Кездейсоқ шамалардың және олардың айнымалыларының таралу функцияларын табу үшін осы білім саласының барлық ерекшеліктерін зерттеу қажет. Қарастырылып отырған мәндерді табудың бірнеше түрлі әдістері бар, соның ішінде айнымалы мәнді өзгерту және сәтті генерациялау. Бөлу – дисперсия, вариация сияқты элементтерге негізделген ұғым. Дегенмен, олар тек шашырау амплитудасының дәрежесін сипаттайды.
Кездейсоқ шамалардың неғұрлым маңызды функциялары байланысқан және тәуелсіз және бірдей таралған функциялар болып табылады. Мысалы, егер X1 - ер адамдар популяциясынан кездейсоқ таңдалған жеке адамның салмағы болса, X2 - басқасының салмағы, … және Xn - еркек популяциясынан тағы бір адамның салмағы болса, онда біз кездейсоқ функцияның қалай жұмыс істейтінін білуіміз керек. X таратылады. Бұл жағдайда орталық шек теоремасы деп аталатын классикалық теорема қолданылады. Бұл үлкен n үшін функция стандартты үлестірімдерге сәйкес келетінін көрсетуге мүмкіндік береді.
Бір кездейсоқ шаманың функциялары
Орталық шек теоремасы бином және Пуассон сияқты қарастырылатын дискретті мәндерді жуықтауға арналған. Кездейсоқ шамалардың таралу функциялары, ең алдымен, бір айнымалының қарапайым мәндері бойынша қарастырылады. Мысалы, егер X өзінің ықтималдық үлестірімі бар үздіксіз кездейсоқ шама болса. Бұл жағдайда біз екі түрлі тәсілді, атап айтқанда үлестіру функциясы әдісін және айнымалының өзгеруін пайдаланып, Y тығыздық функциясын қалай табуға болатынын зерттейміз. Біріншіден, тек бір-бір мәндер қарастырылады. Содан кейін оның ықтималдығын табу үшін айнымалыны өзгерту техникасын өзгерту керек. Соңында, кері жинақтаушы үлестіру функциясы белгілі бір реттілік үлгілерімен жүретін кездейсоқ сандарды модельдеуге қалай көмектесетінін білуіміз керек.
Қарастырылған мәндерді бөлу әдісі
Тығыздығын табу үшін кездейсоқ шаманың ықтималдықты бөлу функциясының әдісі қолданылады. Бұл әдісті пайдаланған кезде жиынтық мән есептеледі. Содан кейін оны саралау арқылы ықтималдық тығыздығын алуға болады. Енді бізде үлестіру функциясы әдісі бар, біз тағы бірнеше мысалдарды қарастыра аламыз. X белгілі бір ықтималдық тығыздығы бар үздіксіз кездейсоқ шама болсын.
x2 ықтималдық тығыздық функциясы қандай? Функцияға (жоғарғы және оң жақ) y \u003d x2 қарасаңыз немесе графигін салсаңыз, оның X және 0 <y<1 артып келе жатқанын байқауға болады. Енді Y табу үшін қарастырылған әдісті қолдану керек. Алдымен жинақтаушы таралу функциясы табылды, ықтималдық тығыздығын алу үшін дифференциалдау керек. Осылайша, біз аламыз: 0<y<1. Тарату әдісі Y мәні X-тің өсу функциясы болғанда, Y табу үшін сәтті орындалды. Айтпақшы, f(y) y-ден 1-ге біріктіріледі.
Соңғы мысалда жинақталған функцияларды және ықтималдық тығыздығын олардың қай кездейсоқ шамаға жататынын көрсету үшін X немесе Y арқылы индекстеу үшін өте мұқият болды. Мысалы, Y шамасының жинақтаушы таралу функциясын тапқанда, біз X алдық. Егер X кездейсоқ шаманы және оның тығыздығын табу керек болса, оны тек дифференциалдау керек.
Айнымалыларды өзгерту техникасы
X ортақ бөлгіш f (x) бар таралу функциясы арқылы берілген үздіксіз кездейсоқ шама болсын. Бұл жағдайда у мәнін X=v (Y) мәніне қойсаңыз, онда x мәнін аласыз, мысалы v (y). Енді үзіліссіз кездейсоқ шаманың Y таралу функциясын алуымыз керек. Мұндағы бірінші және екінші теңдік жинақталған Y анықтамасынан орын алады. Үшінші теңдік орындалады, өйткені функцияның u (X) ≦ y болатын бөлігі X ≦ v (Y) болатыны да дұрыс. Ал соңғысы үздіксіз X кездейсоқ шамасындағы ықтималдықты анықтау үшін орындалады. Енді Y ықтималдық тығыздығын алу үшін FY (y) туындысын, Y-тің жиынтық таралу функциясын алу керек.
Азайту функциясы үшін жалпылау
X c1<x<c2 бойынша анықталған ортақ f (x) бар үздіксіз кездейсоқ шама болсын. Ал Y=u (X) кері X=v (Y) болатын Х-тің кему функциясы болсын. Функция үздіксіз және кемімелі болғандықтан, кері X=v (Y) функциясы бар.
Бұл мәселені шешу үшін сандық деректерді жинап, эмпирикалық жиынтық тарату функциясын пайдалануға болады. Осы ақпаратпен және оған жүгіну арқылы құралдар үлгілерін, стандартты ауытқуларды, медиа деректерін және т.б. біріктіру керек.
Сол сияқты, тіпті өте қарапайым ықтималдық үлгіде де нәтижелер көп болуы мүмкін. Мысалы, егер сіз тиынды 332 рет аударсаңыз. Сонда флиптерден алынған нәтижелер саны google-ден (10100) көп - сан, бірақ белгілі ғаламдағы элементар бөлшектерден кемінде 100 квинтиллион есе жоғары. Әрбір ықтимал нәтижеге жауап беретін талдау қызықтырмайды. Бастардың саны немесе құйрықтың ең ұзын штрихы сияқты қарапайым тұжырымдама қажет болады. Қызықтыратын мәселелерге назар аудару үшін нақты нәтиже қабылданады. Бұл жағдайда анықтама келесідей: кездейсоқ шама – ықтималдық кеңістігі бар нақты функция.
Кездейсоқ шаманың S диапазоны кейде күй кеңістігі деп аталады. Сонымен, егер X қарастырылып отырған мән болса, онда N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc және т.б. Олардың соңғысы, X-ті ең жақын бүтін санға дейін дөңгелектеу, еден функциясы деп аталады.
Тарату функциялары
Кездейсоқ x шамасына қатысты үлестіру функциясы анықталғаннан кейін, әдетте сұрақ туындайды: "X-ның В мәндерінің кейбір ішкі жиынына түсу мүмкіндігі қандай?". Мысалы, X мәні бар нәтижелерді көрсету үшін B={тақ сандар}, B={1-ден үлкен} немесе B={2 мен 7 арасындағы}кездейсоқ шама, A ішкі жиынында. Осылайша, жоғарыдағы мысалда оқиғаларды келесідей сипаттауға болады.
{X - тақ сан}, {X 1-ден үлкен}={X> 1}, {X 2 мен 7 арасында}={2 <X <7} B ішкі жиыны үшін жоғарыдағы үш опцияны сәйкестендіру үшін. Кездейсоқ шамалардың көптеген қасиеттері белгілі бір X-ке қатысты емес. Керісінше, олар X өз мәндерін қалай бөлетініне байланысты. Бұл келесідей көрінетін анықтамаға әкеледі: x кездейсоқ шамасының таралу функциясы жинақталған және сандық бақылаулар арқылы анықталады.
Кездейсоқ айнымалылар және тарату функциялары
Осылайша, x кездейсоқ шамасының таралу функциясының интервалдағы мәндерді алу ықтималдығын азайту арқылы есептеуге болады. Соңғы нүктелерді қосу немесе алып тастау туралы ойланыңыз.
Кездейсоқ айнымалыны дискретті деп атаймыз, егер оның шекті немесе есептелетін шексіз күй кеңістігі болса. Осылайша, X - р ықтималдығымен жоғарылайтын монетаның үш тәуелсіз аударылғандағы бас саны. X үшін дискретті кездейсоқ шама FX жиынтық таралу функциясын табуымыз керек. X үш карта жиынындағы шыңдардың саны болсын. Содан кейін FX арқылы Y=X3. FX 0-де басталады, 1-де аяқталады және x мәндері артқан сайын төмендемейді. X дискретті кездейсоқ шамасының жиынтық FX таралу функциясы секірулерден басқа тұрақты болады. Секіру кезінде FX үздіксіз болады. Дұрысы туралы тұжырымды дәлелдеңізықтималдық қасиетінен таралу функциясының үзіліссіздігі анықтаманың көмегімен мүмкін болады. Бұл келесідей естіледі: тұрақты кездейсоқ шаманың дифференциалданатын жиынтық FX болады.
Мұның қалай болатынын көрсету үшін мысал келтіре аламыз: бірлік радиусы бар нысана. Шамасы. дарт көрсетілген аумаққа біркелкі бөлінеді. Кейбір λ> 0 үшін. Осылайша, үздіксіз кездейсоқ шамалардың таралу функциялары біркелкі өседі. FX тарату функциясының қасиеттеріне ие.
Ер адам автобус келгенше аялдамада күтеді. Күту уақыты 20 минутқа жеткенде бас тартамын деп шешті. Мұнда T үшін жинақталған үлестіру функциясын табу керек. Адам әлі де автовокзалда болатын немесе кетпейтін уақыт. Әрбір кездейсоқ шама үшін кумулятивтік таралу функциясы анықталғанына қарамастан. Сонымен қатар, басқа сипаттамалар жиі пайдаланылады: дискретті айнымалы үшін масса және кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы функциясы. Әдетте мән осы екі мәннің бірі арқылы шығарылады.
Масса функциялар
Бұл мәндер жалпы (массалық) сипатқа ие келесі қасиеттермен қарастырылады. Біріншісі ықтималдықтардың теріс еместігіне негізделген. Екіншісі, барлық x=2S үшін жиын, X үшін күй кеңістігі, X ықтималдық еркіндігінің бөлігін құрайтынын бақылаудан шығады. Мысал: нәтижелері тәуелсіз болатын біржақты монетаны лақтыру. Сіз жасай аласызбелгілі бір әрекеттерді орындағанға дейін. X бірінші бастың алдындағы құйрықтардың санын беретін кездейсоқ шаманы белгілейік. Ал p кез келген берілген әрекеттегі ықтималдықты білдіреді.
Сонымен, массалық ықтималдық функциясының келесі сипаттамалық белгілері бар. Терминдер сандық тізбекті құрайтындықтан, Х геометриялық кездейсоқ шама деп аталады. Геометриялық схема c, cr, cr2,.,,, crn қосындысы бар. Демек, sn шегі n 1 сияқты. Бұл жағдайда шексіз қосынды шек болып табылады.
Жоғарыдағы массалық функция қатынасы бар геометриялық тізбекті құрайды. Демек, а және b натурал сандары. Бөлу функциясындағы мәндердің айырмашылығы массалық функцияның мәніне тең.
Қарастырылып отырған тығыздық мәндерінің анықтамасы бар: X – кездейсоқ шама, оның FX таралуында туынды болады. Z xFX (x)=fX (t) dt-1 қанағаттандыратын FX ықтималдық тығыздығының функциясы деп аталады. Ал Х үздіксіз кездейсоқ шама деп аталады. Есептің іргелі теоремасында тығыздық функциясы үлестірімнің туындысы болып табылады. Белгілі интегралдарды есептеу арқылы ықтималдықтарды есептей аласыз.
Деректер бірнеше бақылаулардан жиналғандықтан, эксперименттік процедураларды модельдеу үшін бір уақытта бірнеше кездейсоқ шамаларды ескеру қажет. Сондықтан, осы мәндердің жиынтығы және олардың екі айнымалы X1 және X2 үшін бірлескен таралуы оқиғаларды қарауды білдіреді. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін бірлескен ықтималдық массалық функциялар анықталады. Үздіксіздер үшін fX1, X2 қарастырылады, мұндабірлескен ықтималдық тығыздығы орындалды.
Тәуелсіз кездейсоқ шамалар
Екі кездейсоқ шама X1 және X2 олармен байланысты кез келген екі оқиға бірдей болса, тәуелсіз болады. Сөзбен айтқанда, {X1 2 B1} және {X2 2 B2} екі оқиғаның бір уақытта орын алу ықтималдығы, y, жоғарыдағы айнымалылардың көбейтіндісіне тең, олардың әрқайсысы жеке болады. Тәуелсіз дискретті кездейсоқ шамалар үшін шекті ион көлемінің туындысы болып табылатын бірлескен ықтималдық массалық функция бар. Тәуелсіз үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін бірлескен ықтималдық тығыздық функциясы шекті тығыздық мәндерінің туындысы болып табылады. Соңында біз x1, x2, n тәуелсіз бақылауларды қарастырамыз.,,, xn белгісіз тығыздық немесе массалық функциядан туындайтын f. Мысалы, автобустың күту уақытын сипаттайтын экспоненциалды кездейсоқ шамаға арналған функциялардағы белгісіз параметр.
Кездейсоқ айнымалыларға еліктеу
Бұл теориялық саланың негізгі мақсаты статистикалық ғылымның дұрыс принциптеріне негізделген қорытынды процедураларын әзірлеуге қажетті құралдармен қамтамасыз ету болып табылады. Осылайша, бағдарламалық қамтамасыз етуді пайдаланудың маңызды жағдайларының бірі нақты ақпаратты имитациялау үшін псевдодеректерді жасау мүмкіндігі болып табылады. Бұл талдау әдістерін нақты дерекқорларда қолданбас бұрын тексеруге және жақсартуға мүмкіндік береді. Бұл деректердің қасиеттерін зерттеу үшін қажетмодельдеу. Кездейсоқ шамалардың көптеген жиі қолданылатын отбасылары үшін R оларды генерациялауға арналған пәрмендерді қамтамасыз етеді. Басқа жағдайлар үшін ортақ таралуы бар тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегін модельдеу әдістері қажет болады.
Дискретті кездейсоқ айнымалылар және Пәрмен үлгісі. Үлгі пәрмені қарапайым және стратификацияланған кездейсоқ үлгілерді жасау үшін пайдаланылады. Нәтижесінде, егер x тізбегі енгізілсе, үлгі(x, 40) x ішінен 40 жазбаны таңдайды, осылайша 40 өлшемді барлық таңдаулардың ықтималдығы бірдей болады. Бұл ауыстырусыз алу үшін әдепкі R пәрменін пайдаланады. Дискретті кездейсоқ шамаларды модельдеу үшін де пайдалануға болады. Ол үшін х векторында күй кеңістігін және f массалық функцияны беру керек. Ауыстыруға шақыру=TRUE ауыстыру арқылы іріктеу орын алатынын көрсетеді. Содан кейін, жалпы f массалық функциясы бар n тәуелсіз кездейсоқ шаманың үлгісін беру үшін үлгі (x, n, ауыстыру=TRUE, prob=f) пайдаланылады.
1 көрсетілген ең кіші мән және 4 барлығының ең үлкені екені анықталды. Егер prob=f пәрмені алынып тасталса, онда үлгі x векторындағы мәндерден біркелкі таңдалады. Қос теңдік белгісіне қарап, деректерді жасаған массалық функцияға қарсы модельдеуді тексеруге болады,==. Және x үшін барлық мүмкін мәндерді қабылдайтын бақылауларды қайта есептеу. Сіз үстел жасай аласыз. Мұны 1000 үшін қайталаңыз және симуляцияны сәйкес массалық функциямен салыстырыңыз.
Ықтималдық түрлендіруінің иллюстрациясы
Біріншіu1, u2, кездейсоқ шамалардың біртекті таралу функцияларын модельдеу.,,, un [0, 1] интервалында. Сандардың шамамен 10% [0, 3, 0, 4] ішінде болуы керек. Бұл FX тарату функциясы көрсетілген кездейсоқ шама үшін [0, 28, 0, 38] аралығындағы модельдеулердің 10% сәйкес келеді. Сол сияқты кездейсоқ сандардың шамамен 10%-ы [0, 7, 0, 8] интервалында болуы керек. Бұл FX таралу функциясы бар кездейсоқ шаманың [0, 96, 1, 51] интервалындағы 10% модельдеулерге сәйкес келеді. X осіндегі бұл мәндерді FX-тен кері алу арқылы алуға болады. Егер X оның облысындағы барлық жерінде fX тығыздығы оң болатын үздіксіз кездейсоқ шама болса, онда таралу функциясы қатаң өседі. Бұл жағдайда FX кванттық функция ретінде белгілі кері FX-1 функциясына ие. FX (x) u тек x FX-1 (u) кезінде. Ықтималдылықты түрлендіру U=FX (X) кездейсоқ шамасының талдауынан шығады.
FX 0-ден 1-ге дейінгі диапазонға ие. Ол 0-ден төмен немесе 1-ден жоғары болмауы керек. 0 мен 1 арасындағы u мәндері үшін. Егер U симуляциясы мүмкін болса, FX үлестірімі бар кездейсоқ шама болуы керек. кванттық функция арқылы имитацияланады. Тығыздығы 1 шегінде өзгеретінін көру үшін туындыны алыңыз. Кездейсоқ шама U өзінің мүмкін мәндерінің интервалында тұрақты тығыздыққа ие болғандықтан, [0, 1] аралығында біркелкі деп аталады. Ол runif пәрменімен R тілінде модельденеді. Сәйкестік ықтималдық түрлендіру деп аталады. Оның қалай жұмыс істейтінін дарт тақтасының мысалында көруге болады. 0 мен 1 арасындағы X, функциябөлу u=FX (x)=x2, демек, квантильдік функция x=FX-1 (u). Дарт тақтасының ортасынан қашықтыққа тәуелсіз бақылауларды модельдеуге болады, осылайша U1, U2, біркелкі кездейсоқ шамаларды құруға болады.,, Ун. Бөлу функциясы және эмпирикалық функция дарт тақтасын таратудың 100 модельдеуіне негізделген. Экспоненциалды кездейсоқ шама үшін, болжам бойынша u=FX (x)=1 - exp (- x), демек, x=- 1 ln (1 - u). Кейде логика эквивалентті мәлімдемелерден тұрады. Бұл жағдайда аргументтің екі бөлігін біріктіру керек. Қиылысу сәйкестігі кейбір мәннің орнына барлық 2 {S i i} S үшін ұқсас. Ci бірігуі S күй кеңістігіне тең және әрбір жұп бір-бірін жоққа шығарады. Себебі Би - үш аксиомаға бөлінеді. Әрбір тексеру сәйкес P ықтималдығына негізделген. Кез келген ішкі жиын үшін. Жауаптың интервалдың соңғы нүктелерінің қосылғанына байланысты емес екеніне көз жеткізу үшін сәйкестікті пайдалану.
Көрсеткіштік функция және оның айнымалылары
Барлық оқиғалардағы әрбір нәтиже үшін ақыр соңында аксиоматикалық деп саналатын ықтималдықтардың үздіксіздігінің екінші қасиеті пайдаланылады. Мұндағы кездейсоқ шама функциясының таралу заңы әрқайсысының өз шешімі мен жауабы бар екенін көрсетеді.
