«Ықтималдықтар теориясы» ұғымымен бетпе-бет келген көптеген адамдар бұл таңқаларлық, өте күрделі нәрсе деп ойлап, қорқады. Бірақ бұл шынымен де қайғылы емес. Бүгін біз ықтималдықтар теориясының негізгі тұжырымдамасын қарастырамыз, нақты мысалдар арқылы есептерді шығару жолын үйренеміз.
Ғылым
Математиканың «ықтималдықтар теориясы» сияқты саласы нені зерттейді? Ол кездейсоқ оқиғалар мен шамалардың үлгілерін атап өтеді. Алғаш рет ғалымдар бұл мәселеге он сегізінші ғасырда құмар ойындарды зерттеген кезде қызығушылық танытты. Ықтималдықтар теориясының негізгі түсінігі – оқиға. Бұл тәжірибе немесе бақылау арқылы анықталған кез келген факт. Бірақ тәжірибе дегеніміз не? Ықтималдық теориясының тағы бір негізгі концепциясы. Бұл мән-жайлардың бұл құрамы кездейсоқ емес, белгілі бір мақсат үшін жасалғанын білдіреді. Бақылауға келетін болсақ, мұнда зерттеушінің өзі экспериментке қатыспайды, жай ғана осы оқиғалардың куәгері болып табылады, ол болып жатқан нәрсеге ешқандай әсер етпейді.
Оқиғалар
Ықтималдықтар теориясының негізгі тұжырымдамасы оқиға екенін білдік, бірақ жіктеуді қарастырмадық. Олардың барлығы келесі санаттарға бөлінеді:
- Сенімді.
- Мүмкін емес.
- Кездейсоқ.
Маңызды еместәжірибе барысында қандай оқиғалар бақыланады немесе жасалады, олардың барлығы осы классификацияға жатады. Түрлердің әрқайсысымен жеке танысуды ұсынамыз.
Белгілі бір оқиға
Бұл жағдайға дейін қажетті шаралар кешені қабылданған. Мәнін жақсырақ түсіну үшін бірнеше мысал келтірген абзал. Физика, химия, экономика және жоғары математика осы заңға бағынады. Ықтималдық теориясы белгілі бір оқиға сияқты маңызды ұғымды қамтиды. Міне, кейбір мысалдар:
- Біз жұмыс істейміз және жалақы түрінде сыйақы аламыз.
- Емтихандарды жақсы тапсырдық, конкурстан өттік, бұл үшін оқу орнына түсу түріндегі сыйақы аламыз.
- Біз банкке ақша салдық, қажет болса қайтарып аламыз.
Мұндай оқиғалар сенімді. Егер біз барлық қажетті шарттарды орындасақ, күтілетін нәтиже міндетті түрде аламыз.
Мүмкін емес оқиғалар
Қазір біз ықтималдықтар теориясының элементтерін қарастырамыз. Оқиғаның келесі түрін түсіндіруге көшуді ұсынамыз, атап айтқанда, мүмкін емес. Алдымен ең маңызды ережені көрсетейік – мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең.
Мәселелерді шешкен кезде бұл тұжырымнан ауытқып кете алмайсыз. Түсіндіру үшін осындай оқиғалардың мысалдары келтірілген:
- Су плюс онда қатып қалды (бұл мүмкін емес).
- Электр энергиясының жетіспеушілігі өндіріске ешқандай әсер етпейді (алдыңғы мысалдағыдай мүмкін емес).
Қосымша мысалдарДәлелдеудің қажеті жоқ, өйткені жоғарыда сипатталғандар осы санаттың мәнін өте айқын көрсетеді. Тәжірибе кезінде ешбір жағдайда мүмкін емес оқиға ешқашан болмайды.
Кездейсоқ оқиғалар
Ықтималдық теориясының элементтерін зерттей отырып, оқиғаның осы түріне ерекше назар аудару керек. Міне, ғылым зерттейді. Тәжірибе нәтижесінде бірдеңе болуы немесе болмауы мүмкін. Сонымен қатар, сынақты шексіз рет қайталауға болады. Жарқын мысалдар:
- Тиын лақтыру - бұл тәжірибе немесе сынақ, тақырып - оқиға.
- Сөмкеден көзсіз доп шығару - бұл сынақ, қызыл доп ұстау - оқиға және т.б.
Мұндай мысалдардың шексіз саны болуы мүмкін, бірақ, жалпы алғанда, мәні түсінікті болуы керек. Оқиғалар туралы алған білімдерін жинақтау және жүйелеу үшін кесте беріледі. Ықтималдықтар теориясы ұсынылғандардың тек соңғы түрін зерттейді.
| атауы | анықтама | мысал |
| Сенімді | Белгілі бір жағдайларда 100% кепілдікпен болатын оқиғалар. | Қабылдау емтиханы жақсы оқу орнына түсу. |
| Мүмкін емес | Ешбір жағдайда ешқашан болмайтын оқиғалар. | Отыз градус Цельсий температурасында қар жауады. |
| Кездейсоқ | Тәжірибе/сынақ кезінде болуы немесе болмауы мүмкін оқиға. | Баскет добын шеңберге лақтырған кезде соғу немесе жіберіп алу. |
Заңдар
Ықтималдықтар теориясы – оқиғаның болу мүмкіндігін зерттейтін ғылым. Басқалар сияқты, оның кейбір ережелері бар. Ықтималдықтар теориясының келесі заңдары бар:
- Кездейсоқ айнымалылар тізбегінің жинақтылығы.
- Үлкен сандар заңы.
Кешеннің мүмкіндігін есептеу кезінде нәтижеге оңай әрі жылдамырақ жету үшін қарапайым оқиғалар кешенін пайдалануға болады. Ықтималдықтар теориясының заңдары кейбір теоремалардың көмегімен оңай дәлелденетінін ескеріңіз. Бірінші заңнан бастайық.
Кездейсоқ айнымалылар тізбегінің жинақтылығы
Конвергенцияның бірнеше түрі бар екенін ескеріңіз:
- Кездейсоқ айнымалылар тізбегі ықтималдықпен жинақталады.
- Мүмкін емес дерлік.
- RMS конвергенциясы.
- Таралудағы конвергенция.
Сондықтан, ұшқанда оның түбіне жету өте қиын. Міне, осы тақырыпты түсінуге көмектесетін кейбір анықтамалар. Бірінші көзқарастан бастайық. Келесі шарт орындалса, реттілік ықтималдық бойынша жинақталған деп аталады: n шексіздікке ұмтылады, реттілік ұмтылатын сан нөлден үлкен және бірге жақын.
Келесі көрініске өту, әрине дерлік. Олар осылай дейдіреттілік n шексіздікке бейім кездейсоқ шамаға, ал P бірге жақын мәнге ұмтылатыны сөзсіз дерлік жинақталады.
Келесі түрі - түбір-орта-шаршы жинақтылығы. SC-конвергенцияны пайдалану кезінде векторлық кездейсоқ процестерді зерттеу олардың координаталық кездейсоқ процестерін зерттеуге дейін қысқарады.
Соңғы түрі қалды, мәселелерді шешуге тікелей өту үшін оны қысқаша қарастырайық. Тарату конвергенциясының басқа атауы бар - «әлсіз», себебін төменде түсіндіреміз. Әлсіз жинақтылық – шекті үлестіру функциясының үздіксіздігінің барлық нүктелеріндегі таралу функцияларының жинақталуы.
Уәденің орындалуына сенімді болыңыз: әлсіз конвергенция жоғарыда айтылғандардың барлығынан кездейсоқ шама ықтималдық кеңістігінде анықталмағанымен ерекшеленеді. Бұл мүмкін, себебі шарт тек тарату функцияларын пайдалана отырып жасалған.
Үлкен сандар заңы
Бұл заңды дәлелдеудегі тамаша көмекшілер ықтималдықтар теориясының теоремалары болады, мысалы:
- Чебышев теңсіздігі.
- Чебышев теоремасы.
- Жалпыланған Чебышев теоремасы.
- Марков теоремасы.
Егер осы теоремалардың барлығын қарастыратын болсақ, онда бұл сұрақ бірнеше ондаған парақтарға созылуы мүмкін. Біздің басты міндетіміз – ықтималдық теориясын тәжірибеде қолдану. Біз сізді дәл қазір мұны істеуге шақырамыз. Бірақ бұған дейін ықтималдықтар теориясының аксиомаларын қарастырайық, олар есептерді шешуде негізгі көмекшілер болады.
Аксиомалар
Біріншісін біз мүмкін емес оқиға туралы сөйлескенде кездестірдік. Еске түсірейік: мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең. Біз өте жарқын және есте қаларлық мысал келтірдік: ауа температурасы отыз градус Цельсийде қар жауды.
Екіншісі былай естіледі: ықтималдығы бірге тең сенімді оқиға орын алады. Енді оны математикалық тіл арқылы қалай жазу керектігін көрсетейік: P(B)=1.
Үшінші: Кездейсоқ оқиға орын алуы немесе болмауы мүмкін, бірақ мүмкіндік әрқашан нөлден бірге дейін ауытқиды. Мән бірге неғұрлым жақын болса, мүмкіндік соғұрлым жоғары болады; егер мән нөлге жақындаса, ықтималдық өте төмен. Мұны математикалық тілде жазайық: 0<Р(С)<1.
Соңғы, төртінші аксиоманы қарастырайық, ол келесідей естіледі: екі оқиғаның қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Біз математикалық тілде жазамыз: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Ықтималдықтар теориясы аксиомалары есте сақтау оңай ең қарапайым ережелер. Алынған білімге негізделген кейбір мәселелерді шешуге тырысайық.
Лотерея билеті
Алдымен ең қарапайым мысал – лотереяны қарастырайық. Сәттілік үшін бір лотерея билетін сатып алдыңыз деп елестетіп көріңіз. Сіз кем дегенде жиырма рубль ұтып алу ықтималдығы қандай? Айналымға барлығы мың билет қатысады, оның біреуінде бес жүз сом, он жүз сом, елу жиырма сом, жүз бес сомнан ұтыс бар. Ықтималдықтар теориясындағы есептер мүмкіндікті табуға негізделгеніске сәт. Енді жоғарыда берілген тапсырманың шешімін бірге талдаймыз.
Егер А әрпімен бес жүз сом ұтысын белгілесек, онда А алу ықтималдығы 0,001 болады. Оны қалай алдық? "Сәтті" билеттер санын олардың жалпы санына бөлу керек (бұл жағдайда: 1/1000).
B – жүз рубль ұтысы, ықтималдығы 0,01 болады. Енді біз алдыңғы әрекеттегідей принцип бойынша әрекет еттік (10/1000)
C - ұтыс жиырма рубльге тең. Ықтималдылықты табыңыз, ол 0,05-ке тең.
Қалған билеттер бізді қызықтырмайды, өйткені олардың жүлде қоры шартта көрсетілгеннен аз. Төртінші аксиоманы қолданайық: Кем дегенде жиырма рубль ұтып алу ықтималдығы P(A)+P(B)+P(C). P әрпі осы оқиғаның пайда болу ықтималдығын білдіреді, біз оларды алдыңғы қадамдарда таптық. Қажетті деректерді қосу ғана қалады, жауапта біз 0, 061 аламыз. Бұл сан тапсырманың сұрағына жауап болады.
Карталық палуба
Ықтималдықтар теориясының есептері күрделірек болуы мүмкін, мысалы, келесі тапсырманы қабылдаңыз. Сіздің алдыңызда отыз алты карта палубасы. Сіздің міндетіңіз - үйінді араластырмай қатарынан екі картаны салу, бірінші және екінші карталар эйс болуы керек, костюм маңызды емес.
Біріншіден, бірінші картаның Эйс болу ықтималдығын табайық, ол үшін төртті отыз алтыға бөлеміз. Олар оны бір жаққа қойды. Біз екінші картаны шығарамыз, ол үш отыз бестен ықтималдығы бар эйс болады. Екінші оқиғаның ықтималдығы біз қай картаны бірінші салғанымызға байланысты, бізді қызықтырадыбұл Эйс болды ма, жоқ па. Бұдан B оқиғасы А оқиғасына байланысты болады.
Келесі қадам бір уақытта орындалу ықтималдығын табу, яғни А мен В көбейтеміз. Олардың көбейтіндісі келесі түрде табылады: бір оқиғаның ықтималдығы басқа оқиғаның шартты ықтималдығына көбейтіледі, біз оны есептейміз., бірінші оқиға орын алды деп есептесек, яғни бірінші картамен біз эйс тарттык.
Бәрі түсінікті болу үшін оқиғаның шартты ықтималдығы сияқты элементке белгі берейік. Ол А оқиғасы орын алды деп есептелінеді. Мынадай есептелген: P(B/A).
Мәселені шешуді жалғастырыңыз: P(AB)=P(A)P(B/A) немесе P (AB)=P(B)P(A/B). Ықтималдылық (4/36)((3/35)/(4/36). Жүздікке дейін дөңгелектеу арқылы есептеңіз. Бізде: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Екі эйсті қатарынан салу ықтималдығы тоғыз жүздікке тең. Мән өте кішкентай, демек оқиғаның орын алу ықтималдығы өте аз.
Ұмытылған нөмір
Ықтималдықтар теориясымен зерттелетін тапсырмалардың тағы бірнеше нұсқасын талдауды ұсынамыз. Сіз осы мақалада олардың кейбірін шешудің мысалдарын көрдіңіз, келесі мәселені шешуге тырысайық: бала досының телефон нөмірінің соңғы санын ұмытып кетті, бірақ қоңырау өте маңызды болғандықтан, ол бәрін кезекпен тере бастады. Оның үш реттен көп емес қоңырау шалу ықтималдығын есептеу керек. Ықтималдықтар теориясының ережелері, заңдары және аксиомалары белгілі болса, мәселені шешу ең қарапайым болып табылады.
Көрер алдындашешім, оны өзіңіз шешуге тырысыңыз. Біз соңғы сан нөлден тоғызға дейін болуы мүмкін екенін білеміз, яғни барлығы он мән бар. Дұрысын алу ықтималдығы 1/10.
Содан кейін оқиғаның шығу нұсқаларын қарастыру керек, бала дұрыс болжап, бірден дұрыс ұпай жинады делік, мұндай оқиғаның ықтималдығы 1/10. Екінші нұсқа: бірінші қоңырау - жіберіп алу, ал екіншісі - нысанаға. Біз мұндай оқиғаның ықтималдығын есептейміз: 9/10-ды 1/9-ға көбейтеміз, нәтижесінде біз де 1/10 аламыз. Үшінші нұсқа: бірінші және екінші қоңыраулар дұрыс емес мекенжайда болды, үшіншіден ғана бала қалаған жеріне жетті. Біз мұндай оқиғаның ықтималдығын есептейміз: 9/10-ды 8/9-ға және 1/8-ге көбейтеміз, нәтижесінде 1/10 аламыз. Мәселенің шарты бойынша бізді басқа нұсқалар қызықтырмайды, сондықтан нәтижелерді қосу бізге қалады, нәтижесінде бізде 3/10. Жауап: Баланың үш реттен көп емес қоңырау шалу ықтималдығы 0,3.
Сандары бар карталар
Алдарыңызда тоғыз карта бар, олардың әрқайсысында бірден тоғызға дейінгі сандар жазылған, сандар қайталанбайды. Олар қорапқа салынып, мұқият араластырылды.
ықтималдығын есептеу керек.
- жұп сан шығады;
- екі таңбалы.
Шешімге көшпес бұрын, m - сәтті істердің саны, ал n - опциялардың жалпы саны екенін шарттайық. Санның жұп болу ықтималдығын табыңыз. Төрт жұп сан бар екенін есептеу қиын болмайды, бұл біздің m болады, барлығы тоғыз нұсқа бар, яғни m=9. Содан кейін ықтималдық0, 44 немесе 4/9 тең.
Екінші жағдайды қарастырайық: опциялар саны тоғыз және сәтті нәтижелер мүлде болуы мүмкін емес, яғни m нөлге тең. Тартылған картада екі таңбалы санның болу ықтималдығы да нөлге тең.
