Математикадан дәреже ұғымы 7-сыныпта алгебра сабағында енгізілген. Ал келешекте математиканы оқу барысында бұл ұғым өзінің әр түрлі формаларында белсенді түрде қолданылады. Дәрежелер - бұл құндылықтарды есте сақтауды және дұрыс және жылдам санауды талап ететін өте күрделі тақырып. Математикалық дәрежелермен жылдам және жақсы жұмыс істеу үшін олар дәреженің қасиеттерін ойлап тапты. Олар үлкен есептерді қысқартуға, үлкен мысалды белгілі бір дәрежеде бір санға айналдыруға көмектеседі. Қасиеттер соншалықты көп емес, және олардың барлығын есте сақтау және іс жүзінде қолдану оңай. Сондықтан мақалада дәреженің негізгі қасиеттері, сондай-ақ олардың қайда қолданылатыны талқыланады.
Дәреженің қасиеттері
Дәрежелердің 12 қасиетін, соның ішінде негіздері бірдей дәрежелердің қасиеттерін қарастырамыз және әрбір қасиетке мысал келтіреміз. Осы сипаттардың әрқайсысы сізге дәрежелері бар мәселелерді тезірек шешуге көмектеседі, сонымен қатар көптеген есептеу қателерінен сақтайды.
1-қасиет.
a0=1
Көбісі бұл қасиет туралы жиі ұмытып кетедінөл дәрежесіне дейінгі санды нөл ретінде көрсету арқылы қателер.
2-ші сипат.
a1=a
3-қасиет.
a am=a(n+m)
Бұл сипатты сандарды көбейту кезінде ғана пайдалануға болатынын есте сақтау керек, ол қосындымен жұмыс істемейді! Бұл және келесі сипаттар тек бір негізге ие қуаттарға қатысты екенін ұмытпаңыз.
4-қасиет.
a/am=a(n-m)
Егер азайғыштағы сан теріс дәрежеге көтерілсе, онда азайтқанда, әрі қарай есептеулерде таңбаны дұрыс ауыстыру үшін бөлгіштің дәрежесі жақшаға алынады.
Сипаттар алу үшін емес, бөлу үшін ғана жұмыс істейді!
5-ші сипат.
(a)m=a(nм)
6-қасиет.
a-n=1/a
Бұл сипатты кері бағытта да қолдануға болады. Белгілі бір дәрежеде санға бөлінген бірлік сол сан теріс дәрежеге тең болады.
7-қасиет.
(ab)m=am bm
Бұл сипатты қосынды мен айырмаға қолдану мүмкін емес! Қосындыны немесе айырманы дәрежеге көтеру кезінде дәреженің қасиеттері емес, қысқартылған көбейту формулалары пайдаланылады.
8-қасиет.
(a/b)=a/b
9-қасиет.
a½=√a
Бұл сипат алымы бірге тең кез келген бөлшек дәреже үшін жұмыс істейді,формула бірдей болады, дәреженің бөлгішіне байланысты түбірдің дәрежесі ғана өзгереді.
Сонымен қатар, бұл сипат жиі керісінше пайдаланылады. Санның кез келген дәрежесінің түбірін сол санның түбірдің дәрежесіне бөлінген бір дәреженің дәрежесі ретінде көрсетуге болады. Бұл сипат санның түбірі алынбаған жағдайларда өте пайдалы.
10-шы сипат.
(√a)2=a
Бұл сипат тек квадрат түбірлермен және екінші дәрежелермен жұмыс істемейді. Егер түбірдің дәрежесі мен бұл түбірдің көтерілу дәрежесі бірдей болса, онда жауап түбегейлі өрнек болады.
11-қасиет.
√a=a
Өзіңізді үлкен есептерден құтқару үшін шешу кезінде бұл сипатты уақытында көре білуіңіз керек.
12-сипат.
am/n=√am
Осы сипаттардың әрқайсысы тапсырмаларда сізге бірнеше рет кездеседі, ол таза түрінде берілуі мүмкін немесе кейбір түрлендірулер мен басқа формулаларды пайдалануды қажет етуі мүмкін. Сондықтан дұрыс шешім табу үшін тек қасиеттерді білу жеткіліксіз, қалған математикалық білімдерді жаттықтыру және байланыстыру қажет.
Дәрежелер мен олардың қасиеттерін пайдалану
Олар алгебра мен геометрияда белсенді қолданылады. Математикадағы дәрежелер бөлек, маңызды орын алады. Олардың көмегімен көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер шешіледі, сонымен қатар дәрежелер математиканың басқа бөлімдеріне қатысты теңдеулер мен мысалдарды жиі қиындатады. Көрсеткіштер үлкен және ұзақ есептеулерді болдырмауға көмектеседі, дәрежелерді азайту және есептеу оңайырақ. Бірақ үшінүлкен дәрежелермен немесе үлкен сандардың дәрежелерімен жұмыс істеу, сіз тек дәреженің қасиеттерін білуіңіз керек, сонымен қатар тапсырмаңызды жеңілдету үшін негіздермен сауатты жұмыс істеуіңіз керек, оларды ыдырай білуіңіз керек. Ыңғайлы болу үшін, сіз сондай-ақ дәрежеге көтерілген сандардың мағынасын білуіңіз керек. Бұл ұзақ есептеулерді қажет етпей, шешуге кететін уақытыңызды қысқартады.
Логарифмдерде дәреже ұғымы ерекше рөл атқарады. Логарифм мәні бойынша санның дәрежесі болғандықтан.
Қысқартылған көбейту формулалары - қуаттарды пайдаланудың тағы бір мысалы. Олар дәрежелердің қасиеттерін пайдалана алмайды, олар арнайы ережелерге сәйкес ыдырайды, бірақ әрбір қысқартылған көбейту формуласында өзгермейтін дәрежелер болады.
Дәрежелер физика мен информатикада да белсенді қолданылады. SI жүйесіндегі барлық аудармалар дәрежелер арқылы орындалады, ал болашақта есептерді шешу кезінде дәреженің қасиеттері қолданылады. Информатикада санаудың ыңғайлылығы және сандарды қабылдауды жеңілдету үшін екінің дәрежелері белсенді түрде қолданылады. Өлшем бірліктерін түрлендіру бойынша әрі қарай есептеулер немесе есептерді есептеу, физикадағы сияқты, дәреже қасиеттерін пайдалана отырып орындалады.
Дәрежелер астрономияда да өте пайдалы, мұнда дәреже қасиеттерінің пайдаланылуы сирек кездеседі, бірақ дәрежелердің өзі әртүрлі шамалар мен қашықтықтарды жазуды қысқарту үшін белсенді түрде пайдаланылады.
Дәрежелер күнделікті өмірде аудандарды, көлемдерді, қашықтықты есептеу кезінде де қолданылады.
Дәрежелердің көмегімен ғылымның кез келген саласында өте үлкен және өте аз мөлшерлер жазылады.
Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер
Дәрежелік қасиеттер көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерде ерекше орын алады. Бұл тапсырмалар мектеп курсында да, емтихандарда да жиі кездеседі. Олардың барлығы дәреже қасиеттерін қолдану арқылы шешіледі. Белгісіз әрқашан дәреженің өзінде болады, сондықтан барлық қасиеттерді біле отырып, мұндай теңдеуді немесе теңсіздікті шешу қиын болмайды.
