Алгебралық теңсіздіктер немесе олардың шешімдері интегралдық немесе бүтін сандардан ізделетін рационал коэффициенттері бар жүйелері. Әдетте, диофантиндік теңдеулерде белгісіздердің саны көбірек. Осылайша, олар анықталмаған теңсіздіктер ретінде де белгілі. Қазіргі математикада жоғарыда аталған ұғым шешімдері Q-рационал айнымалылар өрісінің кейбір кеңеюінің алгебралық бүтін сандарында, p-адикалық айнымалылар өрісінде және т.б. ізделетін алгебралық теңдеулерге қолданылады.
Бұл теңсіздіктердің шығу тегі
Диофантиндік теңдеулерді зерттеу сандар теориясы мен алгебралық геометрия арасындағы шекарада. Бүтін айнымалылардағы шешімдерді табу – ең көне математикалық есептердің бірі. Біздің дәуірімізге дейінгі екінші мыңжылдықтың басында. Ежелгі вавилондықтар екі белгісізі бар теңдеулер жүйесін шеше алды. Математиканың бұл саласы Ежелгі Грецияда ең көп дамыды. Диофанттың арифметикасы (шамамен б.з. 3 ғасыр) әртүрлі типтер мен теңдеулер жүйесін қамтитын маңызды және негізгі дереккөз болып табылады.
Бұл кітапта Диофант екінші және үшінші теңсіздіктерді зерттеудің бірқатар әдістерін алдын ала айтқан.19 ғасырда толық дамыған дәрежелер. Ежелгі Грецияның осы зерттеушісінің рационал сандар теориясын жасауы оның кітабында жүйелі түрде бақыланатын белгісіз жүйелердің логикалық шешімдерін талдауға әкелді. Оның жұмысында арнайы диофантиндік теңдеулердің шешімдері бар болса да, ол бірнеше жалпы әдістермен де таныс болды деуге негіз бар.
Бұл теңсіздіктерді зерттеу әдетте күрделі қиындықтармен байланысты. Олардың құрамында бүтін коэффициенттері F (x, y1, …, y) болатын көпмүшеліктердің болуына байланысты. Осының негізінде кез келген берілген x үшін F (x, y1, …., y) теңдеуі бар-жоғын анықтауға болатын жалғыз алгоритм жоқ екендігі туралы қорытындылар жасалды.). Жағдай y1, …, y үшін шешіледі. Мұндай көпмүшелердің мысалдарын жазуға болады.
Ең қарапайым теңсіздік
ax + by=1, мұнда а және b салыстырмалы бүтін және жай сандар болса, оның орындалу саны өте көп (егер x0, y0 нәтиже құрылады, содан кейін айнымалылар жұбы x=x0 + b және y=y0 -an, мұндағы n ерікті, сонымен қатар теңсіздік ретінде қарастырылады). Диофант теңдеулерінің тағы бір мысалы x2 + y2 =z2. Бұл теңсіздіктің оң интегралдық шешімдері х, у және тікбұрышты үшбұрыштардың кіші қабырғаларының ұзындықтары, сонымен қатар қабырға өлшемдері бүтін z гипотенузасы болып табылады. Бұл сандар Пифагор сандары деп аталады. Бастауышқа қатысты барлық үштіктер көрсетілгенжоғарыдағы айнымалылар x=m2 – n2 арқылы берілген, y=2mn, z=m2+ n2, мұнда m және n бүтін және жай сандар (m>n>0).
Диофант өзінің «Арифметикасында» теңсіздіктерінің ерекше түрлерінің рационалды (міндетті түрде интегралдық емес) шешімдерін іздейді. Бірінші дәрежелі диофантиндік теңдеулерді шешудің жалпы теориясын 17 ғасырда К. Г. Башет жасаған. 19 ғасырдың басындағы басқа ғалымдар негізінен ұқсас теңсіздіктерді зерттеді ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, мұндағы a, b, c, d, e және f жалпы, гетерогенді, екінші дәрежелі екі белгісіз. Лагранж өз зерттеуінде жалғасты бөлшектерді пайдаланды. Квадраттық пішіндер үшін Гаусс шешімдердің кейбір түрлерінің негізінде жатқан жалпы теорияны жасады.
Осы екінші дәрежелі теңсіздіктерді зерттеуде тек 20 ғасырда айтарлықтай жетістіктерге қол жеткізілді. A. Thue Диофантин теңдеуі a0x + a1xn- 1 екенін анықтады. y +…+a y =c, мұнда n≧3, a0, …, a , c - бүтін сандар және a0tn + …+ a бүтін шешімдердің шексіз санына ие бола алмайды. Алайда Thue әдісі дұрыс дамымаған. А. Бейкер осы тектес кейбір теңдеулердің орындалуына баға беретін тиімді теоремалар жасады. Б. Н. Делонай осы теңсіздіктердің неғұрлым тар класына қолданылатын зерттеудің басқа әдісін ұсынды. Атап айтқанда, ax3 + y3 =1 пішімі осылайша толығымен шешіледі.
Диофантиндік теңдеулер: шешу әдістері
Диофант теориясының көптеген бағыттары бар. Осылайша, бұл жүйедегі белгілі мәселе диофантиндік теңдеулердің тривиальды емес шешімі жоқ деген гипотеза xn + y =z n егер n ≧ 3 (Ферматтың сұрағы). Теңсіздіктің бүтін орындалуын зерттеу Пифагор үштіктері мәселесінің табиғи жалпылауы болып табылады. Эйлер n=4 үшін Ферма есебінің оң шешімін алды. Осы нәтиженің арқасында ол жетіспейтін бүтін санды дәлелдеуге, егер n тақ жай сан болса, теңдеудің нөлдік емес зерттеулеріне сілтеме жасайды.
Шешімге қатысты зерттеу аяқталмады. Оны жүзеге асырудағы қиындықтар алгебралық бүтін сандар сақинасындағы қарапайым көбейткіштерге бөлудің бірегей еместігімен байланысты. Бұл жүйедегі бөлгіштер теориясы n жай дәрежелердің көптеген кластары үшін Ферма теоремасының дұрыстығын растауға мүмкіндік береді. Осылайша, екі белгісізі бар сызықтық диофантин теңдеуі бар әдістер мен жолдармен орындалады.
Сипатталған тапсырмалардың түрлері мен түрлері
Алгебралық бүтін сандар сақиналарының арифметикасы көптеген басқа есептер мен диофантиндік теңдеулердің шешімдерінде де қолданылады. Мысалы, мұндай әдістер N(a1 x1 +…+ a түріндегі теңсіздіктерді орындау кезінде қолданылған. x)=m, мұндағы N(a) – a нормасы және x1, …, xn интегралдық рационал айнымалылар табылды. Бұл сыныпқа x2–dy2=1 Pell теңдеуі кіреді.
А1, …, a мәндері, бұл теңдеулер екі түрге бөлінеді. Бірінші тип – толық пішіндер деп аталатын – теңдеулерді қамтиды, олардың арасында Q рационал айнымалылар өрісінде m сызықты тәуелсіз сандар бар, мұнда m=[Q(a1, …, a):Q], онда Q алгебралық көрсеткішінің Q (a1, …, a ) дәрежесі бар Q. Толық емес түрлер a i максималды саны м-ден кем.
Толық пішіндер қарапайым, олардың зерттелуі аяқталды және барлық шешімдерді сипаттауға болады. Екінші түрі, толық емес түрлер күрделірек және мұндай теорияның дамуы әлі аяқталған жоқ. Мұндай теңдеулер F(x, y)=C теңсіздігін қамтитын диофантиндік жуықтаулар арқылы зерттеледі, мұндағы F (x, y) n≧3 дәрежелі біртекті, азайтылмайтын полином. Осылайша, yi→∞ деп болжауға болады. Сәйкесінше, егер yi жеткілікті үлкен болса, онда теңсіздік Тью, Сигель және Рот теоремаларына қайшы келеді, одан F(x, y)=C шығады, мұндағы F үшінші дәрежелі немесе одан жоғары түрдегі азайтылмайтынның шешімдерінің шексіз саны болуы мүмкін емес.
Диофантин теңдеуін қалай шешуге болады?
Бұл мысал барлығының арасында өте тар сынып. Мысалы, қарапайымдылығына қарамастан, x3 + y3 + z3=N, және x2 +y 2 +z2 +u2 =N бұл сыныпқа кірмейді. Шешімдерді зерттеу диофантиндік теңдеулердің мұқият зерттелген саласы болып табылады, мұнда негіз сандарды квадраттық формалармен көрсету болып табылады. ЛагранжОрындалу барлық натурал N үшін бар екенін айтатын теорема жасады. Кез келген натурал санды үш квадраттың қосындысы ретінде көрсетуге болады (Гаусс теоремасы), бірақ ол 4a түрінде болмауы керек. (8K- 1), мұндағы a және k теріс емес бүтін дәреже көрсеткіштері.
F типті диофантиндік теңдеу жүйесінің рационал немесе интегралдық шешімдері (x1, …, x)=a, мұндағы F (x 1, …, x) – бүтін коэффициенттері бар квадраттық пішін. Сонымен, Минковски-Хассе теоремасы бойынша ∑aijxixj=b ijтеңсіздігі. және b рационал, әрбір жай p саны үшін нақты және p-адикалық сандарда интегралдық шешімі бар, егер ол осы құрылымда шешілетін болса ғана.
Тиінді қиындықтарға байланысты үшінші дәрежелі және одан жоғары ерікті формалары бар сандарды зерттеу аз дәрежеде зерттелді. Негізгі орындау әдісі – тригонометриялық қосындылар әдісі. Бұл жағдайда теңдеудің шешімдерінің саны Фурье интегралы арқылы анық жазылады. Осыдан кейін сәйкес сәйкестіктердің теңсіздігінің орындалу санын өрнектеу үшін орта әдісі қолданылады. Тригонометриялық қосындылар әдісі теңсіздіктердің алгебралық ерекшеліктеріне байланысты. Сызықтық диофантиндік теңдеулерді шешудің көптеген қарапайым әдістері бар.
Диофантин анализі
Пәні геометрия әдістерімен алгебра теңдеулер жүйесінің интегралдық және рационал шешімдерін зерттеу болып табылатын математика кафедрасышарлар. 19 ғасырдың екінші жартысында бұл сандар теориясының пайда болуы коэффициенттері бар ерікті өрістен диофантиндік теңдеулерді зерттеуге әкелді және шешімдер не онда, не оның сақиналарында қарастырылды. Алгебралық функциялар жүйесі сандармен қатар дамыды. Д. Гильберт және, атап айтқанда, Л. Кронеккер атап өткен екеуінің арасындағы негізгі ұқсастық әртүрлі арифметикалық ұғымдардың біркелкі құрылуына әкелді, олар әдетте ғаламдық деп аталады.
Бұл әсіресе тұрақтылардың ақырғы өрісі бойынша зерттелетін алгебралық функциялар бір айнымалы болса, байқалады. Класс өрісінің теориясы, бөлгіш және тармақталу және нәтижелер сияқты түсініктер жоғарыда айтылғандардың жақсы көрінісі болып табылады. Бұл көзқарас диофанттық теңсіздіктер жүйесінде кейінірек қабылданып, тек сандық коэффициенттермен ғана емес, сонымен қатар функция болып табылатын коэффициенттермен де жүйелі зерттеулер 1950 жылдары ғана басталды. Бұл тәсілдің шешуші факторларының бірі алгебралық геометрияның дамуы болды. Бір пәннің екі бірдей маңызды аспектілері ретінде туындайтын сандар мен функция өрістерін бір мезгілде зерттеу талғампаз және нанымды нәтиже беріп қана қоймай, екі тақырыптың өзара байытылуына әкелді.
Алгебралық геометрияда әртүрлілік ұғымы берілген K өрісіндегі теңсіздіктердің инвариантты емес жиынымен ауыстырылады, ал олардың шешімдері мәндері K немесе оның шекті кеңеюіндегі рационал нүктелермен ауыстырылады. Тиісінше, диофант геометриясының негізгі мәселесі рационал нүктелерді зерттеу деп айтуға боладыX(K) алгебралық жиынының, ал X - K өрісіндегі белгілі сандар. Бүтін орындалу сызықтық диофантиндік теңдеулерде геометриялық мағынаға ие.
Теңсіздікті зерттеу және орындау опциялары
Алгебралық сорттар бойынша рационал (немесе интегралдық) нүктелерді зерттегенде бірінші мәселе туындайды, бұл олардың бар болуы. Гильберттің оныншы мәселесі осы мәселені шешудің жалпы әдісін табу мәселесі ретінде тұжырымдалған. Алгоритмнің нақты анықтамасын құру процесінде және есептердің көп саны үшін мұндай орындаудың жоқтығы дәлелденгеннен кейін, мәселе айқын теріс нәтижеге ие болды, ал ең қызықты мәселе - диофант теңдеулерінің класстарын анықтау. ол үшін жоғарыда аталған жүйе бар. Ең табиғи тәсіл, алгебралық тұрғыдан алғанда, Хассе принципі деп аталады: бастапқы K өрісі оның аяқталуларымен бірге Kv барлық мүмкін бағалаулар бойынша зерттеледі. X(K)=X(Kv) өмір сүрудің қажетті шарты болғандықтан және K нүктесі X(Kv жиыны екенін ескереді.) барлығы үшін бос емес.
Маңыздылығы оның екі мәселені біріктіруінде. Екіншісі әлдеқайда қарапайым, оны белгілі алгоритм бойынша шешуге болады. Х сорты проекциялық болатын нақты жағдайда Гансель леммасы және оның жалпылаулары одан әрі қысқартуды мүмкін етеді: мәселені ақырлы өрістегі рационалды нүктелерді зерттеуге дейін қысқартуға болады. Содан кейін ол тұжырымдаманы дәйекті зерттеулер немесе тиімдірек әдістер арқылы құруды шешеді.
Соңғымаңызды ескеретін жайт, X(Kv) жиындарының ақырлы v санынан басқасының барлығы үшін бос емес, сондықтан шарттар саны әрқашанда шекті және оларды тиімді тексеруге болады. Дегенмен, Хассе принципі градус қисықтарына қолданылмайды. Мысалы, 3x3 + 4y3=5 барлық p-adic сан өрістерінде нүктелер бар және нақты сандар жүйесінде, бірақ рационал нүктелері жоқ.
Бұл әдіс Хассе принципінен «ауытқуды» орындау үшін абелдік сорттардың негізгі біртекті кеңістіктерінің кластарын сипаттайтын тұжырымдаманы құрудың бастапқы нүктесі болды. Ол әр алуан (Тэйт-Шафаревич тобы) байланысты болуы мүмкін ерекше құрылым тұрғысынан сипатталған. Теорияның негізгі қиындығы топтарды есептеу әдістерін алудың қиындығында. Бұл тұжырымдама алгебралық сорттардың басқа сыныптарына да кеңейтілді.
Теңсіздіктерді орындау алгоритмін іздеу
Диофантиндік теңдеулерді зерттеуде қолданылатын басқа эвристикалық идея, егер теңсіздіктер жиынына қатысатын айнымалылар саны көп болса, онда жүйенің әдетте шешімі болады. Дегенмен, бұл кез келген нақты жағдайда дәлелдеу өте қиын. Осы типтегі есептерге жалпы көзқарас аналитикалық сандар теориясын пайдаланады және тригонометриялық қосындыларды бағалауға негізделген. Бұл әдіс бастапқыда теңдеулердің арнайы түрлеріне қолданылған.
Алайда, кейінірек оның көмегімен тақ дәреженің түрі F болса, d-де екені дәлелденді.және n айнымалы және рационал коэффициенттері бар болса, онда d-мен салыстырғанда n жеткілікті үлкен, сондықтан проекциялық гипербеттің F=0 рационал нүктесі бар. Артин болжамы бойынша бұл нәтиже n > d2. Бұл тек квадраттық формалар үшін дәлелденді. Ұқсас мәселелерді басқа салаларда да сұрауға болады. Диофант геометриясының орталық мәселесі бүтін немесе рационал нүктелер жиынының құрылымы және оларды зерттеу болып табылады, ал бірінші анықталуы керек сұрақ - бұл жиынның ақырлы екендігі. Бұл мәселеде, әдетте, жүйенің дәрежесі айнымалылар санынан әлдеқайда көп болса, жағдайдың орындалу санының шектеулі саны болады. Бұл негізгі болжам.
Түзулер мен қисықтардағы теңсіздіктер
X(K) тобын r дәрежелі бос құрылым мен n ретті соңғы топтың тікелей қосындысы ретінде көрсетуге болады. 1930 жылдардан бастап бұл сандар берілген K өрісіндегі барлық эллиптикалық қисықтардың жиынында шектелген бе деген сұрақ зерттелді. Бұралудың n шектелгендігі жетпісінші жылдары көрсетілді. Функционалдық жағдайда ерікті жоғары дәрежелі қисықтар бар. Сандық жағдайда бұл сұраққа әлі жауап жоқ.
Соңында, Морделл болжамы g>1 тектес қисық үшін интегралдық нүктелердің саны шектеулі екенін айтады. Функционалдық жағдайда бұл ұғымды 1963 жылы Ю. И. Манин көрсетті. Диофант геометриясында шектік теоремаларын дәлелдеуде қолданылатын негізгі құрал биіктік болып табылады. Алгебралық сорттардың біреуінен жоғары өлшемдер абелиандық болып табыладыэллиптикалық қисықтардың көпөлшемді аналогтары болып табылатын алуан түрліліктер ең мұқият зерттелген.
А. Вайль рационал нүктелер тобының генераторлар санының шектілігі туралы теореманы кез келген өлшемдегі абельдік сорттарға (Мордол-Вейль концепциясы) жалпылап, оны кеңейтті. 1960 жылдары Берч пен Свиннертон-Дайер болжамы пайда болды, бұл және топты және коллектордың зета функцияларын жетілдірді. Сандық дәлелдер бұл гипотезаны қолдайды.
Шешімділік мәселесі
Кез келген диофант теңдеуінің шешімі бар-жоғын анықтау үшін қолданылатын алгоритмді табу мәселесі. Қойылған мәселенің маңызды ерекшелігі кез келген теңсіздікке қолайлы әмбебап әдісті іздеу болып табылады. Мұндай әдіс жоғарыда аталған жүйелерді шешуге де мүмкіндік береді, өйткені ол P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 немесе p21+ ⋯ + P2K=0 эквивалентті. n12+⋯+pK2=0. Бүтін сандардағы сызықтық теңсіздіктердің шешімдерін табудың осындай әмбебап әдісін табу мәселесін Д. Гилберт.
1950 жылдардың басында диофантиндік теңдеулерді шешу алгоритмінің жоқтығын дәлелдеуге бағытталған алғашқы зерттеулер пайда болды. Осы кезде Дэвис болжамы пайда болды, ол кез келген санаулы жиынтық грек ғалымына да тиесілі деген. Өйткені алгоритмдік шешілмейтін жиындардың мысалдары белгілі, бірақ рекурсивті түрде санауға болады. Бұдан Дэвис болжамының ақиқат екені және осы теңдеулердің шешілу мәселесі шығадытеріс орындалды.
Осыдан кейін Дэвис болжамы үшін бір уақытта шешімі бар (немесе жоқ) теңсіздікті түрлендіру әдісі бар екенін дәлелдеу қалады. Диофантин теңдеуінің мұндай өзгерісі жоғарыда аталған екі қасиетке ие болған жағдайда мүмкін болатыны көрсетілді: 1) осы типтегі кез келген шешімде v ≦ uu; 2) кез келген k үшін экспоненциалды өсімі бар орындалу бар.
Осы класстың сызықтық диофантиндік теңдеуінің мысалы дәлелдеуді аяқтады. Рационал сандардағы осы теңсіздіктерді шешу және тану алгоритмінің бар екендігі туралы мәселе әлі де жеткілікті зерттелмеген маңызды және ашық мәселе болып саналады.
