Полихедра геометрияда көрнекті орын алып қана қоймай, әр адамның күнделікті өмірінде кездеседі. Сіріңке қорабынан басталып, архитектуралық элементтермен аяқталатын, текше (тұз), призма (кристал), пирамида (шеелит), октаэдр (гауһар) түріндегі кристалдар, әртүрлі көпбұрыштар түріндегі жасанды түрде жасалған тұрмыстық бұйымдарды айтпағанның өзінде. т.б. e.
Көпбұрыш туралы түсінік, геометриядағы көп қырлы түрлері
Геометрия ғылым ретінде үш өлшемді фигуралардың сипаттамалары мен қасиеттерін зерттейтін стереометрия бөлімін қамтиды. Үш өлшемді кеңістікте қабырғалары шектелген жазықтықтармен (беттерімен) түзілетін геометриялық денелерді «көп қырлы» деп атайды. Көп қырлылардың түрлеріне беттердің саны мен пішіні бойынша ерекшеленетін оннан астам өкілдері кіреді.
Алайда барлық көп қырлылардың ортақ қасиеттері бар:
- Олардың барлығында 3 маңызды компонент бар: бет(көпбұрыштың беті), шыңы (беттердің түйіскен жерінде пайда болған бұрыштар), жиек (фигураның жағы немесе екі беттің түйіскен жерінде пайда болған сегмент).
- Әр көпбұрыш жиегі бір-біріне іргелес жатқан екі және тек екі бетті қосады.
- Дөңес дегеніміз дененің бір беті жатқан жазықтықтың бір жағында ғана толық орналасқанын білдіреді. Ереже көпбұрыштың барлық беттеріне қолданылады. Стереометриядағы мұндай геометриялық фигуралар дөңес көп қырлы деп аталады. Ерекшелік - тұрақты көп қырлы геометриялық қатты денелердің туындылары болып табылатын жұлдыз тәрізді көп қырлылар.
Көп қырлыларды шартты түрде бөлуге болады:
- Келесі кластардан тұратын дөңес көп қырлылардың түрлері: кәдімгі немесе классикалық (призма, пирамида, параллелепипед), тұрақты (платондық қатты денелер деп те аталады), жартылай регулярлы (екінші атауы - Архимед қатты денелері).
- Дөңес емес көп қырлы (жұлдыз тәрізді).
Призма және оның қасиеттері
Стереометрия геометрия саласы ретінде үш өлшемді фигуралардың қасиеттерін, көп қырлылардың түрлерін (олардың бірі призма) зерттейді. Призма - міндетті түрде параллель жазықтықта жатқан екі абсолютті бірдей беті (оларды табандар деп те аталады) және параллелограмм түріндегі бүйір беттерінің n-ші саны болатын геометриялық дене. Өз кезегінде, призманың бірнеше сорттары бар, соның ішінде көп қырлы түрлері бар:
- Параллелепипед - негізі параллелограмм болса құрылады -2 жұп қарама-қарсы бұрыштары және конгруентті қарама-қарсы қабырғалары 2 жұп көпбұрыш.
- Түзу призманың шеттері табанына перпендикуляр болады.
- Еңкейтілген призма беттер мен негіз арасында тік емес бұрыштардың (90-нан басқа) болуымен сипатталады.
- Дұрыс призма бүйір беттері бірдей дұрыс көпбұрыш түріндегі табандарымен сипатталады.
Призманың негізгі қасиеттері:
- Конгруентті негіздер.
- Призманың барлық шеттері тең және бір-біріне параллель.
- Барлық бүйір беттері параллелограмм тәрізді.
Пирамида
Пирамида – геометриялық дене, ол бір негізден және үшбұрышты беттердің n-ші санынан тұрады, бір нүктеде – жоғарғы жағында жалғанған. Айта кету керек, егер пирамиданың бүйір беттері міндетті түрде үшбұрыштармен бейнеленсе, онда негіз не үшбұрышты көпбұрыш, не төртбұрыш, не бесбұрыш және т.б. ad infinitum болуы мүмкін. Бұл жағдайда пирамиданың атауы негізіндегі көпбұрышқа сәйкес болады. Мысалы, егер үшбұрыш пирамиданың табанында жатса, ол үшбұрышты пирамида, төртбұрыш төртбұрыш, т.б.
Пирамидалар конус тәрізді көп қырлы. Осы топтың көп қырлы түрлеріне жоғарыда аталғандардан басқа келесі өкілдер де кіреді:
- Дұрыс пирамиданың табанында дұрыс көпбұрыш болады және оның биіктігі центрге проекцияланады.негізге сызылған немесе оның айналасына сызылған шеңбер.
- Тік бұрышты пирамида бүйірлік жиектердің бірі негізбен тік бұрышпен қиылысқан кезде пайда болады. Бұл жағдайда бұл жиекті пирамида биіктігі деп атаған дұрыс.
Пирамида қасиеттері:
- Егер пирамиданың барлық бүйір жиектері конгруентті болса (бір биіктікте), онда олардың барлығы табанмен бір бұрышта қиылысады, ал табанның айналасында центрі проекциясымен сәйкес келетін шеңбер салуға болады. пирамиданың жоғарғы жағы.
- Егер пирамиданың табаны дұрыс көпбұрыш болса, онда барлық бүйір жиектері сәйкес, ал беттері тең қабырғалы үшбұрыштар болады.
Тұрақты көпбұрыш: көп қырлылардың түрлері мен қасиеттері
Стереометрияда беттері абсолютті бірдей геометриялық денелер ерекше орын алады, олардың төбесінде шеттерінің саны бірдей. Бұл қатты денелер платондық қатты денелер немесе қалыпты көп қырлы деп аталады. Осындай қасиеттері бар көп қырлы түрлерінің тек бес пішіні бар:
- Тетраэдр.
- Алты қырлы.
- Октаэдр.
- Додекаэдр.
- Икосаэдр.
Тұрақты көп қырлылар өз атауын ежелгі грек философы Платонға байланысты, ол өз жазбаларында осы геометриялық денелерді сипаттап, оларды табиғи элементтермен: жер, су, от, ауамен байланыстырды. Бесінші фигура ғаламның құрылымымен ұқсастығымен марапатталды. Оның пікірінше, табиғи элементтердің атомдары пішіні бойынша дұрыс көп қырлылардың түрлеріне ұқсайды. Ең қызықты қасиетінің арқасында -симметрия, бұл геометриялық денелер ежелгі математиктер мен философтарды ғана емес, сонымен қатар барлық уақыттағы сәулетшілерді, суретшілерді және мүсіншілерді де қатты қызықтырды. Абсолютті симметриялы көп қырлылардың тек 5 түрінің болуы іргелі жаңалық болып саналды, олар тіпті құдайлық принциппен байланысқа ие болды.
Гексадр және оның қасиеттері
Алтыбұрыш түрінде Платонның ізбасарлары жер атомдарының құрылымымен ұқсастықты қабылдады. Әрине, қазіргі уақытта бұл гипотеза толығымен жоққа шығарылды, дегенмен қазіргі заманда фигуралар өздерінің эстетикасымен әйгілі қайраткерлердің санасын тартуға кедергі бола алмайды.
Геометрияда текше деп те аталатын гексаэдр параллелепипедтің ерекше жағдайы болып саналады, ол өз кезегінде призманың бір түрі болып табылады. Сәйкесінше, кубтың қасиеттері призманың қасиеттерімен байланысты, тек айырмашылығы текшенің барлық беттері мен бұрыштары бір-біріне тең. Бұдан келесі қасиеттер шығады:
- Кубтың барлық жиектері сәйкес және бір-біріне қатысты параллель жазықтықта жатыр.
- Барлық беттер сәйкес квадраттар (текшеде барлығы 6 бар), олардың кез келгенін негіз ретінде алуға болады.
- Барлық интерфейс бұрыштары 90.
- Әр шыңнан бірдей шеттер саны шығады, атап айтқанда 3.
- Кубта 9 симметрия осі бар, олардың барлығы симметрия центрі деп аталатын алты қырлы диагональдарының қиылысу нүктесінде қиылысады.
Тетраэдр
Тетраэдр – әр төбелері үшбұрыштар түріндегі беттері бірдей тетраэдр.үш беттің түйісу нүктесі болып табылады.
Дұрыс тетраэдрдің қасиеттері:
- Тетраэдрдің барлық беттері теңбүйірлі үшбұрыштар болып табылады, яғни тетраэдрдің барлық беттері сәйкес келеді.
- Негізі дұрыс геометриялық фигурамен бейнеленгендіктен, яғни оның қабырғалары тең болғандықтан, тетраэдрдің беттері бір бұрышқа жиналады, яғни барлық бұрыштары тең.
- Төбелердің әрқайсысындағы жазық бұрыштардың қосындысы 180-ге тең, өйткені барлық бұрыштар тең, онда дұрыс тетраэдрдің кез келген бұрышы 60-қа тең.
- Шылардың әрқайсысы қарама-қарсы (ортоцентр) беттің биіктіктерінің қиылысу нүктесіне проекцияланады.
Октаэдр және оның қасиеттері
Тұрақты көп қырлылардың түрлерін сипаттай отырып, көзбен көрнекі түрде бір-біріне негіздер арқылы желімделген екі төртбұрышты қалыпты пирамидалар түрінде бейнелеуге болатын октаэдр сияқты нысанды атап өтуге болмайды.
Октаэдрдің қасиеттері:
- Геометриялық дененің атының өзі оның беттерінің санын білдіреді. Октаэдр 8 конгруентті теңбүйірлі үшбұрыштан тұрады, олардың әрбір төбесінде беттердің бірдей саны біріктіріледі, атап айтқанда 4.
- Октаэдрдің барлық беттері тең болғандықтан, оның интерфейс бұрыштары да тең, олардың әрқайсысы 60-қа тең, ал кез келген төбенің жазық бұрыштарының қосындысы осылайша 240-қа тең.
Додекаэдр
Егер геометриялық дененің барлық беттерін дұрыс бесбұрыш деп елестетсек, онда додекаэдр аламыз -12 көпбұрыш фигурасы.
Додекаэдрдің қасиеттері:
- Үш бет әр шыңда қиылысады.
- Барлық беттер бірдей және жиектерінің ұзындығы мен ауданы бірдей.
- Додекаэдрдің 15 осі мен симметрия жазықтығы бар және олардың кез келгені беттің төбесінен және қарама-қарсы жиектің ортасынан өтеді.
Икосаэдр
Додекаэдрден кем емес қызықты, икосаэдр фигурасы 20 бірдей беті бар үш өлшемді геометриялық дене. Кәдімгі жиырма-эдрдің қасиеттерінің ішінде мыналарды атап өтуге болады:
- Икосаэдрдің барлық беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.
- Бес бет көпбұрыштың әрбір төбесінде түйіседі және төбенің көршілес бұрыштарының қосындысы 300-ге тең.
- Икосаэдр, додекаэдр сияқты, қарама-қарсы беттердің ортаңғы нүктелері арқылы өтетін 15 осі мен симметрия жазықтығы бар.
Жартылай дұрыс көпбұрыштар
Платондық қатты денелерден басқа дөңес көп қырлылар тобына сонымен қатар кесілген дұрыс көп қырлы архимедтік қатты денелер кіреді. Бұл топтың көп қырлы түрлері келесі қасиеттерге ие:
- Геометриялық денелердің бірнеше типті жұптық тең беттері болады, мысалы, кесілген тетраэдрдің кәдімгі тетраэдр сияқты 8 беті бар, бірақ архимедтік қатты дене жағдайында 4 беті үшбұрышты, 4-і алтыбұрышты болады.
- Бір төбенің барлық бұрыштары сәйкес.
Жұлдызды көп қырлы
Геометриялық денелердің көлемді емес түрлерінің өкілдері - беттері бір-бірімен қиылысатын жұлдызды көпбұрыштар. Оларды екі қалыпты 3D қатты денені біріктіру немесе олардың беттерін ұзарту арқылы жасауға болады.
Осылайша, мұндай жұлдызды көп қырлылар: октаэдрдің, додекаэдрдің, икосаэдрдің, кубоктаэдрдің, икосододекаэдрдің жұлдызды формалары деп аталады.
