Призма – жалпы білім беретін мектептерде тұтас геометрия курсында оқытылатын белгілі фигуралардың бірі. Осы класс фигураларының әртүрлі сипаттамаларын есептей алу үшін призмалардың қандай түрлері бар екенін білу керек. Осы мәселені толығырақ қарастырайық.
Стереометриядағы призма
Алдымен фигуралардың аталған сыныбын анықтайық. Призма деп өзара параллелограммдар арқылы жалғанған екі параллель көпбұрышты негізден тұратын кез келген көпбұрышты айтады.
Бұл фигураны келесі жолмен алуға болады: жазықтықта ерікті көпбұрышты таңдап, оны көпбұрыштың бастапқы жазықтығына жатпайтын кез келген вектордың ұзындығына жылжытыңыз. Осындай параллель қозғалыс кезінде көпбұрыштың қабырғалары болашақ призманың бүйір беттерін сипаттайды, ал көпбұрыштың соңғы орны фигураның екінші негізі болады. Сипатталған жолмен призманың ерікті түрін алуға болады. Төмендегі суретте үшбұрышты призма көрсетілген.
Призмалардың қандай түрлері бар?
Бұл пішіндердің жіктелуі туралықарастырылып отырған сынып. Жалпы жағдайда бұл жіктеу фигураның көпбұрышты негізі мен жақтарының ерекшеліктерін ескере отырып жүзеге асырылады. Әдетте призмалардың келесі үш түрі бөлінеді:
- Тіке және қиғаш (қиғаш).
- Дұрыс және бұрыс.
- Дөңес және ойыс.
Аталған классификация түрлерінің кез келген призмасы төртбұрышты, бесбұрышты, …, n-бұрышты негізге ие болуы мүмкін. Үшбұрышты призманың түрлеріне келетін болсақ, оны тек алғашқы екі нүктеге сәйкес жіктеуге болады. Үшбұрышты призма әрқашан дөңес болады.
Төменде біз осы жіктеу түрлерінің әрқайсысын егжей-тегжейлі қарастырамыз және призманың геометриялық қасиеттерін (бетінің ауданы, көлемі) есептеуге арналған пайдалы формулаларды береміз.
Тік және қиғаш пішіндер
Бір қарағанда тура призманы қиғаштан ажыратуға болады. Міне, сәйкес көрсеткіш.
Мұнда екі призма көрсетілген (сол жақта алтыбұрышты және оң жақта бесбұрышты). Барлығы алтыбұрышты түзу, ал бесбұрышты қиғаш деп сенімді түрде айтады. Бұл призмалар қандай геометриялық белгімен ерекшеленеді? Әрине, бүйір бет түрі.
Түзу призма, табанына қарамастан, барлық беттері тіктөртбұрыштар. Олар бір-біріне тең болуы мүмкін немесе ерекшеленуі мүмкін, жалғыз маңызды нәрсе - олар тіктөртбұрыштар, ал табандары бар екібұрышты бұрыштары 90o.
Қиғаш фигура туралы айтатын болсақ, оның бүйір беттерінің барлығы немесе кейбіреулерінегізімен жанама екібұрышты бұрыш жасайтын параллелограммдар.
Тік призмалардың барлық түрлері үшін биіктік бүйір жиегінің ұзындығы, қиғаш фигуралар үшін биіктік әрқашан олардың бүйір жиектерінен аз болады. Призманың биіктігін білу оның бетінің ауданы мен көлемін есептегенде маңызды. Мысалы, көлем формуласы:
V=Soh
Мұндағы h - биіктік, So - бір табанның ауданы.
Призмалар дұрыс және дұрыс емес
Кез келген призма дұрыс емес, егер ол түзу болмаса немесе табаны дұрыс болмаса. Түзу және көлбеу призмалар туралы мәселе жоғарыда талқыланды. Мұнда біз "тұрақты көпбұрышты негіз" өрнегі нені білдіретінін қарастырамыз.
Көпбұрыш дұрыс болады, егер оның барлық қабырғалары тең болса (олардың ұзындығын а әрпімен белгілейік) және оның барлық бұрыштары да тең. Тұрақты көпбұрыштардың мысалдары тең қабырғалы үшбұрыш, шаршы, алты бұрышы 120o және т.б. Кез келген тұрақты n-бұрыштың ауданы мына формула арқылы есептеледі:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Төменде үшбұрышты, шаршы, …, сегізбұрышты табандары бар дұрыс призмалардың схемалық көрінісі берілген.
V үшін жоғарыдағы формуланы қолданып, қалыпты фигуралар үшін сәйкес өрнекті жаза аламыз:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Жалпы бет ауданына келетін болсақ, дұрыс призмалар үшін ол екі аумақтан құралады.бірдей табандары және қабырғалары h және a болатын n бірдей тіктөртбұрыштар. Бұл фактілер кез келген қалыпты призманың бетінің ауданы үшін формула жазуға мүмкіндік береді:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Мұнда бірінші мүше екі негіздің ауданына сәйкес келеді, екінші мүше тек бүйір бетінің ауданын анықтайды.
Тұрақты призманың барлық түрлерінің ішінен тек төртбұрышты призмалардың өз атауы бар. Сонымен, a≠h болатын дұрыс төртбұрышты призманы тікбұрышты параллелепипед деп атайды. Бұл санда a=h болса, олар текше туралы айтады.
Шұңқыр пішіндер
Осы уақытқа дейін біз призмалардың тек дөңес түрлерін қарастырдық. Қарастырылып отырған фигуралар класын зерттеуде басты назар соларға аударылады. Дегенмен, ойыс призмалар да бар. Олардың дөңестерден айырмашылығы – табандары төртбұрыштан басталып ойыс көпбұрыштар.
Мысал ретінде суретте қағаздан жасалған екі ойыс призма көрсетілген. Бес бұрышты жұлдыз түріндегі сол жағы он бұрышты призма, алты бұрышты жұлдыз түріндегі оң жақ он екі бұрышты ойыс түзу призма деп аталады.
