Математика мен өңдеуде аналитикалық сигнал түсінігі (қысқаша – C, AC) теріс жиілік құраушылары жоқ күрделі функция болып табылады. Бұл құбылыстың нақты және елестетілген бөліктері Гильберт түрлендіруі арқылы бір-бірімен байланысты нақты функциялар болып табылады. Аналитикалық сигнал - бұл химияда өте кең таралған құбылыс, оның мәні осы ұғымның математикалық анықтамасына ұқсас.
Спектакльдер
Нақты функцияның аналитикалық көрінісі бастапқы функцияны және оның Гильберт түрлендіруін қамтитын аналитикалық сигнал болып табылады. Бұл бейнелеу көптеген математикалық манипуляцияларды жеңілдетеді. Негізгі идея – нақты функцияның Фурье түрлендіруінің (немесе спектрінің) теріс жиілік құраушылары мұндай спектрдің гермиттік симметриясына байланысты артық болады. Бұл теріс жиілік құрамдастарын онсыз тастауға боладыоның орнына күрделі функциямен айналысқыңыз келсе, ақпараттың жоғалуы. Бұл белгілі бір мүмкіндік атрибуттарын қол жетімді етеді және SSB сияқты модуляция мен демодуляция әдістерін шығаруды жеңілдетеді.
Теріс компоненттер
Қолданылатын функцияның теріс жиілік құрамдастары болмаған кезде (яғни ол әлі де аналитикалық), күрделіден нақтыға түрлендіру жай ғана ойдан шығарылған бөлікті алып тастау мәселесі болып табылады. Аналитикалық бейнелеу вектор ұғымының жалпылауы болып табылады: вектор уақыт бойынша өзгермейтін амплитудамен, фазамен және жиілікпен шектелгенімен, аналитикалық сигналдың сапалық талдауы уақыт бойынша өзгеретін параметрлерге мүмкіндік береді.
Лездік амплитудасы, лездік фазасы және жиілігі кейбір қолданбаларда C жергілікті ерекшеліктерін өлшеу және анықтау үшін пайдаланылады. Аналитикалық ұсынудың басқа қолданбасы модуляцияланған сигналдарды демодуляциялауға қатысты. Полярлық координаттар AM және фазалық (немесе жиілік) модуляция әсерлерін ыңғайлы түрде ажыратады және белгілі бір түрлерді тиімді демодуляциялайды.
Содан кейін нақты коэффициенттері бар қарапайым төмен жиілікті сүзгі қызығушылық бөлігін кесіп тастай алады. Басқа мотив - ең жоғары жиілікті төмендету, бұл бүркеншік атсыз іріктеу үшін ең аз жиілікті төмендетеді. Жиілік ауысуы бейнелеудің математикалық пайдалылығын бұзбайды. Осылайша, бұл мағынада төмен түрлендірілген әлі де аналитикалық болып табылады. Дегенмен, нақты өкілдіктің қалпына келуіенді нақты құрамдас бөлікті алудың қарапайым мәселесі емес. Жоғары түрлендіру қажет болуы мүмкін және егер сигнал таңдалған болса (дискретті уақыт), бүркеншік атын болдырмау үшін интерполяция (жоғарғы үлгілеу) қажет болуы мүмкін.
Айнымалылар
Тұжырымдама әдетте уақытша болатын бір айнымалы құбылыстар үшін жақсы анықталған. Бұл уақытшалық көптеген бастаушы математиктерді шатастырады. Екі немесе одан да көп айнымалылар үшін аналитикалық С әртүрлі жолдармен анықталуы мүмкін және төменде екі тәсіл берілген.
Бұл құбылыстың нақты және елестетілген бөліктері бір айнымалысы бар ұқсас құбылыстар үшін анықталған векторлық мәнді моногендік сигналдың екі элементіне сәйкес келеді. Дегенмен, моногенді айнымалылардың ерікті санына дейін қарапайым жолмен кеңейтілуі мүмкін, бұл n-айнымалы сигналдар жағдайы үшін (n + 1) өлшемді векторлық функцияны жасайды.
Сигнал түрлендіру
Шынайы компоненттің Гильберт түрлендіруі болып табылатын ойдан шығарылған (Q) компонентті қосу арқылы нақты сигналды аналитикалық сигналға түрлендіруге болады.
Айтпақшы, бұл цифрлық өңдеу үшін жаңалық емес. Бір бүйірлік жолақты (SSB) AM генерациялаудың дәстүрлі әдістерінің бірі, фазалық әдіс аналогтық резистор-конденсатор желісінде дыбыстық сигналдың Гильберт түрлендіруін генерациялау арқылы сигналдарды құруды қамтиды. Оның тек оң жиіліктері болғандықтан, оны тек бір бүйірлік жолағы бар модуляцияланған РЖ сигналына түрлендіру оңай.
Анықтама формулалары
Аналитикалық сигнал өрнегі - жоғарғы күрделі жартылай жазықтықтың шекарасында анықталған голоморфты кешенді функция. Жоғарғы жарты жазықтықтың шекарасы кездейсоқпен сәйкес келеді, сондықтан C кескінді fa арқылы береді: R → C. Өткен ғасырдың ортасынан бері Денис Габор 1946 жылы бұл құбылысты тұрақты амплитуда мен фазаны зерттеу үшін пайдалануды ұсынған кезде, сигнал көптеген қолданбаларды тапты. Бұл құбылыстың ерекшелігі [Vak96] атап өтілді, мұнда амплитуда, фаза және жиілік үшін физикалық шарттарға аналитикалық сигналдың сапалы талдауы ғана сәйкес келетіні көрсетілді.
Соңғы жетістіктер
Соңғы бірнеше онжылдықта кескін/бейне өңдеуден бастап физикадағы сейсмикалық, электромагниттік және гравитациялық толқындар. Бірнеше өлшемдер жағдайына аналитикалық С (сапалық талдау) дұрыс жалпылау үшін қарапайым күрделі сандарды ыңғайлы түрде кеңейтетін алгебралық конструкцияға сүйену керек деп жалпы қабылданған. Мұндай конструкциялар әдетте гиперкомплекстік сандар [SKE] деп аталады.
Соңында, fh гиперкомплексті аналитикалық сигналын құру мүмкін болуы керек: Rd → S, мұнда кейбір жалпы гиперкүрделі алгебралық жүйе ұсынылған, ол табиғи түрде лездік амплитуда мен алу үшін барлық қажетті қасиеттерді кеңейтеді.кезең.
Оқу
Бірқатар жұмыстар лездік амплитуда мен фазаны зерттеу үшін гиперкомплекстік санау жүйесін дұрыс таңдауға, гиперкомплекстік Фурье түрлендіруіне және бөлшек Гильберт түрлендірулеріне қатысты әртүрлі мәселелерге арналған. Бұл жұмыстың көпшілігі Cd, кватерниондар, Клеарон алгебралары және Кейли-Диксон конструкциялары сияқты әртүрлі кеңістіктердің қасиеттеріне негізделген.
Одан әрі біз сигналды көптеген өлшемдерде зерттеуге арналған кейбір жұмыстарды ғана тізімдейміз. Біздің білуімізше, көп нұсқалы әдіс бойынша алғашқы жұмыстар 1990 жылдардың басында алынған. Оларға Эллдің [Ell92] гиперкомплексті түрлендірулер бойынша жұмысы жатады; Булоудың көптеген өлшемдерге аналитикалық реакция (аналитикалық сигнал) әдісін жалпылау бойынша жұмысы [BS01] және моногендік сигналдар бойынша Фельсберг пен Соммердің жұмысы.
Ары қарайғы перспективалар
Гиперкомплекс сигналы 1D жағдайында бізде бар барлық пайдалы қасиеттерді кеңейтеді деп күтілуде. Ең алдымен, біз өлшемдерге лездік амплитуда мен фазаны шығарып, жалпылай білуіміз керек. Екіншіден, күрделі аналитикалық сигналдың Фурье спектрі тек оң жиіліктерде сақталады, сондықтан біз гиперкомплекстік Фурье түрлендіруінің өзінің гипермәнді спектріне ие болады деп күтеміз, ол тек гиперкомплекстік кеңістіктің кейбір оң квадрантында сақталады. Өйткені бұл өте маңызды.
Үшіншіден, күрделі ұғымның жалғаулық бөліктеріаналитикалық сигнал Гильберт түрлендіруімен байланысты және біз гиперкомплекстік кеңістіктегі конъюгаттық компоненттер де Гильберт түрлендірулерінің кейбір комбинациясымен байланысты болуы керек деп күтуге болады. Ақырында, шынында да, гиперкомплекс сигналы гиперкомплекстік кеңістіктегі қандай да бір пішіннің шекарасында анықталған бірнеше гиперкомплекстік айнымалылардың кейбір гиперкомплекстік голоморфты функциясының кеңейтімі ретінде анықталуы керек.
Бұл мәселелерді ретімен қарастырамыз. Ең алдымен, біз Фурье интегралдық формуласын қарастырудан бастаймыз және Гильберттің 1-D түрлендіруінің модификацияланған Фурье интегралдық формуласымен байланысты екенін көрсетеміз. Бұл факт гиперкомплексті санау жүйелеріне және голоморфтық функцияларға сілтеме жасамай лездік амплитуданы, фазаны және жиілікті анықтауға мүмкіндік береді.
Интегралдардың модификациясы
Біз модификацияланған Фурье интегралдық формуласын бірнеше өлшемдерге кеңейту арқылы жалғастырамыз және лездік амплитуда мен фазаға жинай алатын барлық қажетті фазалық ауыспалы құрамдастарды анықтаймыз. Екіншіден, біз бірнеше гиперкомплекстік айнымалылардың голоморфты функцияларының болуы туралы сұраққа жүгінеміз. [Sch93] кейін эллиптикалық (e2i=−1) генераторлар жинағы арқылы құрылған коммутативті және ассоциативті гиперкомплекс алгебрасы гиперкомплекстік аналитикалық сигналдың өмір сүруі үшін қолайлы кеңістік болып табылады, біз мұндай гиперкомплексті алгебраны Шефер кеңістігі деп атаймыз және белгілейміз. олSD.
Сондықтан аналитикалық сигналдардың гиперкомплексі полидискінің шекарасындағы голоморфты функция ретінде анықталады / кейбір гиперкомплекстік кеңістіктегі жазықтықтың жоғарғы жартысы, оны біз жалпы Шефер кеңістігі деп атаймыз және Sd арқылы белгілейміз. Содан кейін Sd ішіндегі полидискінің ішіндегі гипербеткейде есептелетін және гиперкомплекс конъюгаттық құрамдастарын байланыстыратын сәйкес бөлшек Гильберт түрлендірулерін шығаратын Sd → Sd функциялары үшін Коши интегралдық формуласының жарамдылығын байқаймыз. Соңында, Шефер кеңістігіндегі мәндері бар Фурье түрлендіруіне тек теріс емес жиіліктерде қолдау көрсетілетіні белгілі болды. Осы мақаланың арқасында сіз аналитикалық сигналдың не екенін білдіңіз.
