Тіпті мектепте барлық оқушылар «Евклид геометриясы» ұғымымен танысады, оның негізгі ережелері нүкте, жазықтық, түзу, қозғалыс сияқты геометриялық элементтерге негізделген бірнеше аксиомаларға бағытталған. Олардың барлығы "евклидтік кеңістік" терминімен бұрыннан белгілі нәрсені құрайды.
Анықтамасы векторларды скалярлық көбейту тұжырымдамасына негізделген евклидтік кеңістік бірқатар талаптарды қанағаттандыратын сызықтық (аффинді) кеңістіктің ерекше жағдайы болып табылады. Біріншіден, векторлардың скаляр көбейтіндісі абсолютті симметриялы, яғни координаталары (x;y) векторы координаталары (y;x) векторымен сандық жағынан бірдей, бірақ бағыты бойынша қарама-қарсы.
Екіншіден, егер вектордың өзімен скаляр көбейтіндісі орындалса, онда бұл әрекеттің нәтижесі оң болады. Бұл вектордың бастапқы және соңғы координаталары нөлге тең болған жағдайда ғана ерекшелік болады: бұл жағдайда оның өзімен бірге көбейтіндісі де нөлге тең болады.
Үшіншіден, скаляр көбейтіндісі дистрибутивтік болып табылады, яғни оның координаталарының бірін екі мәннің қосындысына ыдыратуға болады, бұл векторлардың скалярлық көбейтіндісінің соңғы нәтижесіне ешқандай өзгеріс әкелмейді. Соңында, төртіншіден, векторларды бірдей нақты санға көбейткенде, олардың скаляр көбейтіндісі де сол коэффициентке артады.
Егер осы төрт шарт орындалса, бізде Евклид кеңістігі бар деп сенімді түрде айта аламыз.
Евклидтік кеңістікті практикалық тұрғыдан келесі нақты мысалдармен сипаттауға болады:
- Ең қарапайым жағдай – геометрияның негізгі заңдарына сәйкес анықталған скаляр көбейтіндісі бар векторлар жиынының болуы.
- Евклидтік кеңістік, егер векторлар деп олардың скалярлық қосындысын немесе көбейтіндісін сипаттайтын берілген формуласы бар нақты сандардың белгілі бір ақырлы жиынын білдіретін болсақ, ол да алынады.
- Евклидтік кеңістіктің ерекше жағдайы екі вектордың скаляр ұзындығы нөлге тең болған жағдайда алынатын нөлдік кеңістік деп аталады.
Евклидтік кеңістікте бірқатар ерекше қасиеттер бар. Біріншіден, скалярлық көбейтіндіні жақшадан скаляр көбейтіндінің бірінші және екінші көбейткіштерінен де алуға болады, одан алынған нәтиже ешбір жолмен өзгермейді. Екіншіден, скалярдың бірінші элементінің үлестірімділігімен қатарөнім, екінші элементтің үлестіргіштігі де әрекет етеді. Сонымен қатар, векторлардың скаляр қосындысынан басқа, векторды алып тастау жағдайында үлестіргіштік те орын алады. Соңында, үшіншіден, векторды скаляр нөлге көбейткенде, нәтиже де нөлге тең болады.
Осылайша, евклидтік кеңістік векторлардың бір-біріне қатысты өзара орналасуы есептерін шешуде қолданылатын ең маңызды геометриялық ұғым болып табылады, ол скаляр көбейтіндісі сияқты ұғыммен сипатталады.
