Ықтималдықтар теориясы – жоғары оқу орындарының студенттері ғана оқитын математиканың ерекше бөлімі. Сіз есептеулер мен формулаларды жақсы көресіз бе? Дискретті кездейсоқ шаманың қалыпты таралуымен, ансамбль энтропиясымен, математикалық күтумен және дисперсиясымен танысу перспективасынан қорықпайсыз ба? Сонда бұл пән сізді қатты қызықтырады. Осы ғылым бөлімінің кейбір маңызды негізгі ұғымдарымен танысайық.
Негізгі мәліметтерді еске түсіру
Ықтималдықтар теориясының ең қарапайым түсініктерін есте ұстасаңыз да, мақаланың бірінші абзацтарын назардан тыс қалдырмаңыз. Негіздерді нақты түсінбей, төменде талқыланған формулалармен жұмыс істей алмайсыз.
Сонымен, кездейсоқ оқиға, эксперимент бар. Орындалған әрекеттердің нәтижесінде біз бірнеше нәтиже ала аламыз - олардың кейбіреулері жиі кездеседі, басқалары азырақ. Оқиғаның ықтималдығы – бір түрдегі нақты алынған нәтижелер санының мүмкін болатындардың жалпы санына қатынасы. Осы тұжырымдаманың классикалық анықтамасын біле отырып, сіз үздіксіз математикалық күту мен дисперсияны зерттеуге кірісе аласыз.кездейсоқ айнымалылар.
Орта арифметикалық
Мектепте де математика сабағында арифметикалық ортамен жұмыс істей бастадыңыз. Бұл ұғым ықтималдықтар теориясында кеңінен қолданылады, сондықтан оны елемеуге болмайды. Қазіргі уақытта біз үшін ең бастысы, біз оны кездейсоқ шаманың математикалық күту мен дисперсиясының формулаларында кездестіреміз.
Бізде сандар тізбегі бар және арифметикалық ортаны тапқымыз келеді. Бізден талап етілетін нәрсе - қолда бардың барлығын жинақтап, тізбектегі элементтердің санына бөлу. Бізде 1-ден 9-ға дейінгі сандар болсын. Элементтердің қосындысы 45 болады және бұл мәнді 9-ға бөлеміз. Жауабы: - 5.
Дисперсия
Ғылыми тілмен айтсақ, дисперсия – алынған ерекшелік мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқуының орташа квадраты. Біреуі бас латынның D әрпімен белгіленеді. Оны есептеу үшін не қажет? Тізбектің әрбір элементі үшін қол жетімді сан мен арифметикалық орта арасындағы айырмашылықты есептеп, оның квадратын аламыз. Біз қарастырып жатқан оқиға үшін нәтижелер болуы мүмкін дәл сонша құндылықтар болады. Әрі қарай, біз алынғанның барлығын қорытындылаймыз және тізбектегі элементтердің санына бөлеміз. Бес ықтимал нәтиже болса, беске бөліңіз.
Дисперсияның мәселелерді шешу кезінде қолдану үшін есте сақтау қажет қасиеттері де бар. Мысалы, егер кездейсоқ шаманы X есе арттырса, дисперсия шаршыдан X есе артады (яғни, XX). Ол ешқашан нөлден төмен емес және тәуелді емесмәндерді бірдей мәнге жоғары немесе төмен жылжыту. Сондай-ақ тәуелсіз сынақтар үшін қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады.
Енді біз міндетті түрде дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын және математикалық күтуді қарастыруымыз керек.
21 тәжірибе жасап, 7 түрлі нәтиже алдық делік. Олардың әрқайсысын сәйкесінше 1, 2, 2, 3, 4, 4 және 5 рет бақыладық. Айырмашылық қандай болады?
Алдымен, орташа арифметикалық мәнді есептейік: элементтердің қосындысы, әрине, 21. Оны 7-ге бөліп, 3-ке бөліңіз. Енді бастапқы қатардағы әрбір саннан 3-ті алып, әрбір мәннің квадратын алыңыз және қосыңыз. нәтижелері бірге. 12 болып шықты. Енді бізге санды элементтердің санына бөлу қалды, және, меніңше, бұл бәрі. Бірақ ұстану бар! Оны талқылайық.
Тәжірибе санына тәуелділік
Дисперсияны есептеу кезінде бөлгіш екі санның бірі болуы мүмкін екен: N немесе N-1. Мұнда N – орындалған тәжірибелер саны немесе тізбектегі элементтер саны (шын мәнінде, ол бірдей). Ол неге байланысты?
Егер сынақтар саны жүздікпен өлшенсе, онда бөлгішке N қою керек. Егер бірлікпен болса, онда N-1. Ғалымдар шекараны өте символдық түрде салуды шешті: бүгін ол 30 санының бойымен өтеді. Егер біз 30-дан аз тәжірибе жасасақ, онда біз соманы N-1-ге, ал көп болса, N-ге бөлеміз.
Тапсырма
Дисперсия мен күту мәселесін шешу мысалымызға оралайық. БізN немесе N-1-ге бөлу керек болатын 12 аралық санды алды. Біз 21 эксперимент жүргізгендіктен, бұл 30-дан аз, біз екінші нұсқаны таңдаймыз. Демек, жауап: дисперсия 12 / 2=2.
Күту
Осы мақалада қарастыруымыз керек екінші тұжырымдамаға көшейік. Математикалық күту сәйкес ықтималдықтарға көбейтілген барлық мүмкін нәтижелерді қосу нәтижесі болып табылады. Нәтижедегі мән, сондай-ақ дисперсияны есептеу нәтижесі қанша нәтиже қарастырылса да, бүкіл тапсырма үшін тек бір рет алынатынын түсіну маңызды.
Күту формуласы өте қарапайым: нәтижені аламыз, оны ықтималдығына көбейтеміз, екінші, үшінші нәтижеге және т.б. қосамыз. Бұл тұжырымдамаға қатысты барлығын есептеу оңай. Мысалы, математикалық күтулердің қосындысы қосындының математикалық күтуіне тең. Жұмысқа да солай. Ықтималдық теориясындағы әрбір шама мұндай қарапайым операцияларды орындауға мүмкіндік бермейді. Тапсырманы алып, бірден зерттеген екі ұғымның мәнін есептейік. Сонымен қатар, біз теорияға алаңдадық - тәжірибе уақыты келді.
Тағы мысал
Біз 50 сынақты өткіздік және нәтиженің 10 түрін алдық - 0-ден 9-ға дейінгі сандар - әртүрлі пайыздарда пайда болды. Олар сәйкесінше: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Еске салайық, ықтималдықтарды алу үшін пайыздық мәндерді 100-ге бөлу керек. Осылайша, біз 0,02 аламыз; 0, 1, т.б. Кездейсоқтың дисперсиясын көрсетейікмән және есепті шешудің математикалық күту мысалы.
Орташа арифметикалық мәнді бастауыш мектепте есте қалған формула арқылы есептеңіз: 50/10=5.
Енді санауды жеңілдету үшін ықтималдықтарды нәтижелер санына «бөлшектеп» аударайық. Біз 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 және 9 аламыз. Алынған әрбір мәннен орташа арифметикалық мәнді алып тастаймыз, содан кейін алынған нәтижелердің әрқайсысының квадратын аламыз. Мысал ретінде бірінші элементті пайдаланып мұны қалай жасау керектігін қараңыз: 1 - 5=(-4). Әрі қарай: (-4)(-4)=16. Басқа мәндер үшін осы әрекеттерді өзіңіз орындаңыз. Егер сіз бәрін дұрыс жасасаңыз, барлық аралық нәтижелерді қосқаннан кейін сіз 90 аласыз.
90-ды N-ге бөлу арқылы дисперсия мен ортаны есептеуді жалғастырыңыз. Неліктен біз N-1 емес, N таңдаймыз? Дұрыс, өйткені орындалған тәжірибелер саны 30-дан асады. Сонымен: 90/10=9. Біз дисперсияны алдық. Басқа нөмір алсаңыз, үмітіңізді үзбеңіз. Сіз есептеулерде қате жіберген шығарсыз. Жазғаныңызды екі рет тексеріңіз, сонда бәрі өз орнына келеді.
Соңында, күту формуласын еске түсірейік. Біз барлық есептеулерді бермейміз, біз барлық қажетті процедураларды орындағаннан кейін тексеруге болатын жауапты ғана жазамыз. Күту 5, 48-ге тең болады. Біз тек бірінші элементтердің мысалын пайдаланып, амалдарды қалай орындау керектігін еске түсіреміз: 00, 02 + 10, 1… және т.б. Көріп отырғаныңыздай, нәтиженің мәнін оның ықтималдығына көбейтеміз.
Ауытқу
Дисперсиямен және күтілетін мәнмен тығыз байланысты басқа ұғымстандартты ауытқу. Ол латынның sd әріптерімен немесе гректің кіші әріптерімен «сигма» арқылы белгіленеді. Бұл тұжырымдама орта есеппен мәндердің орталық белгіден қалай ауытқитынын көрсетеді. Оның мәнін табу үшін дисперсияның квадрат түбірін есептеу керек.
Егер сіз қалыпты үлестірімнің графигін құрсаңыз және стандартты ауытқудың мәнін тікелей одан көргіңіз келсе, мұны бірнеше кезеңде орындауға болады. Кескіннің жартысын режимнің сол жағына немесе оң жағына алыңыз (орталық мән), алынған фигуралардың аудандары тең болатындай көлденең оське перпендикуляр сызыңыз. Бөлудің ортасы мен көлденең оське алынған проекция арасындағы сегменттің мәні стандартты ауытқу болады.
Бағдарламалық қамтамасыз ету
Формулалар мен ұсынылған мысалдардың сипаттамасынан көріп отырғаныңыздай, дисперсия мен математикалық күтуді есептеу арифметикалық тұрғыдан ең оңай процедура емес. Уақытты босқа өткізбеу үшін жоғары оқу орындарында қолданылатын бағдарламаны пайдаланудың мәні бар – ол «R» деп аталады. Оның статистика мен ықтималдықтар теориясынан көптеген ұғымдардың мәндерін есептеуге мүмкіндік беретін функциялары бар.
Мысалы, мәндер векторын анықтайсыз. Бұл келесідей орындалады: вектор <-c(1, 5, 2…). Енді осы вектор үшін кейбір мәндерді есептеу қажет болғанда, сіз функция жазасыз және оны аргумент ретінде бересіз. Дисперсияны табу үшін var пайдалану керек. Оның мысалықолдану: var(вектор). Содан кейін сіз жай ғана "enter" түймесін басып, нәтиже аласыз.
Қорытынды
Дисперсия және математикалық күту ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары болып табылады, оларсыз болашақта ештеңені есептеу қиын. Университеттердегі дәрістердің негізгі курсында олар пәнді оқудың алғашқы айларында қарастырылады. Дәл осы қарапайым ұғымдарды түсінбеу және оларды есептей алмау салдарынан көптеген студенттер бірден бағдарламадан қалып қояды және кейінірек сессия соңында нашар бағалар алады, бұл оларды шәкіртақыдан айырады.
Күніне жарты сағаттан кем дегенде бір апта жаттығып, осы мақалада берілген есептерге ұқсас мәселелерді шешіңіз. Содан кейін кез келген ықтималдық теориясы сынағы кезінде сіз мысалдарды басқа кеңестерсіз және хит парақтарсыз жеңе аласыз.
