Кеңістікте геометриялық есептерді шығарғанда кездесетін фигуралардың бірі – конус. Ол көп қырлылардан айырмашылығы, айналу фигураларының класына жатады. Мақалада оның геометрияда нені білдіретінін қарастырайық және конустың әртүрлі бөліктерінің сипаттамаларын зерттейік.
Геометриядағы конус
Жазықтықта қисық сызық бар деп есептейік. Ол парабола, шеңбер, эллипс және т.б. Көрсетілген жазықтыққа жатпайтын нүктені алып, қисық сызықтың барлық нүктелерін оған қосыңыз. Алынған бет конус немесе жай конус деп аталады.
Егер бастапқы қисық тұйық болса, онда конустық бетті затпен толтыруға болады. Осылайша алынған фигура үш өлшемді дене болып табылады. Оны конус деп те атайды. Төменде бірнеше қағаз конустары көрсетілген.
Конус тәрізді бет күнделікті өмірде кездеседі. Мысалы, балмұздақ конусы немесе жолақты қозғалыс конусы осындай пішінге ие, ол жүргізушілердің назарын аударуға арналған жәнежаяу жүргіншілер.
Конус түрлері
Сіз болжағандай, қарастырылып отырған сандар бір-бірінен құрылған қисық түрі бойынша ерекшеленеді. Мысалы, дөңгелек конус немесе эллиптикалық конус бар. Бұл қисық фигураның негізі деп аталады. Дегенмен, негіздің пішіні конустарды жіктеуге мүмкіндік беретін жалғыз мүмкіндік емес.
Екінші маңызды сипаттама - биіктіктің негізге қатысты орналасуы. Конустың биіктігі фигураның төбесінен табан жазықтығына түсірілген және осы жазықтыққа перпендикуляр болатын түзу кесінді. Егер биіктік негізді геометриялық центрде (мысалы, шеңбердің ортасында) қиып өтсе, онда конус түзу болады, егер перпендикуляр кесінді табанның кез келген басқа нүктесіне немесе одан тыс жерге түссе, онда фигура қиғаш.
Әрі қарай мақалада қарастырылатын фигуралар класының жарқын өкілі ретінде тек дөңгелек түзу конусты қарастырамыз.
Конус элементтерінің геометриялық атаулары
Жоғарыда конустың негізі бар деп айтылды. Ол конустың бағыттаушы деп аталатын шеңбермен шектелген. Бағыттауышты табан жазықтығында жатпайтын нүктеге қосатын кесінділер генераторлар деп аталады. Генераторлардың барлық нүктелерінің жиыны фигураның конустық немесе бүйір беті деп аталады. Дөңгелек оң жақ конус үшін барлық генераторлардың ұзындығы бірдей.
Генераторлардың қиылысу нүктесі фигураның жоғарғы жағы деп аталады. Көп қырлылардан айырмашылығы, конустың бір төбесі бар және жоқжиегі.
Фигураның төбесі мен шеңбердің ортасы арқылы өтетін түзу ось деп аталады. Ось түзу конустың биіктігін қамтиды, сондықтан ол негіз жазықтығымен тік бұрыш жасайды. Бұл ақпарат конустың осьтік қимасының ауданын есептеу кезінде маңызды.
Дөңгелек түзу конус - айналу фигурасы
Қарастырылып отырған конус үшбұрыштың айналуының нәтижесінде алуға болатын жеткілікті симметриялы фигура. Бізде тік бұрышы бар үшбұрыш бар делік. Конусты алу үшін төмендегі суретте көрсетілгендей үшбұрышты аяқтардың бірінің айналасында айналдыру жеткілікті.
Айналу осі конус осі екенін көруге болады. Аяқтардың бірі фигураның биіктігіне тең болады, ал екінші аяқ негіздің радиусына айналады. Айналу нәтижесіндегі үшбұрыштың гипотенузасы конустық бетті сипаттайды. Ол конустың генераторы болады.
Дөңгелек түзу конусты алудың бұл әдісі фигураның сызықтық параметрлері: биіктігі h, дөңгелек табанының радиусы r және бағыттаушы g арасындағы математикалық байланысты зерттеуге ыңғайлы. Тиісті формула тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттерінен шығады. Ол төменде берілген:
g2=h2+ r2.
Бізде бір теңдеу және үш айнымалы болғандықтан, бұл дөңгелек конустың параметрлерін бірегей түрде орнату үшін кез келген екі шаманы білу керек екенін білдіреді.
Конустың фигураның шыңы жоқ жазықтықтағы қималары
Фигураның бөліктерін салу мәселесі еместривиальды. Конустың беткі бөлігінің пішіні фигура мен секанттың салыстырмалы орналасуына байланысты.
Конусты жазықтықпен қиылысамыз деп есептейік. Бұл геометриялық операцияның нәтижесі қандай болады? Бөлім пішінінің опциялары төмендегі суретте көрсетілген.
Қызғылт бөлік - шеңбер. Ол фигураның конус табанына параллель болатын жазықтықпен қиылысуы нәтижесінде пайда болады. Бұл фигураның осіне перпендикуляр кесінділер. Кесу жазықтығының үстінде жасалған фигура бастапқыға ұқсас конус, бірақ негізінде кішірек шеңбері бар.
Жасыл бөлік эллипс. Ол кесу жазықтығы негізге параллель болмаса, бірақ ол тек конустың бүйір бетін қиып өтсе алынады. Жазықтықтың үстінде қиылған фигураны эллипстік қиғаш конус деп атайды.
Көк және қызғылт сары бөліктер сәйкесінше параболалық және гиперболалық. Суреттен көріп отырғаныңыздай, олар қиюшы жазықтық бір уақытта бүйір беті мен фигураның негізін қиып өтсе алынады.
Конустың қарастырылған қималарының аудандарын анықтау үшін жазықтықтағы сәйкес фигураның формулаларын қолдану қажет. Мысалы, шеңбер үшін бұл Pi санының радиустың квадратына көбейтіндісі, ал эллипс үшін бұл Pi және кіші және үлкен жарты осьтердің ұзындығының көбейтіндісі:
шеңбер: S=pir2;
эллипс: S=piab.
Конустың үстіңгі бөлігін қамтитын бөлімдер
Енді кесу жазықтығы болса, пайда болатын бөліктерге арналған опцияларды қарастырыңызконустың жоғарғы жағынан өтеді. Үш жағдай болуы мүмкін:
- Бөлім бір нүктеден тұрады. Мысалы, төбесінен өтетін және табанға параллель жазықтық дәл осындай кесінді береді.
- Бөлім түзу сызық. Бұл жағдай жазықтық конустық бетке жанама болған кезде орын алады. Бұл жағдайда қиманың түзу сызығы конустың генератрисі болады.
- Осьтік бөлім. Ол жазықтықта фигураның жоғарғы жағы ғана емес, сонымен қатар оның бүкіл осі болған кезде қалыптасады. Бұл жағдайда жазықтық дөңгелек негізге перпендикуляр болады және конусты екі тең бөлікке бөледі.
Бөлімдердің алғашқы екі түрінің аудандары нөлге тең екені анық. 3-ші түрге арналған конустың көлденең қимасының ауданына келетін болсақ, бұл мәселе келесі абзацта толығырақ қарастырылады.
Осьтік бөлім
Конустың осьтік қимасы конусты өз осінен өтетін жазықтықпен қиып өткенде пайда болатын фигура екені жоғарыда атап өтілді. Бұл бөлім төмендегі суретте көрсетілген фигураны көрсететінін болжау оңай.
Бұл тең қабырғалы үшбұрыш. Конустың осьтік қимасының төбесі - бірдей қабырғалардың қиылысуынан пайда болған осы үшбұрыштың шыңы. Соңғылары конустың генератрицасының ұзындығына тең. Үшбұрыштың табаны конус табанының диаметрі.
Конустың осьтік қимасының ауданын есептеу нәтижесінде алынған үшбұрыштың ауданын табуға азайтылады. Егер бастапқыда r табанының радиусы және конустың биіктігі h белгілі болса, онда қарастырылатын қиманың S ауданы болады:
S=hr.
Бұлөрнек үшбұрыш ауданы үшін стандартты формуланы қолданудың салдары болып табылады (биіктіктің жарты көбейтіндісінің негізді көбейтіндісі).
Егер конустың генератрисы оның дөңгелек табанының диаметріне тең болса, онда конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш болатынын ескеріңіз.
Кесу жазықтығы конустың табанына перпендикуляр және оның осінен өткенде үшбұрышты қима пайда болады. Аталған жазықтыққа параллель болатын кез келген басқа жазықтық қимада гиперболаны береді. Алайда, егер жазықтықта конустың шыңы болса және оның табанын диаметрі арқылы емес қиып өтсе, онда алынған қима да тең қабырғалы үшбұрыш болады.
Конустың сызықтық параметрлерін анықтау мәселесі
Геометриялық есепті шешу үшін осьтік қиманың ауданы үшін жазылған формуланы қалай пайдалану керектігін көрсетейік.
Конустың осьтік қимасының ауданы 100 см2 екені белгілі. Алынған үшбұрыш тең қабырғалы. Конустың биіктігі мен табанының радиусы неге тең?
Үшбұрыш тең қабырғалы болғандықтан, оның биіктігі h a қабырғасының ұзындығына келесідей байланысты:
сағ=√3/2a.
Үшбұрыштың қабырғасы конус табанының радиусынан екі есе үлкен екенін ескере отырып және осы өрнекті көлденең қима ауданы формуласына ауыстырсақ, мынаны аламыз:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Онда конустың биіктігі:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Мәселенің жағдайынан аудан мәнін ауыстыру қаладыжәне жауапты алыңыз:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 см;
сағ=√(√3100) ≈ 13, 16 см.
Қандай салаларда қарастырылатын бөлімдердің параметрлерін білу маңызды?
Конус қималарының әртүрлі түрлерін зерттеу тек теориялық қызығушылықты ғана емес, сонымен қатар практикалық қолдануды да қамтиды.
Біріншіден, конустық қималардың көмегімен қатты денелердің идеалды тегіс пішіндерін жасауға болатын аэродинамика аймағын атап өту керек.
Екіншіден, конустық қималар ғарыштық объектілер гравитациялық өрісте қозғалатын траекториялар болып табылады. Бөлімнің қандай нақты түрі жүйенің ғарыштық денелерінің қозғалыс траекториясын бейнелейді, олардың массаларының, абсолютті жылдамдықтарының және олардың арасындағы қашықтықтардың қатынасымен анықталады.
