Көптеген адамдар үшін математикалық талдау нақты өмірден алшақ түсініксіз сандар, белгішелер мен анықтамалардың жиынтығы ғана. Дегенмен, біз өмір сүретін әлем сандық заңдылықтарға негізделген, оларды анықтау бізді қоршаған әлем туралы білуге және оның күрделі мәселелерін шешуге ғана емес, сонымен қатар күнделікті практикалық тапсырмаларды жеңілдетуге көмектеседі. Математик сандар тізбегі жинақталады деп нені білдіреді? Мұны толығырақ талқылау керек.
Шексіз аз дегеніміз не?
Бір-біріне сәйкес келетін матрешкаларды елестетіп көрейік. Олардың ең үлкенінен басталып, ең кішісіне аяқталатын сандар түрінде жазылған өлшемдері тізбекті құрайды. Егер сіз осындай жарқын фигуралардың шексіз санын елестетсеңіз, онда алынған жол фантастикалық ұзақ болады. Бұл жинақталған сандар тізбегі. Және ол нөлге ұмтылады, өйткені әрбір келесі ұя салатын қуыршақтың өлшемі апатты түрде азайып, бірте-бірте ештеңеге айналады. Сондықтан бұл оңайтүсіндіруге болады: шексіз аз деген не.
Ұқсас мысал қашықтыққа апаратын жол болуы мүмкін. Ал оның бойымен бақылаушыдан алыстап бара жатқан көліктің көрнекі өлшемдері бірте-бірте кішірейіп, нүктеге ұқсас пішінсіз даққа айналады. Осылайша, машина белгісіз бағытта алыстап бара жатқан зат сияқты шексіз кішкентай болады. Көрсетілген дененің параметрлері сөздің тура мағынасында ешқашан нөлге тең болмайды, бірақ соңғы шекте бұл мәнге үнемі бейім болады. Сондықтан бұл реттілік қайтадан нөлге жиналады.
Бәрін тамшылап есептеңіз
Енді дүниелік жағдайды елестетіп көрейік. Дәрігер науқасқа препаратты күніне он тамшыдан бастап, келесі күні екі тамшыдан қосуды тағайындады. Сондықтан дәрігер көлемі 190 тамшы дәрі құтысының ішіндегісі таусылғанша жалғастыруды ұсынды. Жоғарыда айтылғандардан шығатыны, олардың саны күніне жоспарланған келесі сандар қатары болады: 10, 12, 14 және т.б.
Толық курсты аяқтау уақытын және реттілік мүшелерінің санын қалай білуге болады? Мұнда, әрине, тамшыларды қарапайым түрде санауға болады. Бірақ үлгіні ескере отырып, d=2 қадамы бар арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласын пайдалану әлдеқайда оңай. Және осы әдісті пайдаланып, сандар қатарының мүшелерінің саны 10 болатынын біліңіз. Бұл жағдайда., a10=28. Жыныс мүшесінің нөмірі дәріні қабылдаған күндердің санын көрсетеді, ал 28 - пациент қабылдауы тиіс тамшылардың санына сәйкес келеді.соңғы күні қолданыңыз. Бұл реттілік жинақталады ма? Жоқ, өйткені төменнен 10-ға және жоғарыдан 28-ге дейін шектелгеніне қарамастан, алдыңғы мысалдардан айырмашылығы мұндай сандар қатарында шек жоқ.
Айырмашылығы неде?
Енді нақтылауға тырысайық: сандар қатары конвергентті тізбек болып шыққан кезде. Мұндай түрдегі анықтама, жоғарыда айтылғандардан қорытынды жасауға болатындай, соңғы шек ұғымымен тікелей байланысты, оның болуы мәселенің мәнін ашады. Сонымен, бұрын келтірілген мысалдардың негізгі айырмашылығы неде? Неліктен олардың соңғысында 28 санын X =10 + 2(n-1) сандар қатарының шегі деп санауға болмайды?
Бұл сұрақты түсіндіру үшін төмендегі формула бойынша берілген басқа тізбекті қарастырыңыз, мұнда n натурал сандар жиынына жатады.
Мүшелердің бұл қауымдастығы - алымы 1, ал бөлгіші үнемі өсетін жай бөлшектердің жиынтығы: 1, ½ …
Сонымен қатар, осы қатардың әрбір келесі өкілі сандар сызығында орналасуы жағынан 0-ге жақындайды. Бұл нүктелер нөлге жақын шоғырланған жерде осындай көршілестік пайда болады, бұл шек. Олар оған неғұрлым жақын болса, олардың сан түзуіндегі концентрациясы соғұрлым тығыз болады. Және олардың арасындағы қашықтық шексіз азға айнала отырып, апатты түрде қысқарады. Бұл реттілік жинақталып жатқанының белгісі.
ҰқсасОсылайша, суретте көрсетілген көп түсті тіктөртбұрыштар кеңістікте алыстаған кезде, көзбен қарағанда көбірек толып, гипотетикалық шекте болымсызға айналады.
Шексіз үлкен реттілік
Конвергентті тізбектің анықтамасын талдап болған соң, қарсы мысалдарға көшейік. Олардың көпшілігі адамға ерте заманнан белгілі. Дивергентті тізбектердің қарапайым нұсқалары натурал және жұп сандар қатары болып табылады. Олар басқа жолмен шексіз үлкен деп аталады, өйткені олардың мүшелері үнемі өсіп келе жатқан сайын оң шексіздікке жақындайды.
Мысал ретінде сәйкесінше нөлден үлкен қадамы мен бөлімі бар арифметикалық және геометриялық прогрессияның кез келгені болуы мүмкін. Сонымен қатар, сандық қатарлар дивергентті тізбектер болып саналады, олардың шегі мүлде жоқ. Мысалы, X =(-2) -1.
Фибоначчи тізбегі
Алдында айтылған сандар қатарының адамзат үшін практикалық пайдасы даусыз. Бірақ басқа да көптеген керемет мысалдар бар. Олардың бірі - Фибоначчи тізбегі. Оның бір мүшеден басталатын әрбір мүшесі алдыңғылардың қосындысы болып табылады. Оның алғашқы екі өкілі 1 және 1. Үшіншісі 1+1=2, төртіншісі 1+2=3, бесіншісі 2+3=5. Әрі қарай, сол логика бойынша 8, 13, 21 және т.б. сандары келеді.
Бұл сандар қатары шексіз өседі және жоқсоңғы шек. Бірақ оның тағы бір керемет қасиеті бар. Әрбір алдыңғы санның келесі санға қатынасы өзінің мәні бойынша 0,618-ге жақындап келеді. Мұнда конвергентті және дивергентті тізбектің айырмашылығын түсінуге болады, өйткені егер алынған ішінара бөлімдердің қатарын жасасаңыз, көрсетілген сандық жүйе 0,618-ге тең шекті шегі бар.
Фибоначчи коэффициенттерінің тізбегі
Жоғарыда көрсетілген сандар қатары нарықтарды техникалық талдау үшін практикалық мақсаттарда кеңінен қолданылады. Бірақ бұл оның мүмкіндіктерімен шектелмейді, оны мысырлықтар мен гректер ертеде білген және іске асыра алған. Мұны олар салған пирамидалар мен Парфенон дәлелдейді. Өйткені, 0,618 саны ескі күндерде жақсы белгілі алтын қиманың тұрақты коэффициенті болып табылады. Бұл ережеге сәйкес, кез келген ерікті сегментті оның бөліктері арасындағы қатынас сегменттердің ең үлкені мен жалпы ұзындық арасындағы қатынасқа сәйкес келетіндей етіп бөлуге болады.
Көрсетілген қатынастар қатарын құрастырып, осы реттілікке талдау жасап көрейік. Сандар қатары келесідей болады: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 және т.б. Осылай жалғастыра отырып, конвергентті тізбектің шегі шынымен 0,618 болатынына көз жеткізе аламыз. Бірақ бұл заңдылықтың басқа да қасиеттерін атап өту қажет. Бұл жерде сандар өсу немесе кему ретімен емес, кездейсоқ келетін сияқты. Бұл конвергентті тізбектің монотонды емес екенін білдіреді. Неліктен бұлай болғаны әрі қарай талқыланады.
Монотондылық және шектеу
Сандар қатарының мүшелері сан ұлғайған сайын азаюы мүмкін (егер x1>x2>x3>…>x >…) немесе ұлғайту (егер x1<x2363223<…<x <…). Бұл жағдайда реттілік қатаң монотонды деп айтылады. Сандық қатар кемімейтін және өспейтін басқа үлгілерді де байқауға болады (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… немесе x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), онда дәйекті конвергентті де монотонды болады, тек қатаң мағынада емес. Осы опциялардың біріншісінің жақсы мысалы келесі формуламен берілген сандар қатары болып табылады.
Осы серияның сандарын бояй отырып, оның кез келген мүшесі шексіз 1-ге жақындап, бұл мәннен ешқашан аспайтынын көруге болады. Бұл жағдайда жинақталған тізбек шектелген деп аталады. Бұл қатар модулінің кез келген мүшесінен әрқашан үлкен болатын оң M саны болған кезде орын алады. Егер сандар қатарында монотондылық белгілері болса және шегі болса, демек, жинақталса, онда ол міндетті түрде осындай қасиетке ие болады. Және керісінше шындық болуы міндетті емес. Бұл жинақталған тізбек үшін шектелгендік теоремасы арқылы дәлелденеді.
Мұндай бақылауларды тәжірибеде қолдану өте пайдалы. X тізбегінің қасиеттерін зерттей отырып, нақты мысал келтірейік.n/n+1, және оның жинақтылығын дәлелде. Оның монотонды екенін көрсету оңай, өйткені (x +1 – x) оң сан кез келген n мәндері үшін. Тізбектің шегі 1 санына тең, бұл Вейерштрас теоремасы деп те аталатын жоғарыдағы теореманың барлық шарттары орындалғанын білдіреді. Жинақталған тізбектің шектелгендігі туралы теорема, егер оның шегі болса, онда кез келген жағдайда ол шектелген болып шығады. Дегенмен, келесі мысалды алайық. X =(-1) төменнен -1-мен және жоғарыдан 1-мен шектелген. Бірақ бұл реттілік монотонды емес, жоқ. шектейді, сондықтан жинақталмайды. Яғни, шектеудің болуы мен конвергенциясы әрқашан шектеуден туындамайды. Бұл жұмыс істеуі үшін Фибоначчи қатынасындағыдай төменгі және жоғарғы шектер сәйкес болуы керек.
Әлемнің сандары мен заңдары
Конвергентті және дивергентті қатардың ең қарапайым нұсқалары X =n және X =1/n сандық қатарлары болуы мүмкін. Олардың біріншісі – сандардың натурал қатары. Бұл, бұрын айтылғандай, шексіз үлкен. Екінші конвергентті тізбек шектелген, ал оның мүшелері шамасы бойынша шексіз азға жақын. Бұл формулалардың әрқайсысы сан қырлы Әлемнің бір қырын бейнелейді, адамға сандар мен белгілер тілінде шектеулі қабылдауға қол жетімсіз, белгісіз нәрсені елестетуге және есептеуге көмектеседі.
Елсізден керемет үлкенге дейінгі аралықтағы ғалам заңдары да 0,618 алтын қатынасын білдіреді. Ғалымдаролар оны заттардың мәніне негіз болады және оның бөліктерін жасау үшін табиғат пайдаланады деп есептейді. Біз жоғарыда атап өткен Фибоначчи сериясының келесі және алдыңғы мүшелері арасындағы қарым-қатынастар осы бірегей серияның таңғажайып қасиеттерін көрсетуді аяқтамайды. Алдыңғы мүшені келесі мүшеге бөлу бөлігін қарастырсақ, онда 0,5 қатарын аламыз; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 және т.б. Бір қызығы, бұл шектеулі реттілік жинақталады, ол монотонды емес, бірақ белгілі бір мүшеден шектен шыққан көрші сандардың қатынасы әрқашан шамамен 0,382-ге тең, оны сәулет, техникалық талдау және басқа салаларда да қолдануға болады.
Фибоначчи сериясының басқа да қызықты коэффициенттері бар, олардың барлығы табиғатта ерекше рөл атқарады, сонымен қатар адам практикалық мақсаттарда пайдаланады. Математиктер Әлемнің көрсетілген коэффициенттерден құрылған белгілі бір «алтын спираль» бойынша дамитынына сенімді. Олардың көмегімен белгілі бір бактериялар санының көбеюінен бастап, алыстағы кометалардың қозғалысына дейін Жерде және ғарышта болып жатқан көптеген құбылыстарды есептеуге болады. Белгілі болғандай, ДНҚ коды ұқсас заңдарға бағынады.
Геометриялық прогрессияның төмендеуі
Конвергентті тізбектің шегінің бірегейлігін бекітетін теорема бар. Бұл оның екі немесе одан да көп шегі бола алмайтынын білдіреді, бұл оның математикалық сипаттамаларын табу үшін маңызды екені сөзсіз.
Біразын қарастырайықжағдайлар. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінен тұратын кез келген сандық қатар нөлдік қадамы бар жағдайды қоспағанда, дивергентті болып табылады. Бұл азайғышы 1-ден үлкен геометриялық прогрессияға да қатысты. Мұндай сандық қатарлардың шегі шексіздіктің «плюс» немесе «минус» болып табылады. Егер деноминатор -1-ден аз болса, онда шек жоқ. Басқа опциялар мүмкін.
X =(1/4) -1 формуласымен берілген сандар қатарын қарастырыңыз. Бір қарағанда, бұл конвергентті тізбектің шектелгенін байқау қиын емес, өйткені ол қатаң түрде төмендейді және теріс мәндерді қабылдай алмайды.
Оның бірнеше мүшелерін қатарынан жазайық.
Шығарылады: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 және т.б. Бұл геометриялық прогрессияның 0<q<1 бөлгіштерінен қаншалықты тез төмендейтінін түсіну үшін өте қарапайым есептеулер жеткілікті. Терминдердің бөлгіші шексіз өссе, олардың өзі шексіз аз болады. Бұл сандар қатарының шегі 0 екенін білдіреді. Бұл мысал конвергентті тізбектің шектеулі сипатын тағы бір рет көрсетеді.
Негізгі реттілік
Француз ғалымы Августин Луи Коши математикалық талдауға қатысты көптеген еңбектерді әлемге ашты. Ол дифференциал, интегралдық, шекті, үздіксіздік сияқты ұғымдарға анықтама берді. Сондай-ақ конвергентті тізбектердің негізгі қасиеттерін зерттеді. Оның идеяларының мәнін түсіну үшінкейбір маңызды мәліметтерді қорытындылау қажет.
Мақаланың ең басында нақты сызықтағы белгілі бір қатардың мүшелерін білдіретін нүктелер барған сайын топтаса бастайтын көршілестік бар осындай тізбектер бар екені көрсетілген. тығыз. Сонымен қатар олардың арасындағы қашықтық келесі өкілдің саны көбейген сайын азайып, шексіз кішкентайға айналады. Осылайша, белгілі бір маңайда берілген қатардың өкілдерінің шексіз саны топтастырылады, ал оның сыртында олардың шектеулі саны болады. Мұндай тізбектер негізгі деп аталады.
Француз математигі жасаған атақты Коши критерийі тізбектің жақындауын дәлелдеу үшін мұндай қасиеттің болуы жеткілікті екенін анық көрсетеді. Керісінше де дұрыс.
Француз математигінің бұл тұжырымы негізінен таза теориялық қызығушылық тудыратынын айта кеткен жөн. Оның практикада қолданылуы біршама күрделі мәселе болып саналады, сондықтан қатарлардың жинақталуын нақтылау үшін тізбектің шекті шегінің бар екенін дәлелдеу әлдеқайда маңызды. Әйтпесе, ол дивергентті болып саналады.
Есептерді шығарған кезде конвергентті тізбектердің негізгі қасиеттерін де ескеру керек. Олар төменде көрсетілген.
Шексіз қосындылар
Архимед, Евклид, Евдокс сияқты ежелгі дәуірдің атақты ғалымдары қисықтардың ұзындықтарын, денелердің көлемдерін есептеу үшін шексіз сандар қатарының қосындыларын пайдаланды.және фигуралар аудандары. Атап айтқанда, осылайша параболалық сегменттің ауданын білуге болады. Ол үшін q=1/4 болатын геометриялық прогрессияның сандық қатарының қосындысы пайдаланылды. Басқа ерікті фигуралардың көлемдері мен аудандары да осындай жолмен табылды. Бұл опция «шаршау» әдісі деп аталды. Идеясы күрделі пішінді зерттелетін денені оңай өлшенетін параметрлері бар фигуралар болатын бөліктерге бөлу болды. Осы себепті олардың аудандары мен көлемін есептеу қиынға соқпады, содан кейін олар қосылды.
Айтпақшы, ұқсас тапсырмалар қазіргі мектеп оқушыларына өте таныс және USE тапсырмаларында кездеседі. Алыстағы ата-бабалар тапқан бірегей әдіс - ең қарапайым шешім. Сандық фигура бөлінген екі немесе үш бөлік болса да, олардың аудандарын қосу бәрібір сандар қатарының қосындысы болып табылады.
Ежелгі грек ғалымдары Лейбниц пен Ньютоннан әлдеқайда кейінірек, өздерінің дана ізашарларының тәжірибесіне сүйене отырып, интегралдық есептеу заңдылықтарын үйренді. Тізбектердің қасиеттерін білу оларға дифференциалдық және алгебралық теңдеулерді шешуге көмектесті. Қазіргі уақытта талантты ғалымдардың көптеген ұрпақтарының күшімен жасалған қатарлар теориясы көптеген математикалық және практикалық есептерді шешуге мүмкіндік береді. Ал сандық тізбектерді зерттеу өзінің пайда болған күнінен бастап математикалық талдау арқылы шешілген негізгі мәселе болды.
