Ғарыштағы ұшақ. Ұшақтардың ғарышта орналасуы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Жазықтық – қасиеттері нүктелер мен түзулердің проекцияларын салу кезінде, сондай-ақ үш өлшемді фигуралардың элементтері арасындағы қашықтық пен екібұрышты бұрыштарды есептеу кезінде қолданылатын геометриялық нысан. Бұл мақалада жазықтықтардың кеңістіктегі орнын зерттеу үшін қандай теңдеулерді қолдануға болатынын қарастырайық.

Ұшықтық анықтамасы

Әркім қандай нысанның талқыланатынын интуитивті түрде елестетеді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, жазықтық - нүктелер жиынтығы, олардың арасындағы кез келген векторлары бір векторға перпендикуляр болуы керек. Мысалы, кеңістікте m әртүрлі нүкте болса, онда олардан нүктелерді жұппен қоса отырып, m(m-1) / 2 түрлі вектор жасауға болады. Егер барлық векторлар бір бағытқа перпендикуляр болса, онда бұл барлық m нүктелерінің бір жазықтыққа жататынының жеткілікті шарты.

Жалпы теңдеу

Кеңістіктік геометрияда жазықтық әдетте x, y және z осьтеріне сәйкес үш белгісіз координатаны қамтитын теңдеулер арқылы сипатталады. Кімгекеңістіктегі жазық координаталардағы жалпы теңдеуді алыңыз, n¯(A; B; C) векторы және M(x₀; y_{0 бар делік.}; z_{0). Осы екі нысанды пайдаланып, жазықтықты бірегей түрде анықтауға болады.}

Шынында, координаталары белгісіз екінші P(x; y; z) нүктесі бар делік. Жоғарыда келтірілген анықтамаға сәйкес, MP¯ векторы n¯-ге перпендикуляр болуы керек, яғни олар үшін скаляр көбейтіндісі нөлге тең. Содан кейін келесі өрнекті жаза аламыз:

(n¯MP¯)=0 немесе

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Жақшаларды ашып, жаңа D коэффициентін енгізсек, өрнекті аламыз:

Ax + By + Cz + D=0 мұнда D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Бұл өрнек жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. x, y және z алдындағы коэффициенттер жазықтыққа перпендикуляр n¯(A; B; C) векторының координаталарын құрайтынын есте ұстаған жөн. Бұл қалыпты жағдайға сәйкес келеді және ұшақ үшін нұсқаулық болып табылады. Жалпы теңдеуді анықтау үшін бұл вектордың қайда бағытталғаны маңызды емес. Яғни, n¯ және -n¯ векторларына салынған жазықтықтар бірдей болады.

Жоғарыдағы суретте жазықтық, оған нормаль вектор және жазықтыққа перпендикуляр түзу көрсетілген.

Осьтердегі жазықтықпен кесілген сегменттер және сәйкес теңдеу

Жалпы теңдеу анықтау үшін қарапайым математикалық амалдарды қолдануға мүмкіндік бередіжазықтық координаталық осьтерді қандай нүктелерде қиып өтеді. Бұл ақпаратты ұшақтың кеңістігіндегі орны туралы, сондай-ақ оны сызбаларда бейнелеген кездегі түсінікке ие болу үшін білу маңызды.

Аталған қиылысу нүктелерін анықтау үшін сегменттердегі теңдеу пайдаланылады. Ол (0; 0; 0) нүктесінен санау кезінде координаталар осьтеріндегі жазықтықпен кесілген кесінділердің ұзындықтарының мәндерін анық көрсететіндіктен осылай аталады. Мына теңдеуді алайық.

Жазықтықтың жалпы өрнегін келесідей жазыңыз:

Ax + By + Cz=-D

Сол және оң бөліктерді теңдік бұзылмай -D арқылы бөлуге болады. Бізде:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 немесе

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Әр терминнің бөлгіштерін жаңа таңбамен құрастырыңыз, біз мынаны аламыз:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C содан кейін

x/p + y/q + z/r=1

Бұл жоғарыда сегменттерде айтылған теңдеу. Бұдан шығатыны, әрбір мүшенің бөлгішінің мәні жазықтықтың сәйкес осімен қиылысу координатасын көрсетеді. Мысалы, ол у осін (0; q; 0) нүктесінде қиып өтеді. Теңдеудегі нөлдік x және z координаталарын ауыстырсаңыз, мұны түсіну оңай.

Кесінділердегі теңдеуде айнымалы болмаса, бұл жазықтық сәйкес осьпен қиылыспайтынын ескеріңіз. Мысалы, өрнек берілген:

x/p + y/q=1

Бұл жазықтық сәйкесінше x және y осьтеріндегі p және q кесінділерін кесетінін білдіреді, бірақ ол z осіне параллель болады.

Ұшақтың әрекеті туралы қорытынды қашаноның теңдеуінде кейбір айнымалының болмауы төмендегі суретте көрсетілгендей жалпы түрдегі өрнек үшін де дұрыс.

Векторлық параметрлік теңдеу

Кеңістіктегі жазықтықты сипаттауға мүмкіндік беретін теңдеудің үшінші түрі бар. Оны параметрлік вектор деп атайды, өйткені ол жазықтықта жатқан екі вектор және еркін тәуелсіз мән қабылдай алатын екі параметр арқылы беріледі. Бұл теңдеуді қалай алуға болатынын көрсетейік.

Бірнеше белгілі векторлар бар делік u ¯(a₁; b₁; c₁) және v¯(a₂; b₂; c₂). Егер олар параллель болмаса, онда олар осы векторлардың біреуінің басын белгілі M нүктесінде бекіту арқылы белгілі бір жазықтықты орнату үшін пайдаланылуы мүмкін(x₀; y₀; z_{0). Егер MP¯ ерікті векторын u¯ және v¯ сызықтық векторларының комбинациясы ретінде көрсетуге болатын болса, бұл P(x; y; z) нүктесінің u¯, v¯ сияқты бір жазықтыққа жататынын білдіреді. Осылайша, теңдікті жаза аламыз:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Немесе бұл теңдікті координаталар арқылы жазсақ, мынаны аламыз:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Ұсынылған теңдік жазықтық үшін параметрлік векторлық теңдеу болып табылады. ATu¯ және v¯ жазықтығындағы векторлық кеңістік генераторлар деп аталады.

Содан кейін есепті шешкен кезде бұл теңдеуді жазықтық үшін жалпы түрге қалай келтіруге болатыны көрсетіледі.

Кеңістіктегі жазықтықтар арасындағы бұрыш

Интуитивті түрде 3D кеңістігіндегі жазықтықтар қиылысуы немесе қиылыспауы мүмкін. Бірінші жағдайда олардың арасындағы бұрышты табу қызығушылық тудырады. Бұл бұрышты есептеу сызықтар арасындағы бұрышқа қарағанда қиынырақ, өйткені біз екі қырлы геометриялық объект туралы айтып отырмыз. Дегенмен, ұшақтың бұрын айтылған бағыттаушы векторы көмекке келеді.

Қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы екібұрышты бұрыш олардың бағыттаушы векторлары арасындағы бұрышқа тура тең екені геометриялық түрде анықталған. Бұл векторларды n₁¯(a₁; b₁; c_{1 деп белгілейік.) және n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Олардың арасындағы бұрыштың косинусы скаляр көбейтіндісі арқылы анықталады. Яғни, жазықтықтар арасындағы кеңістіктегі бұрыштың өзін мына формула бойынша есептеуге болады:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Бұл жерде бөлгіштегі модуль доғал бұрыштың мәнін алып тастау үшін қолданылады (қиылысатын жазықтықтар арасында ол әрқашан 90o-ден аз немесе оған тең).

Координат түрінде бұл өрнекті келесідей қайта жазуға болады:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b _№2 +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Перпендикуляр және параллель жазықтықтар

Егер жазықтықтар қиылыса және олардан пайда болған екібұрышты бұрыш 90o болса, онда олар перпендикуляр болады. Мұндай жазықтықтардың мысалы ретінде тікбұрышты призманы немесе кубты келтіруге болады. Бұл сандар алты жазықтықтан тұрады. Аталған фигуралардың әрбір шыңында бір-біріне перпендикуляр үш жазықтық бар.

Қарастырылған жазықтықтардың перпендикуляр екенін білу үшін олардың нормаль векторларының скаляр көбейтіндісін есептеу жеткілікті. Жазықтықтар кеңістігіндегі перпендикулярлық үшін жеткілікті шарт осы туындының нөлдік мәні болып табылады.

Параллельдер қиылыспайтын жазықтықтар деп аталады. Кейде параллель жазықтықтар шексіздікте қиылысады деп те айтылады. Жазықтықтар кеңістігіндегі параллелизм шарты n₁¯ және n_{2¯ бағыт векторларының сол шартымен сәйкес келеді. Оны екі жолмен тексеруге болады:}

Скалярлық көбейтіндіні пайдаланып екі қырлы бұрыштың косинусын (cos(φ)) есептеңіз. Егер жазықтықтар параллель болса, онда мән 1 болады.

Кейбір санға көбейту арқылы бір векторды екіншісі арқылы көрсетуге тырысыңыз, яғни n₁¯=kn_{2¯. Егер мұны істеу мүмкін болса, онда сәйкес ұшақтарпараллель.}

Суретте екі параллель жазықтық көрсетілген.

Енді алынған математикалық білімді пайдалана отырып, екі қызықты есепті шешуге мысалдар келтірейік.

Векторлық теңдеуден жалпы пішінді қалай алуға болады?

Бұл жазықтыққа арналған параметрлік векторлық өрнек. Амалдардың ағымын және қолданылатын математикалық амалдарды түсінуді жеңілдету үшін нақты мысалды қарастырыңыз:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Осы өрнекті жайыңыз және белгісіз параметрлерді көрсетіңіз:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Сосын:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Соңғы өрнектегі жақшаларды ашсақ:

z=2x-2 + 3y - 6 немесе

2x + 3y - z - 8=0

Векторлық түрдегі есеп нұсқаулығында көрсетілген жазықтық үшін теңдеудің жалпы түрін алдық

Ұшақты үш нүкте арқылы қалай салуға болады?

Егер бұл нүктелер қандай да бір жалғыз түзуге жатпаса, үш нүкте арқылы бір жазықтықты жүргізуге болады. Бұл мәселені шешу алгоритмі келесі әрекеттер тізбегінен тұрады: