Көпмүшелік, немесе көпмүшелік – мектепте және жоғары математикада кездесетін негізгі алгебралық құрылымдардың бірі. Көпмүшені зерттеу алгебра курсының ең маңызды тақырыбы болып табылады, өйткені, бір жағынан, көпмүшелер функцияның басқа түрлерімен салыстырғанда өте қарапайым, ал екінші жағынан, олар математикалық талдау есептерін шешуде кеңінен қолданылады.. Сонымен көпмүше дегеніміз не?
Анықтама
Көпмүше терминінің анықтамасы моном немесе моном ұғымы арқылы берілуі мүмкін.
Мономия cx1i1x2 пішінінің өрнегі болып табылады i2 …x in. Мұнда с - тұрақты, x1, x2, … x - айнымалылар, i1, i2, … ішінде - айнымалылардың көрсеткіші. Онда көпмүше дегеніміз мономүшелердің кез келген ақырлы қосындысы.
Көпмүше деген не екенін түсіну үшін нақты мысалдарды қарауға болады.
8-сыныптың математика курсында егжей-тегжейлі қарастырылған шаршы үшмүше көпмүше болып табылады: ax2+bx+c.
Екі айнымалысы бар көпмүше келесідей болуы мүмкін: x2-xy+y2. Мұндайкөпмүшені x пен у айырмасының толық емес квадраты деп те атайды.
Көпмүшелік классификациялар
Көпмүшелік дәреже
Көпмүшедегі әрбір моном үшін i1+i2+…+in дәрежелерінің қосындысын табыңыз. Қосындылардың ең үлкені көпмүшенің көрсеткіші, ал осы қосындыға сәйкес келетін мономүшесі ең жоғарғы мүшесі деп аталады.
Айтпақшы, кез келген тұрақтыны нөлдік дәрежелі көпмүше деп санауға болады.
Кішірейтілген және азайтылмаған көпмүшелер
Егер c коэффициенті ең жоғарғы мүше үшін 1-ге тең болса, онда көпмүше беріледі, әйтпесе олай емес.
Мысалы, x2+2x+1 өрнегі қысқартылған көпмүше және 2x2+2x+1 азайтылмаған.
Біртекті және біртекті емес көпмүшелер
Егер көпмүшенің барлық мүшелерінің дәрежелері тең болса, онда мұндай көпмүшені біртекті деп айтамыз. Барлық басқа көпмүшелер біртекті емес болып саналады.
Біртекті көпмүшелер: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Гетерогенді: x+1, x2+y.
Екі және үш мүшесі бар көпмүшенің арнайы атаулары бар: сәйкесінше бином және үшмүше.
Бір айнымалының көпмүшеліктері бөлек санатқа бөлінген.
Бір айнымалы көпмүшені қолдану
Бір айнымалы көпмүшеліктер бір аргументтен күрделілігі әртүрлі ұңғыманың үздіксіз функцияларын жуықтайды.
Мағынасы мынада, мұндай көпмүшеліктерді дәрежелік қатардың жартылай қосындылары ретінде қарастыруға болады, ал үзіліссіз функцияны ерікті түрде аз қатесі бар қатар ретінде көрсетуге болады. Функцияның кеңею қатарлары Тейлор қатарлары деп аталады және олардыңкөпмүшелік түріндегі жеке қосындылар - Тейлор полиномдары.
Функцияның әрекетін графикалық түрде оны кейбір көпмүшемен жақындату арқылы зерттеу бір функцияны тікелей зерттеуден немесе қатарды пайдаланудан оңайырақ.
Көпмүшелердің туындыларын іздеу оңай. 4 және одан төмен дәрежелі көпмүшелердің түбірлерін табу үшін дайын формулалар бар, ал жоғары дәрежелермен жұмыс істеу үшін жоғары дәлдіктегі жуық алгоритмдер қолданылады.
Бірнеше айнымалы функциялар үшін сипатталған көпмүшелердің жалпылауы да бар.
Ньютон биномы
Әйгілі көпмүшеліктер (x + y) өрнектің коэффициенттерін табу үшін ғалымдар шығарған Ньютонның көпмүшеліктері.
Формула тривиальды емес екеніне көз жеткізу үшін биномдық декомпозицияның алғашқы бірнеше дәрежесін қарастыру жеткілікті:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Әр коэффициент үшін оны есептеуге мүмкіндік беретін өрнек бар. Дегенмен, қиын формулаларды есте сақтау және әр уақытта қажетті арифметикалық амалдарды орындау мұндай кеңейтімдерді жиі қажет ететін математиктер үшін өте ыңғайсыз болар еді. Паскаль үшбұрышы олардың өмірін әлдеқайда жеңілдеткен.
Фигура келесі принцип бойынша құрастырылған. Үшбұрыштың жоғарғы жағында 1 жазылады және әрбір келесі жолда ол тағы бір цифрға айналады, шеттеріне 1 қойылады және жолдың ортасы алдыңғы саннан көршілес екі санның қосындысымен толтырылады.
Суретке қараған кезде бәрі анық болады.
Әрине, математикада көпмүшеліктерді қолдану берілген мысалдармен шектелмейді, ең көп белгілі.
