтауыштарын табамыз.
Анықтауыштарды тапқаннан кейін мәселе аз. Бізде бастапқы матрица бар және әртүрлі айнымалыларға сәйкес келетін бірнеше нәтижелі матрицалар бар. Жүйенің шешімдерін алу үшін алынған кестенің анықтауышын бастапқы кестенің анықтауышына бөлеміз. Алынған сан айнымалылардың бірінің мәні болып табылады. Сол сияқты біз барлық белгісіздерді табамыз.
Басқа әдістер
Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін алудың тағы бірнеше әдістері бар. Мысалы, Гаусс-Джордан әдісі деп аталады, ол квадрат теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу үшін қолданылады және матрицаларды қолданумен де байланысты. Сонымен қатар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Якоби әдісі бар. Бұл компьютерге бейімделудің ең оңай нұсқасы және есептеулерде қолданылады.
Қиын жағдайлар
Күрделілік әдетте теңдеулер саны айнымалылар санынан аз болғанда пайда болады. Сонда не жүйе сәйкес емес (яғни оның түбірі жоқ), не оның шешімдерінің саны шексіздікке ұмтылатынын анық айта аламыз. Егер бізде екінші жағдай болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін жазу керек. Онда кемінде бір айнымалы болады.
Қорытынды
Міне, біз соңына жеттік. Қорытындылай келе: біз жүйе мен матрицаның не екенін талдадық, сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табуды үйрендік. Сонымен қатар, басқа да нұсқалар қарастырылды. Біз сызықтық теңдеулер жүйесінің қалай шешілетінін білдік: Гаусс әдісі және Крамер әдісі. Біз қиын жағдайлар мен шешімдерді табудың басқа жолдары туралы айттық.
Негізі бұл тақырып әлдеқайда ауқымды және оны жақсырақ түсінгіңіз келсе, көбірек арнайы әдебиеттерді оқуға кеңес береміз.
