Навье-Стокс теңдеулер жүйесі кейбір ағындардың тұрақтылық теориясы үшін, сонымен қатар турбуленттікті сипаттау үшін қолданылады. Сонымен қатар, механиканың дамуы жалпы математикалық модельдермен тікелей байланысты оған негізделген. Жалпы алғанда, бұл теңдеулер өте үлкен ақпаратқа ие және аз зерттелген, бірақ олар ХІХ ғасырдың ортасында алынған. Негізгі орын алатын жағдайлар классикалық теңсіздіктер, яғни идеалды өтпейтін сұйықтық және шекаралық қабаттар болып саналады. Бастапқы деректер акустика, тұрақтылық, орташа турбулентті қозғалыстар, ішкі толқындар теңдеулеріне әкелуі мүмкін.
Теңсіздіктердің қалыптасуы және дамуы
Навье-Стокстың бастапқы теңдеулері үлкен физикалық әсерлер деректеріне ие және қорытынды теңсіздіктер сипаттамалық белгілердің күрделілігімен ерекшеленеді. Олар сондай-ақ сызықты емес, стационар емес болғандықтан, өзіне тән ең жоғары туындысы бар шағын параметрі және кеңістік қозғалысының сипаты бар болғандықтан, оларды сандық әдістер арқылы зерттеуге болады.
Сызықты емес дифференциал құрылымындағы турбуленттілік пен сұйықтық қозғалысын тікелей математикалық модельдеуБұл жүйеде теңдеулер тікелей және іргелі мәнге ие. Навье-Стокстың сандық шешімдері көптеген параметрлерге байланысты күрделі болды, сондықтан талқылаулар тудырды және әдеттен тыс болып саналды. Дегенмен, 60-жылдары компьютерлердің қалыптасуы мен жетілдірілуі, сондай-ақ кеңінен қолданылуы гидродинамика мен математикалық әдістердің дамуына негіз қалады.
Stokes жүйесі туралы қосымша ақпарат
Навье теңсіздіктерінің құрылымындағы қазіргі заманғы математикалық модельдеу толық қалыптасқан және білім салаларында дербес бағыт ретінде қарастырылады:
- сұйықтық және газ механикасы;
- Аэрогидродинамика;
- машина жасау;
- энергия;
- табиғи құбылыстар;
- технология.
Осындай сипаттағы қолданбалардың көпшілігі конструктивті және жылдам жұмыс процесі шешімдерін қажет етеді. Бұл жүйедегі барлық айнымалы мәндерді дәл есептеу сенімділікті арттырады, металды тұтынуды және энергия схемаларының көлемін азайтады. Нәтижесінде өңдеу шығындары азаяды, машиналар мен аппараттардың пайдалану және технологиялық құрамдас бөліктері жақсарады, материалдардың сапасы жоғарылайды. Компьютерлердің үздіксіз өсуі мен өнімділігі сандық модельдеуді, сондай-ақ дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің ұқсас әдістерін жақсартуға мүмкіндік береді. Барлық математикалық әдістер мен жүйелер білімнің маңызды қорын қамтитын Навье-Стокс теңсіздіктерінің әсерінен объективті түрде дамиды.
Табиғи конвекция
Тапсырмалартұтқыр сұйықтықтар механикасы Стокс теңдеулері, табиғи конвективтік жылу және масса алмасу негізінде зерттелді. Сонымен қатар, бұл саладағы қолданбалар теориялық тәжірибе нәтижесінде алға жылжыды. Температураның біртекті еместігі, сұйықтың, газдың және гравитацияның құрамы белгілі бір ауытқуларды тудырады, оларды табиғи конвекция деп атайды. Ол сондай-ақ гравитациялық, ол да жылулық және концентрация тармақтарына бөлінеді.
Басқа нәрселермен қатар, бұл термин термокапиллярлық және конвекцияның басқа түрлерімен ортақ. Қолданыстағы механизмдер әмбебап болып табылады. Олар табиғи сферада кездесетін және болатын газ, сұйықтық қозғалыстарының көпшілігіне қатысады және олардың негізінде жатыр. Сонымен қатар, олар жылу жүйелеріне негізделген құрылымдық элементтерге, сондай-ақ біркелкілікке, жылу оқшаулау тиімділігіне, заттардың бөлінуіне, сұйық фазадан жасалған материалдардың құрылымдық жетілуіне әсер етеді және оларға әсер етеді.
Бұл қозғалыс класының ерекшеліктері
Физикалық критерийлер күрделі ішкі құрылымда көрсетілген. Бұл жүйеде ағынның өзегі мен шекаралық қабатты ажырату қиын. Сонымен қатар, келесі айнымалылар мүмкіндіктер болып табылады:
- әртүрлі өрістердің өзара әсері (қозғалыс, температура, концентрация);
- жоғарыда көрсетілген параметрлердің күшті тәуелділігі шекарадан, бастапқы шарттардан туындайды, бұл өз кезегінде ұқсастық критерийлерін және әртүрлі күрделі факторларды анықтайды;
- табиғаттағы сандық мәндер, кең мағынада технологияның өзгеруі;
- техникалық және ұқсас қондырғылардың жұмысының нәтижесіндеқиын.
Әртүрлі факторлардың әсерінен кең ауқымда өзгеретін заттардың физикалық қасиеттері, сонымен қатар геометрия және шекаралық жағдайлар конвекция мәселелеріне әсер етеді және бұл критерийлердің әрқайсысы маңызды рөл атқарады. Масса алмасу және жылу сипаттамалары әртүрлі қажетті параметрлерге байланысты. Практикалық қолдану үшін дәстүрлі анықтамалар қажет: ағындар, құрылымдық режимдердің әртүрлі элементтері, температуралық стратификация, конвекция құрылымы, концентрация өрістерінің микро және макрогетерогенділігі.
Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер және олардың шешімі
Математикалық модельдеу, немесе басқаша айтқанда, есептеу эксперименттерінің әдістері сызықты емес теңдеулер жүйесін ескере отырып әзірленген. Теңсіздіктерді шығарудың жетілдірілген түрі бірнеше қадамдардан тұрады:
- Зерттелетін құбылыстың физикалық моделін таңдау.
- Оны анықтайтын бастапқы мәндер деректер жиынына топтастырылған.
- Навье-Стокс теңдеулерін және шекаралық шарттарды шешуге арналған математикалық модель белгілі бір дәрежеде құрылған құбылысты сипаттайды.
- Мәселені есептеу әдісі немесе әдісі әзірленуде.
- Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге арналған бағдарлама жасалуда.
- Есептер, талдау және нәтижелерді өңдеу.
- Практикалық қолданба.
Осының бәрінен шығатыны, басты міндет – осы әрекеттерге сүйене отырып, дұрыс қорытындыға келу. Яғни, тәжірибеде қолданылатын физикалық эксперимент қорытынды жасауы керекбелгілі бір нәтижелерді алу және осы құбылыс үшін жасалған модель немесе компьютерлік бағдарламаның дұрыстығы мен қолжетімділігі туралы қорытынды жасау. Сайып келгенде, жетілдірілген есептеу әдісін немесе оны жақсарту қажет екенін анықтауға болады.
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу
Әрбір көрсетілген кезең тікелей тақырыптық аймақтың көрсетілген параметрлеріне байланысты. Математикалық әдіс есептердің әртүрлі кластарына жататын сызықты емес теңдеулер жүйелерін және олардың есептеулерін шешуге арналған. Әрқайсысының мазмұны процестің физикалық сипаттамасының толықтығын, дәлдігін, сондай-ақ кез келген зерттелетін пәндік салалардың практикалық қолдану ерекшеліктерін талап етеді.
Сызықты емес Стокс теңдеулерін шешу әдістеріне негізделген есептеудің математикалық әдісі сұйық және газ механикасында қолданылады және Эйлер теориясы мен шекаралық қабаттан кейінгі келесі қадам болып саналады. Осылайша, есептеудің бұл нұсқасында өңдеудің тиімділігіне, жылдамдығына және жетілдіруіне жоғары талаптар қойылады. Бұл нұсқаулар әсіресе тұрақтылығын жоғалтып, турбуленттілікке айналуы мүмкін ағын режимдеріне қатысты.
Әрекет тізбегі туралы толығырақ
Технологиялық тізбек, дәлірек айтсақ, математикалық қадамдар үздіксіздікпен және бірдей күшпен қамтамасыз етілуі керек. Навье-Стокс теңдеулерінің сандық шешімі дискретизациядан тұрады – соңғы өлшемді модельді құру кезінде ол кейбір алгебралық теңсіздіктерді және осы жүйенің әдісін қамтиды. Нақты есептеу әдісі жиынтықпен анықталадыфакторлар, соның ішінде: тапсырмалар класының ерекшеліктері, талаптар, техникалық мүмкіндіктер, дәстүрлер мен біліктілік.
Стационар емес теңсіздіктердің сандық шешімдері
Есептер есебін құру үшін Стокс дифференциалдық теңдеуінің ретін ашу керек. Шындығында, ол конвекция, жылу және Буссинск массасының тасымалдануы үшін екі өлшемді теңсіздіктердің классикалық схемасын қамтиды. Мұның бәрі тығыздығы қысымға тәуелді емес, температураға байланысты сығылатын сұйықтыққа арналған Стокс есептерінің жалпы класынан алынған. Теориялық тұрғыдан ол динамикалық және статикалық тұрақты болып саналады.
Boussinesq теориясын ескере отырып, барлық термодинамикалық параметрлер мен олардың мәндері ауытқулармен көп өзгермейді және статикалық тепе-теңдікке және онымен өзара байланысты шарттарға сәйкес келеді. Осы теория негізінде құрылған модель құрамды немесе температураны өзгерту процесінде жүйедегі ең аз ауытқуларды және мүмкін болатын келіспеушіліктерді ескереді. Осылайша, Boussinesq теңдеуі келесідей көрінеді: p=p (c, T). Температура, қоспа, қысым. Сонымен қатар, тығыздық тәуелсіз айнымалы болып табылады.
Боуссинск теориясының мәні
Конвекцияны сипаттау үшін Boussinesq теориясы жүйенің гидростатикалық сығылу әсерлері жоқ маңызды мүмкіндігін қолданады. Тығыздық пен қысымға тәуелділік болса, акустикалық толқындар теңсіздіктер жүйесінде пайда болады. Мұндай әсерлер температураның және басқа айнымалылардың статикалық мәндерден ауытқуын есептеу кезінде сүзіледі.құндылықтар. Бұл фактор есептеу әдістерінің дизайнына айтарлықтай әсер етеді.
Алайда қоспаларда, айнымалыларда қандай да бір өзгерістер немесе төмендеулер болса, гидростатикалық қысым жоғарыласа, онда теңдеулерді түзету керек. Навье-Стокс теңдеулері мен кәдімгі теңсіздіктердің айырмашылығы бар, әсіресе сығылатын газдың конвекциясын есептеу үшін. Бұл тапсырмаларда физикалық қасиетінің өзгеруін есепке алатын немесе температура мен қысымға, концентрацияға байланысты тығыздықтың өзгеруін егжей-тегжейлі есепке алатын аралық математикалық модельдер бар.
Стокс теңдеулерінің ерекшеліктері мен сипаттамалары
Навье және оның теңсіздіктері конвекцияның негізін құрайды, сонымен қатар, олардың спецификасы, сандық нұсқасында пайда болатын және өрнектелетін белгілі бір белгілері бар, сонымен қатар белгілеу формасына тәуелді емес. Бұл теңдеулерге тән қасиет тұтқыр ағынмен байланысты шешімдердің кеңістіктік эллиптикалық сипаты болып табылады. Оны шешу үшін әдеттегі әдістерді қолдану және қолдану қажет.
Шекара қабатының теңсіздіктері әртүрлі. Олар белгілі бір шарттарды орнатуды талап етеді. Стокс жүйесінің жоғары туындысы бар, соның арқасында ерітінді өзгеріп, тегіс болады. Шекаралық қабат пен қабырғалар өседі, сайып келгенде, бұл құрылым сызықты емес. Нәтижесінде гидродинамикалық типпен, сондай-ақ сығылмайтын сұйықтықпен, инерциялық құрамдас бөліктермен және қажетті есептердегі импульспен ұқсастық пен байланыс бар.
Теңсіздіктердегі сызықтық еместіктің сипаттамасы
Навье-Стокс теңдеулерінің жүйелерін шешу кезінде үлкен Рейнольдс сандары есепке алынады. Нәтижесінде бұл күрделі кеңістік-уақыт құрылымдарына әкеледі. Табиғи конвекцияда тапсырмаларда белгіленген жылдамдық жоқ. Осылайша, Рейнольдс саны көрсетілген мәнде масштабтау рөлін атқарады және әртүрлі теңдіктерді алу үшін де қолданылады. Бұған қоса, бұл нұсқаны қолдану Фурье, Грашоф, Шмидт, Прандтл және басқа жүйелермен жауап алу үшін кеңінен қолданылады.
Boussinesq жуықтауында температура мен ағын өрістерінің өзара әсерінің елеулі бөлігі белгілі бір факторларға байланысты болғандықтан, теңдеулер ерекшелігі бойынша ерекшеленеді. Теңдеудің стандартты емес ағыны тұрақсыздыққа байланысты, ең кіші Рейнольдс саны. Изотермиялық сұйықтық ағыны жағдайында теңсіздіктердің жағдайы өзгереді. Әртүрлі режимдер стационарлық емес Стокс теңдеуінде қамтылған.
Сандық зерттеулердің мәні мен дамуы
Соңғы уақытқа дейін сызықтық гидродинамикалық теңдеулер үлкен Рейнольдс сандарын пайдалануды және кішігірім ауытқулардың, қозғалыстардың және басқа заттардың мінез-құлқын сандық зерттеулерді білдіреді. Бүгінгі таңда әртүрлі ағындар өтпелі және турбулентті режимдердің тікелей пайда болуымен сандық модельдеулерді қамтиды. Мұның барлығы сызықты емес Стокс теңдеулер жүйесі арқылы шешіледі. Бұл жағдайда сандық нәтиже көрсетілген критерийлерге сәйкес барлық өрістердің лездік мәні болып табылады.
Өңдеу стационарлық емеснәтиже
Лездік түпкілікті мәндер – сызықтық теңсіздіктер сияқты бірдей жүйелер мен статистикалық өңдеу әдістеріне сәйкес келетін сандық енгізулер. Қозғалыстың стационарлық еместігінің басқа көріністері айнымалы ішкі толқындарда, стратифицирленген сұйықтықта және т.б. көрсетіледі. Дегенмен, бұл мәндердің барлығы түпкілікті теңдеулер жүйесімен сипатталады және белгіленген мәндермен, схемалармен өңделеді және талданады.
Стационарлылықтың басқа да көріністері толқындар арқылы көрінеді, олар бастапқы күйзеліс эволюциясының өтпелі процесі ретінде қарастырылады. Сонымен қатар, әртүрлі дене күштерімен және олардың ауытқуларымен, сондай-ақ уақыт өте келе өзгеретін жылулық жағдайлармен байланысты стационарлық емес қозғалыстардың кластары бар.
