Жиындар мысалындағы қарым-қатынастардың кең ауқымы олардың анықтамаларынан басталып, парадокстардың аналитикалық талдауымен аяқталатын көптеген ұғымдармен бірге жүреді. Жиынтық туралы мақалада талқыланған тұжырымдаманың әртүрлілігі шексіз. Дегенмен, қос типтер туралы айтқанда, бұл бірнеше мәндер арасындағы екілік қатынастарды білдіреді. Сондай-ақ нысандар немесе мәлімдемелер арасында.
Ереже бойынша екілік қатынастар R символымен белгіленеді, яғни R өрісінен кез келген x мәні үшін xRx болса, мұндай қасиет рефлексивті деп аталады, онда х пен х ойдың қабылданған объектілері болып табылады, және R жеке адамдар арасындағы қарым-қатынастың немесе басқа нысанның белгісі ретінде қызмет етеді. Сонымен қатар, егер сіз xRy® немесе yRx өрнектесеңіз, онда бұл симметрия күйін көрсетеді, мұндағы ® - «егер … онда …» одағының ұқсас импликация белгісі. Және, ең соңында, декодтау жазуы (xRy Ùy Rz) ®xRz өтпелі қатынас туралы айтады, ал Ù таңбасы жалғау болып табылады.
Рефлексивті, симметриялы және өтпелі екілік қатынас эквиваленттік қатынас деп аталады. f қатынасы функция болып табылады, ал y=z теңдігі Î f және Î f теңдігінен шығады. Қарапайым екілік функцияны оңай қолдануға боладыбелгілі бір ретпен екі қарапайым аргументке және осы жағдайда ғана ол белгілі бір жағдайда алынған осы екі өрнекке бағытталған мағына береді.
Айту керек, f x пен y картасын жасайды,
егер f функциясы x және y ауқымы бар функция болса. Дегенмен, f x-ті y-ге және y Í z-ге экстраполяциялағанда, бұл f-ның z-де x-ті көрсетуіне әкеледі. Қарапайым мысал: егер f(x)=2x кез келген х бүтін саны үшін ақиқат болса, онда f барлық белгілі бүтін сандардың таңбалы жиынын бірдей бүтін, бірақ бұл жолы жұп сандар жиынына салыстыру үшін айтылады. Жоғарыда айтылғандай, рефлексивті, симметриялы және транзиттік екілік қатынастар эквиваленттік қатынастар болып табылады.
Жоғарыда айтылғандардың негізінде екілік қатынастардың эквиваленттік қатынастары қасиеттермен анықталады:
- рефлексия - қатынас (M ~ N);
- симметриялар - егер теңдік M ~ N болса, онда N ~ M болады;
- өтпелілік - егер екі теңдік M ~ N және N ~ P болса, нәтижесінде M ~ P.
Екілік қатынастардың жарияланған қасиеттерін толығырақ қарастырайық. Рефлексивтілік - зерттелетін жиынның әрбір элементі өзіне берілген теңдікте болатын белгілі бір байланыстардың сипаттамаларының бірі. Мысалы, a=c және a³ c сандары арасында рефлексиялық байланыстар бар, өйткені әрқашан a=a, c=c, a³ a, c³ c. Сонымен бірге a>a теңсіздігінің болуы мүмкін емес болғандықтан, a>c теңсіздігінің қатынасы антирефлексиялық болып табылады. Бұл қасиеттің аксиомасы белгілермен кодталады: aRc®aRa Ù cRc, мұндағы ® таңбасы «қатысады» (немесе «қосылады») сөзін білдіреді, ал Ù белгісі «және» (немесе конъюнктура) бірігуі болып табылады. Бұл тұжырымнан шығатыны, егер aRc пайымдауы ақиқат болса, aRa және cRc өрнектері де ақиқат.
Симметрия психикалық объектілер алмасатын болса да қатынастың болуын талап етеді, яғни симметриялы қатынас кезінде объектілерді қайта орналастыру «екілік қатынастар» түрінің түрленуіне әкелмейді. Мысалы, a=c теңдік қатынасы c=a қатынасының эквиваленттілігінен симметриялы болады; a¹c ұсынысы да бірдей, өйткені ол¹a байланысына сәйкес келеді.
Өтпелі жиын – бұл келесі талапты қанағаттандыратын қасиет: y н x, z н y ® z н x, мұндағы ® – «егер …, онда …» сөздерін алмастыратын белгі. Формула ауызша түрде былай оқылады: "Егер y х-ке тәуелді болса, z у-ға тиесілі болса, онда z да х-ке тәуелді болады".
