Бертран парадоксы ықтималдықтар теориясының классикалық интерпретациясындағы мәселе. Джозеф оны «Calcul des probabilités» (1889) еңбегінде механизм немесе әдіс кездейсоқ шаманы шығаратын болса, ықтималдықтарды жақсы анықтау мүмкін еместігінің мысалы ретінде енгізді.
Мәселе туралы мәлімдеме
Бертран парадоксы келесідей.
Біріншіден, шеңберге сызылған теңбүйірлі үшбұрышты қарастырыңыз. Бұл жағдайда диаметрі кездейсоқ таңдалады. Оның үшбұрыштың қабырғасынан ұзын болу ықтималдығы қандай?
Бертран үш дәлел келтірді, олардың барлығы дұрыс сияқты, бірақ әртүрлі нәтижелер береді.
Кездейсоқ соңғы нүкте әдісі
Шеңбердегі екі орынды таңдап, оларды қосатын доға салу керек. Есептеу үшін Бертранның ықтималдық парадоксы қарастырылады. Үшбұрыштың төбесі хорданың шеткі нүктелерінің бірімен сәйкес келетіндей етіп бұрылғанын елестету керек. Төлеуге тұрарлықегер басқа бөлік екі орын арасындағы доғада болса, шеңбер үшбұрыштың қабырғасынан ұзынырақ екенін ескеріңіз. Доғаның ұзындығы шеңбердің үштен бірі, сондықтан кездейсоқ аккордтың ұзағырақ болу ықтималдығы 1/3 болады.
Таңдау әдісі
Шеңбердің радиусын және ондағы нүктені таңдау керек. Осыдан кейін диаметрге перпендикуляр осы жер арқылы аккорд салу керек. Бертранның ықтималдық теориясының қарастырылған парадоксын есептеу үшін үшбұрыштың қабырғасы радиусқа перпендикуляр болатындай етіп бұрылғанын елестету керек. Таңдалған нүкте шеңбердің ортасына жақынырақ болса, аккорд аяққа қарағанда ұзынырақ болады. Және бұл жағдайда үшбұрыштың қабырғасы радиусты екіге бөледі. Демек, аккордтың сызылған фигураның бүйірінен ұзын болу ықтималдығы 1/2.
Кездейсоқ аккордтар
Орта нүкте әдісі. Шеңбердегі орынды таңдап, берілген ортасы бар аккорд жасау керек. Таңдалған орын радиусы 1/2 концентрлік шеңбер ішінде болса, ось іші сызылған үшбұрыштың шетінен ұзынырақ. Кіші шеңбердің ауданы үлкен фигураның төрттен бір бөлігін құрайды. Демек, кездейсоқ аккордтың ықтималдығы сызылған үшбұрыштың қабырғасынан ұзын және 1/4-ке тең.
Жоғарыда көрсетілгендей, таңдау әдістері диаметрі болып табылатын белгілі аккордтарға беретін салмақпен ерекшеленеді. 1-әдісте әрбір аккорд диаметрі немесе диаметрі болмаса да, дәл бір жолмен таңдалуы мүмкін.
2-әдісте әрбір түзу сызықты екі жолмен таңдауға болады. Ал кез келген басқа аккорд таңдаладымүмкіндіктердің бірі ғана.
3-әдісте әрбір ортаңғы нүкте таңдауының бір параметрі болады. Барлық диаметрлердің ортасы болып табылатын шеңбердің ортасынан басқа. Нәтижедегі ықтималдықтарға әсер етпей, параметрлерді алып тастау үшін барлық сұрақтарға "тапсырыс беру" арқылы бұл мәселелерді болдырмауға болады.
Таңдалған әдістерді келесідей көрсетуге болады. Диаметрі емес аккорд ортаңғы нүктесі арқылы бірегей түрде анықталады. Жоғарыда ұсынылған үш таңдау әдісінің әрқайсысы ортаның әртүрлі таралуын жасайды. Ал 1 және 2 опциялары екі түрлі біркелкі емес бөлімдерді қамтамасыз етеді, ал 3-әдіс біркелкі үлестіруді береді.
Бертран мәселесін шешудің классикалық парадоксы аккордты «кездейсоқ» таңдаған әдіске байланысты. Кездейсоқ таңдау әдісі алдын ала көрсетілсе, мәселенің нақты анықталған шешімі болады екен. Бұл әрбір жеке әдістің аккордтардың өзіндік таралуына байланысты. Бертран көрсеткен үш шешім таңдаудың әртүрлі режимдеріне сәйкес келеді және қосымша ақпарат болмаған жағдайда, біреуін екіншісіне артықшылық беруге ешқандай себеп жоқ. Тиісінше, көрсетілген мәселенің жалғыз шешімі жоқ.
Жалпы жауапты бірегей ету әдісінің мысалы ретінде хорданың соңғы нүктелерінің 0 және c арасында біркелкі орналасатынын көрсету болып табылады, мұндағы c - шеңбердің шеңбері. Бұл бөлу Бертранның бірінші аргументіндегідей және нәтижесінде бірегей ықтималдық 1/3 болады.
Бұл Бертран Рассел парадоксы және классиканың басқа да бірегейлігімүмкіндіктерді түсіндіру неғұрлым қатаң тұжырымдарды негіздейді. Соның ішінде ықтималдық жиілігі және субъективисттік Байес теориясы.
Бертран парадоксының негізінде не жатыр
1973 жылы «Жақсы қойылған мәселе» мақаласында Эдвин Джейнс өзінің бірегей шешімін ұсынды. Ол Бертранның парадоксы «максималды надандық» принципіне негізделген алғышартқа негізделгенін атап өтті. Бұл мәселе мәлімдемесінде көрсетілмеген ақпаратты пайдалануға болмайды дегенді білдіреді. Джейнс Бертран мәселесі шеңбердің орнын немесе өлшемін анықтамайтынын көрсетті. Сондықтан кез келген нақты және объективті шешім өлшемі мен ұстанымына «немқұрайлы» болуы керек деп дәлелдеді.
Көрнекілік үшін
Барлық аккордтар 2 см шеңберге кездейсоқ орналастырылған деп есептесек, енді оған алыстан сабан лақтыру керек.
Одан кейін диаметрі кішірек (мысалы, 1 сантиметр) басқа шеңберді алу керек, ол үлкенірек фигураға сәйкес келеді. Сонда бұл кіші шеңбердегі аккордтардың таралуы максимумдағыдай болуы керек. Егер екінші фигура да біріншінің ішінде қозғалса, ықтималдық, негізінен, өзгермеуі керек. 3-әдіс үшін келесі өзгеріс болатынын көру өте оңай: кішкентай қызыл шеңбердегі аккордтардың таралуы үлкен шеңбердегі үлестірімнен сапалы түрде өзгеше болады.
1-әдіс үшін де солай болады. Графикалық көріністе оны көру қиынырақ.
2-әдіс жалғызбұл әрі масштаб, әрі аударма инварианты болып шығады.
№3 әдіс жай кеңейтілетін сияқты.
1-әдіс те емес.
Алайда, Джейнс бұл әдістерді қабылдау немесе қабылдамау үшін инварианттарды оңай пайдаланбады. Бұл оның ақылға қонымды мағына аспектілеріне сәйкес келетін басқа сипатталмаған әдістің болуы мүмкіндігін қалдырады. Джейнс инвариантты сипаттайтын интегралдық теңдеулерді қолданды. Ықтималдық үлестірімін тікелей анықтау. Оның есебінде интегралдық теңдеулердің шынымен де бірегей шешімі бар және дәл осылай жоғарыда екінші кездейсоқ радиус әдісі деп аталды.
2015 жылғы мақалада Алон Дри Джейнс принципі тағы екі Бертран шешімін бере алатынын айтады. Автор инварианттылықтың жоғарыда аталған қасиеттерінің математикалық жүзеге асуы бірегей емес, адам қолдануды шешетін негізгі кездейсоқ таңдау процедурасына байланысты деп сендіреді. Ол үш Бертран шешімдерінің әрқайсысы айналу, масштабтау және трансляциялық инварианттылық көмегімен алуға болатынын көрсетеді. Сонымен қатар, Джейнс принципі немқұрайлылық режимінің өзі сияқты интерпретацияға жатады деген қорытынды.
Физикалық эксперименттер
2-әдіс – статистикалық механика және газ құрылымы сияқты арнайы физиологиялық концепцияларда бар трансформация инварианттарын қанағаттандыратын жалғыз шешім. Сондай-ақ ұсынылғанДжейнстің кішкене шеңберден сабан лақтыру тәжірибесі.
Дегенмен, басқа әдістерге сәйкес жауап беретін басқа практикалық эксперименттерді жасауға болады. Мысалы, бірінші кездейсоқ соңғы нүкте әдісінің шешіміне жету үшін аймақтың ортасына есептегішті бекітуге болады. Екі тәуелсіз айналымның нәтижелері аккордтың соңғы орындарын бөлектесін. Үшінші әдіс бойынша шешімге келу үшін, мысалы, шеңберді мелассамен жабуға және шыбын қонатын бірінші нүктені ортаңғы аккорд ретінде белгілеуге болады. Бірнеше зерттеушілер әртүрлі тұжырымдар жасау үшін зерттеулер жасап, нәтижелерді эмпирикалық түрде растады.
Соңғы оқиғалар
2007 жылғы «Бертран парадоксы және енжарлық принципі» атты мақаласында Николас Шакель бір ғасырдан астам уақыт өтсе де, мәселе әлі де шешімін таппағанын айтады. Ол немқұрайлылық принципін жоққа шығарады. Сонымен қатар, 2013 жылғы «Бертран Рассел парадоксы қайта қаралды: Неліктен барлық шешімдер практикалық емес» деген мақаласында Даррелл Р. Роботтом барлық ұсынылған шешімдердің оның жеке сұрағына еш қатысы жоқ екенін көрсетеді. Осылайша парадоксты шешу бұрын ойлағаннан әлдеқайда қиын болатыны анықталды.
Шекель осы уақытқа дейін көптеген ғалымдар мен ғылымнан алшақ адамдар Бертранның парадоксын шешуге тырысқанын атап көрсетеді. Оны әлі екі түрлі тәсілдің көмегімен жеңуге болады.
Баламалы емес есептер арасындағы айырмашылық қарастырылғандар және есеп әрқашан дұрыс деп саналғандар. Шакел өз кітаптарында Луиден үзінді келтіредіМаринов (дифференциация стратегиясының типтік көрсеткіші ретінде) және Эдвин Джейнс (жақсы ойластырылған теорияның авторы ретінде).
Алайда, Диедерик Аэртс пен Массимилиано Сассоли де Бианки «Күрделі мәселені шешу» атты соңғы жұмыстарында Бертран парадоксын шешу үшін үй-жайларды аралас стратегиядан іздеу керек деп есептейді. Бұл авторлардың пікірінше, бірінші қадам рандомизацияланатын нысанның сипатын нақты көрсету арқылы мәселені шешу болып табылады. Және бұл жасалғаннан кейін ғана кез келген мәселені дұрыс деп санауға болады. Джейнс осылай ойлайды.
Сондықтан оны шешу үшін барынша надандық принципін қолдануға болады. Осы мақсатта және мәселе аккордты қалай таңдау керектігін көрсетпегендіктен, принцип әртүрлі мүмкіндіктер деңгейінде емес, әлдеқайда тереңірек қолданылады.
Бөлшектерді таңдау
Мәселенің бұл бөлігі авторлар әмбебап орта деп атайтын барлық мүмкін жолдар бойынша метаорташа мәнді есептеуді талап етеді. Мұнымен күресу үшін олар дискретизация әдісін қолданады. Винер процестеріндегі ықтималдық заңын анықтауда не істеп жатқанынан шабыттандырады. Олардың нәтижесі Джейнстің сандық қорытындысына сәйкес келеді, дегенмен олардың дұрыс қойылған мәселесі бастапқы автордың проблемасынан ерекшеленеді.
Экономика мен коммерцияда оның құрушысы Джозеф Бертранның атымен аталған Бертран парадоксы екі ойыншы (фирма) Нэш тепе-теңдігіне жеткен жағдайды сипаттайды. Екі фирма да шекті шығындарға тең баға белгілегенде(MS).
Бертран парадоксы алғышартқа негізделген. Бұл Курно бәсекелестігі сияқты модельдерде фирмалар санының өсуі бағалардың шекті шығындармен жақындасуымен байланысты екендігінде жатыр. Бұл балама үлгілерде Бертран парадоксы бағаны өзіндік құннан жоғары қою арқылы оң пайда табатын аз фирмалардың олигополиясында.
Бастау үшін, екі А және В фирмасы біртекті өнімді сатады деп болжаған жөн, олардың әрқайсысында өндіруге және таратуға бірдей шығындар бар. Бұдан шығатыны, сатып алушылар тауарды тек бағасына қарай таңдайды. Бұл сұраныстың шексіз баға икемділігін білдіреді. А да, В да басқаларға қарағанда жоғары баға белгілемейді, өйткені бұл бүкіл Бертран парадоксының күйреуіне әкеледі. Нарық қатысушыларының бірі өз бәсекелесіне көнеді. Егер олар бірдей бағаны белгілесе, компаниялар пайданы бөліседі.
Екінші жағынан, кез келген фирма бағасын сәл де болса төмендетсе, ол бүкіл нарықты алады және айтарлықтай жоғары табыс алады. А және В мұны білетіндіктен, өнім нөлдік экономикалық пайдаға сатылмайынша, олардың әрқайсысы бәсекелесті төмендетуге тырысады.
Жақында жүргізілген жұмыстар Бертранның аралас стратегия парадоксында монополиялық сома шексіз болған жағдайда оң экономикалық пайдамен қосымша тепе-теңдік болуы мүмкін екенін көрсетті. Түпкілікті пайда жағдайында, аралас тепе-теңдікте, тіпті жалпы жағдайда да баға бәсекелестігі жағдайында оң өсу мүмкін емес екені көрсетілді.байланысты жүйелер.
Шын мәнінде, Бертранның экономикадағы парадоксы тәжірибеде сирек кездеседі, өйткені нақты өнімдер әрқашан дерлік бағадан басқа қандай да бір жолмен сараланады (мысалы, жапсырма үшін артық төлеу). Фирмалардың өндіру және тарату мүмкіндіктерінде шектеулер бар. Сондықтан екі компанияның шығындары сирек бірдей болады.
Бертранның нәтижесі парадоксалды, өйткені фирмалар саны біреуден екіге көбейсе, баға монополиядан бәсекеге қабілеттіге дейін төмендейді және одан кейін өсетін фирмалар санымен бірдей деңгейде қалады. Бұл өте шынайы емес, өйткені шын мәнінде нарықтық күші бар фирмалары аз нарықтар шекті құннан жоғары бағаларды белгілейді. Эмпирикалық талдау екі бәсекелестері бар салалардың көпшілігі оң пайда әкелетінін көрсетеді.
Қазіргі әлемде ғалымдар бәсекелестіктің Курно моделіне сәйкес келетін парадокстың шешімін табуға тырысуда. Нарықтағы екі фирма мінсіз бәсекелестік пен монополиялық деңгейлер арасында оң пайда тауып жатқанда.
Бертран парадоксының экономикаға тікелей қатысы жоқ кейбір себептері:
- Сыйымдылық шектеулері. Кейде фирмалардың барлық сұранысты қанағаттандыруға жеткілікті мүмкіндіктері болмайды. Бұл мәселені алғаш рет Фрэнсис Эджворт көтерді және Бертран-Эджуорт үлгісінің пайда болуына себеп болды.
- Бүтін бағалар. MC-ден жоғары бағалар алынып тасталды, өйткені бір фирма басқасын кездейсоқ төмендете алады.аз сома. Егер баға дискретті болса (мысалы, олар бүтін мәндерді қабылдауы керек), онда бір фирма екіншісін кем дегенде бір рубльге төмендетуі керек. Бұл ұсақ валютаның құны МК-дан жоғары екенін білдіреді. Егер басқа фирма оған жоғары баға белгілесе, басқа фирма оны төмендетіп, бүкіл нарықты жаулап ала алады, Бертранның парадоксы дәл осыдан тұрады. Бұл оған ешқандай пайда әкелмейді. Бұл бизнес сатуды 50/50 басқа фирмамен бөлісуді және таза оң табыс алуды қалайды.
- Өнімді саралау. Әртүрлі фирмалардың өнімдері бір-бірінен ерекшеленетін болса, тұтынушылар бағасы төмен өнімдерге толығымен ауыса алмайды.
- Динамикалық бәсеке. Қайталанатын өзара әрекеттесу немесе қайталанатын баға бәсекелестігі құн тепе-теңдігіне әкелуі мүмкін.
- Қосымша сомаға көбірек заттар. Бұл қайталанатын өзара әрекеттесуден туындайды. Егер бір компания бағасын сәл жоғарырақ белгілесе, ол әлі де сатып алулардың шамамен бірдей санын алады, бірақ бір тауарға көбірек пайда әкеледі. Демек, басқа компания өзінің белгілеуін арттырады және т.б. (Қайталауларда ғана, әйтпесе динамика басқа бағытта жүреді).
Олигополия
Егер екі компания баға бойынша келісе алатын болса, келісімді сақтау олардың ұзақ мерзімді мүдделеріне сай болады: құнның төмендеуінен түсетін кіріс келісімді орындаудан түскен кірістен екі есе аз және басқа фирма өзінің бағасын қысқартқанша ғана сақталады. меншікті бағалар.
Теорияықтималдықтар (басқа математика сияқты) шын мәнінде жақында жасалған өнертабыс. Ал даму бірқалыпты болған жоқ. Ықтималдылық есебін ресімдеудің алғашқы әрекеттерін Маркиз де Лаплас жасады, ол тұжырымдаманы нәтижеге әкелетін оқиғалар санының қатынасы ретінде анықтауды ұсынды.
Бұл, әрине, барлық ықтимал оқиғалардың саны шектеулі болған жағдайда ғана мағынасы бар. Сонымен қатар, барлық оқиғалардың ықтималдығы бірдей.
Осылайша, сол кезде бұл ұғымдардың берік негізі жоқ болып көрінді. Оқиғалардың шексіз саны жағдайына анықтаманы кеңейту әрекеттері бұдан да үлкен қиындықтарға әкелді. Бертран парадоксы – математиктерді ықтималдық ұғымына сақтықпен қарауға мәжбүр еткен осындай жаңалықтардың бірі.
