Көптеген адамдардың кездейсоқ оқиғаларды есептеуге болатын-болмайтыны туралы ойлануы екіталай. Қарапайым тілмен айтқанда, сүйектің қай жағы келесіде түсетінін білу шынайы ма? Дәл осы сұрақты ықтималдық теориясы сияқты оқиғаның ықтималдығы кеңінен зерттейтін ғылымның негізін қалаған екі ұлы ғалым қойды.
Шығу орны
Егер сіз ықтималдықтар теориясы сияқты ұғымға анықтама беруге тырыссаңыз, келесіні аласыз: бұл кездейсоқ оқиғалардың тұрақтылығын зерттейтін математиканың бір саласы. Әрине, бұл концепция шын мәнінде бүкіл мәнін ашпайды, сондықтан оны толығырақ қарастыру қажет.
Мен теорияны жасаушылардан бастағым келеді. Жоғарыда айтылғандай, олардың екеуі болды, бұл Пьер Ферма және Блез Паскаль. Алғашқылардың бірі болып формулалар мен математикалық есептеулер арқылы оқиғаның нәтижесін есептеуге тырысты. Тұтастай алғанда, бұл ғылымның негіздері ертеде пайда болдыОрта ғасыр. Сол кезде әртүрлі ойшылдар мен ғалымдар құмар ойындарды, мысалы, рулетка, крапс және т.б. талдауға тырысты, осылайша белгілі бір санның құлдырауының үлгісі мен пайызын белгіледі. Іргетасы он жетінші ғасырда жоғарыда аталған ғалымдармен қаланды.
Алғашында олардың еңбегін осы саладағы үлкен жетістіктерге жатқызуға болмайды, өйткені олардың істегендерінің барлығы жай ғана эмпирикалық фактілер болды, ал эксперименттер формулаларды қолданбай, көрнекі түрде орнатылды. Уақыт өте келе сүйек лақтыруды бақылау нәтижесінде пайда болған керемет нәтижелерге қол жеткізілді. Дәл осы құрал алғашқы түсінікті формулаларды шығаруға көмектесті.
Associates
«Ықтималдықтар теориясы» (оқиғаның ықтималдығы дәл осы ғылымда қарастырылған) деген тақырыпты зерттеу барысында Кристиан Гюйгенс сияқты тұлғаны айтпай кету мүмкін емес. Бұл адам өте қызық. Ол да жоғарыда келтірілген ғалымдар сияқты кездейсоқ құбылыстардың заңдылығын математикалық формулалар түрінде шығаруға тырысты. Бір қызығы, ол мұны Паскаль мен Фермамен бірге жасамаған, яғни оның барлық шығармалары бұл ақыл-ойлармен ешбір жағдайда қиылыспаған. Гюйгенс ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын шығарды.
Бір қызығы, оның жұмысы пионер жұмыстарының нәтижесінен көп бұрын, дәлірек айтсақ, жиырма жыл бұрын шыққан. Белгіленген ұғымдардың ішінде ең танымалдары:
- ықтималдық концепциясы кездейсоқтық шамасы ретінде;
- дискретті күтужағдайлар;
- ықтималдықтарды көбейту және қосу теоремалары.
Сондай-ақ мәселені зерттеуге елеулі үлес қосқан Джейкоб Бернуллиді де еске алмау мүмкін емес. Ешкімге тәуелсіз өз бетінше сынақтар жүргізе отырып, ол үлкен сандар заңының дәлелін келтіре алды. Өз кезегінде, ХІХ ғасырдың басында жұмыс істеген ғалымдар Пуассон мен Лаплас бастапқы теоремаларды дәлелдей алды. Дәл осы сәттен бастап ықтималдықтар теориясы бақылаулар барысындағы қателерді талдау үшін қолданыла бастады. Бұл ғылымды орыс ғалымдары, дәлірек айтсақ Марков, Чебышев, Дяпуновтар да айналып өте алмады. Ұлы данышпандардың жасаған еңбектеріне сүйене отырып, олар бұл пәнді математиканың бір саласы ретінде бекітті. Бұл сандар он тоғызыншы ғасырдың аяғында жұмыс істеді және олардың үлесінің арқасында келесі құбылыстар болды:
- үлкен сандар заңы;
- Марков тізбек теориясы;
- орталық шек теоремасы.
Сонымен, ғылымның туу тарихымен және оған әсер еткен негізгі адамдармен бәрі азды-көпті түсінікті. Енді барлық фактілерді нақтылау уақыты келді.
Негізгі ұғымдар
Заңдар мен теоремаларға тоқталмас бұрын ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын зерттеген жөн. Оқиға онда басты рөлді алады. Бұл тақырып өте көлемді, бірақ онсыз басқаның бәрін түсіну мүмкін емес.
Ықтималдық теориясындағы оқиға – эксперимент нәтижелерінің кез келген жиынтығы. Бұл құбылыстың тұжырымдамалары соншалықты көп емес. Сонымен, ғалым Лотман,осы салада жұмыс істеп, бұл жағдайда біз «болмағанымен, болған нәрсе туралы айтып отырмыз» деді.
Кездейсоқ оқиғалар (ықтималдықтар теориясы оларға ерекше назар аударады) – пайда болу мүмкіндігі бар кез келген құбылысты мүлде білдіретін ұғым. Немесе, керісінше, көптеген шарттар орындалған кезде бұл сценарий болмауы мүмкін. Сондай-ақ, бұл орын алған құбылыстардың бүкіл көлемін қамтитын кездейсоқ оқиғалар екенін білу керек. Ықтималдық теориясы барлық шарттарды үнемі қайталауға болатынын көрсетеді. Бұл олардың мінез-құлқы "тәжірибе" немесе "сынақ" деп аталды.
Белгілі бір оқиға – берілген сынақта 100% болатын оқиға. Сәйкесінше, мүмкін емес оқиға - болмайтын оқиға.
Әрекеттер жұбының комбинациясы (шартты түрде А және В жағдайы) бір уақытта болатын құбылыс. Олар AB ретінде белгіленген.
А және В оқиғаларының жұптарының қосындысы С, басқаша айтқанда, егер олардың ең болмағанда біреуі (А немесе В) орын алса, онда С шығады. Сипатталған құбылыстың формуласы былай жазылады.: C=A + B.
Ықтималдықтар теориясындағы бөлек оқиғалар екі жағдайдың бір-бірін жоққа шығаратынын білдіреді. Олар ешқашан бір уақытта бола алмайды. Ықтималдық теориясындағы бірлескен оқиғалар олардың антиподтары болып табылады. Бұл егер А орын алса, ол В-ға кедергі жасамайтынын білдіреді.
Қарама-қарсы оқиғалар (ықтималдық теориясы оларды егжей-тегжейлі қарастырады) түсінуге оңай. Олармен салыстырмалы түрде күресу жақсы. Олар дерлік бірдейжәне ықтималдықтар теориясындағы үйлеспейтін оқиғалар. Бірақ олардың айырмашылығы - көптеген құбылыстардың бірі бәрібір болуы керек.
Балама оқиғалар – мүмкіндігі тең болатын әрекеттер. Түсінікті болу үшін, біз монетаның лақтырылуын елестете аламыз: оның бір жағының құлауы екінші жағының түсу ықтималдығы бірдей.
Қайырымды оқиғаны мысал арқылы көру оңайырақ. В эпизоды мен А эпизоды бар делік. Біріншісі - тақ санның пайда болуымен сүйектің лақтырылуы, екіншісі - бес санының матрицадағы пайда болуы. Сонда А Б-ге ұнайды екен.
Ықтималдық теориясындағы тәуелсіз оқиғалар тек екі немесе одан да көп жағдайларға проекцияланады және кез келген әрекеттің екіншісінен тәуелсіздігін білдіреді. Мысалы, А - тиын лақтырылған кезде құйрықтың жоғалуы, ал В - палубадан домкраттың суреті. Олар ықтималдықтар теориясындағы тәуелсіз оқиғалар. Осы сәтте түсінікті болды.
Ықтималдық теориясындағы тәуелді оқиғалар да олардың жиыны үшін ғана рұқсат етіледі. Олар бірінің екіншісіне тәуелділігін білдіреді, яғни В құбылысы А бұрын болған немесе керісінше болмаған жағдайда ғана болуы мүмкін, бұл В үшін негізгі шарт болған кезде.
Бір компоненттен тұратын кездейсоқ эксперименттің нәтижесі қарапайым оқиғалар болып табылады. Ықтималдықтар теориясы бұл тек бір рет болған құбылыс деп түсіндіреді.
Негізгі формулалар
Сонымен, «оқиға», «ықтималдық теориясы»,бұл ғылымның негізгі терминдерінің анықтамасы да берілді. Енді маңызды формулалармен тікелей танысу уақыты келді. Бұл өрнектер ықтималдықтар теориясы сияқты күрделі пәндегі барлық негізгі ұғымдарды математикалық түрде растайды. Оқиғаның ықтималдығы мұнда да үлкен рөл атқарады.
Комбинаториканың негізгі формулаларынан бастаған жөн. Ал оларға өтпес бұрын, оның не екенін қарастырған жөн.
Комбинаторика ең алдымен математиканың бір саласы болып табылады, ол бүтін сандардың орасан зор санын, сонымен қатар сандардың өздерінің де, олардың элементтерінің де әртүрлі алмастыруларын, әртүрлі мәліметтерді және т.б. пайда болуына әкелетін зерттеумен айналысады. бірқатар комбинациялар. Ықтималдықтар теориясынан басқа, бұл сала статистика, информатика және криптография үшін маңызды.
Енді біз формулалардың өзін көрсетуге және оларды анықтауға көшеміз.
Алғашқысы ауыстырулар санының өрнегі болады, ол келесідей болады:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Теңдеу элементтер тек ретімен ерекшеленсе ғана қолданылады.
Енді орналастыру формуласы қарастырылады, ол келесідей:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - м)!
Бұл өрнек элементтің ретіне ғана емес, оның құрамына да қатысты.
Комбинаториканың үшінші теңдеуі, сонымен қатар соңғысы, комбинациялар санының формуласы деп аталады:
C_n^m=n !: ((n -м))!:м !
Комбинациялар – сәйкесінше реті жоқ таңдаулар және бұл ереже оларға қолданылады.
Комбинаторика формулаларын табу оңай болып шықты, енді ықтималдықтардың классикалық анықтамасына көшуге болады. Бұл өрнек келесідей көрінеді:
P(A)=m: n.
Бұл формулада m – А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны, ал n – абсолютті барлық бірдей мүмкін және қарапайым нәтижелердің саны.
Өрнектер саны көп, мақала олардың барлығын қамтымайды, бірақ олардың ең маңыздысы қозғалады, мысалы, оқиғалар қосындысының ықтималдығы:
P(A + B)=P(A) + P(B) - бұл теорема тек үйлеспейтін оқиғаларды қосуға арналған;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - және бұл тек үйлесімділерді қосуға арналған.
Оқиғалардың туындау ықтималдығы:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – бұл теорема тәуелсіз оқиғаларға арналған;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - және бұл нашақорлар.
Оқиға формуласы тізімді аяқтайды. Ықтималдықтар теориясы бізге Байес теоремасы туралы айтады, ол келесідей көрінеді:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Бұл формулада H1, H2, …, H гипотезалардың толық тобы.
Осы жерден тоқталайық, содан кейін тәжірибеден нақты есептерді шешу үшін формулаларды қолдану мысалдары қарастырылады.
Мысалдар
Егер сіз кез келген бөлімді мұқият зерттесеңізматематика, ол жаттығуларсыз және үлгі шешімдерсіз орындалмайды. Ықтималдық теориясы да солай: мұндағы оқиғалар, мысалдар ғылыми есептеулерді растайтын ажырамас компонент болып табылады.
Орналастыру санының формуласы
Карталар палубасында бір номиналды құнынан бастап отыз карта бар делік. Келесі сұрақ. Номиналды құны бір және екі карталар бір-бірінің жанында болмайтындай етіп палубаны жинақтаудың неше жолы бар?
Тапсырма қойылды, енді оны шешуге көшейік. Алдымен отыз элементтің орын ауыстыру санын анықтау керек, ол үшін жоғарыдағы формуланы аламыз, ол P_30=30 болып шығады!.
Осы ережеге сүйене отырып, біз палубаны әртүрлі тәсілдермен бүктеудің қанша нұсқасы бар екенін анықтаймыз, бірақ олардан бірінші және екінші карталар келесілерді алып тастау керек. Мұны істеу үшін біріншісі екіншісінен жоғары болғанда опциядан бастайық. Бірінші карта жиырма тоғыз орынды алады екен - біріншіден жиырма тоғызыншыға дейін, ал екінші карта екіншіден отызыншыға дейін, ол жұп карталар үшін жиырма тоғыз орынға шығады. Өз кезегінде, қалғандары жиырма сегіз орынға ие болуы мүмкін және кез келген тәртіпте. Яғни, жиырма сегіз картаны ауыстыру үшін P_28=28 жиырма сегіз опция бар!
Нәтижесінде, егер бірінші карта екіншісінен асып кеткенде шешімді қарастыратын болсақ, 29 ⋅ 28 қосымша мүмкіндіктер бар екен!=29!
Бірдей әдісті қолдана отырып, бірінші карта екіншісінің астында болған жағдайда артық опциялардың санын есептеу керек. Бұл да 29 ⋅ 28 болып шығады!=29!
Демек, 2 ⋅ 29 қосымша опция бар!, ал палубаны салудың 30 міндетті жолы бар! - 2 ⋅ 29!. Тек санау ғана қалды.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Енді бірден жиырма тоғызға дейінгі барлық сандарды бірге көбейту керек, сосын соңында барлығын 28-ге көбейту керек. Жауап: 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Мысалдың шешімі. Орналастыру нөмірі формуласы
Бұл мәселеде он бес томды бір сөреге қоюдың қанша жолы бар екенін білу керек, бірақ барлығы отыз том болған жағдайда.
Бұл мәселенің шешімі алдыңғыға қарағанда сәл оңайырақ. Белгілі формуланы пайдаланып, он бестен тұратын отыз томнан жалпы орындар санын есептеу керек.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2073 30
Жауап сәйкесінше 202 843 204 931 727 360 000 болады.
Енді тапсырманы сәл қиындатып алайық. Бір сөреде тек он бес томдық болуы мүмкін болған жағдайда, отыз кітапты екі сөреге орналастырудың қанша жолы бар екенін анықтау керек.
Шешімді бастамас бұрын, кейбір мәселелер бірнеше жолмен шешілетінін түсіндіргім келеді, сондықтан бұл жолдың екі жолы бар, бірақ екеуінде де бірдей формула қолданылады.
Бұл есепте сіз алдыңғысынан жауап ала аласыз, өйткені онда біз сөреге он бес кітапты қанша рет толтыруға болатынын есептедік.басқаша. A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
болды.
Екінші сөрені ауыстыру формуласы арқылы есептейміз, өйткені оған он бес кітап салынған, ал он бесі ғана қалған. P_15=15 формуласын қолданыңыз!.
Қорытындысы A_30^15 ⋅ P_15 жол болады, бірақ, сонымен қатар, отыздан он алтыға дейінгі барлық сандардың көбейтіндісін бірден он беске дейінгі сандардың көбейтіндісіне көбейту керек болады, өйткені нәтижесінде бірден отызға дейінгі барлық сандардың көбейтіндісі, сондықтан жауап 30 болады!
Бірақ бұл мәселені басқа жолмен шешуге болады - оңайырақ. Ол үшін отыз кітапқа бір сөре бар деп елестете аласыз. Олардың барлығы осы жазықтықта орналастырылған, бірақ шарт бойынша екі сөре болуы керек болғандықтан, біз бір ұзынды екіге бөлеміз, әрқайсысы екі он бес болып шығады. Осыдан орналастыру опциялары P_30=30 болуы мүмкін екені белгілі болды!.
Мысалдың шешімі
комбинация санының формуласы
Енді біз комбинаторикадан үшінші есептің нұсқасын қарастырамыз. Он бес кітапты реттеудің қанша жолы бар екенін білуіңіз керек, егер сізге мүлдем ұқсас отыз кітаптың ішінен таңдау қажет.
Шешім үшін, әрине, комбинациялар санының формуласы қолданылады. Шарттан бірдей он бес кітаптың реті маңызды емес екені белгілі болды. Сондықтан бастапқыда он бестен тұратын отыз кітаптың жалпы санын білу керек.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: он бес!=155 117 520
Болды. Бұл формуланы қолданып, ең қысқа мерзімде мүмкін болдымұндай есепті шешсеңіз, жауап сәйкесінше 155 117 520 болады.
Мысалдың шешімі. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы
Жоғарыдағы формула арқылы қарапайым есептің жауабын таба аласыз. Бірақ бұл визуалды түрде көруге және әрекеттер барысын қадағалауға көмектеседі.
Есепте урнада он абсолютті бірдей шар бар екені берілген. Оның төртеуі сары, алтауы көк. Урнадан бір доп алынады. Сізге көк түс алу ықтималдығын анықтау керек.
Мәселені шешу үшін көк шарды алуды А оқиғасы ретінде белгілеу керек. Бұл тәжірибенің он нәтижесі болуы мүмкін, олар өз кезегінде қарапайым және бірдей ықтимал. Сонымен қатар, онның алтауы А оқиғасы үшін қолайлы. Біз мына формула бойынша шешеміз:
P(A)=6: 10=0, 6
Бұл формуланы қолданып, көк шарды алу ықтималдығы 0,6 екенін білдік.
Мысалдың шешімі. Оқиғалар қосындысының ықтималдығы
Енді нұсқа ұсынылады, ол оқиғалар қосындысының ықтималдығының формуласы арқылы шешіледі. Сонымен, екі жәшік болған жағдайда, біріншісінде бір сұр және бес ақ шар, екіншісінде сегіз сұр және төрт ақ шар бар. Нәтижесінде олардың біреуі бірінші және екінші жәшіктерден алынды. Алынған шарлардың ақ және сұр болуы мүмкін екенін білуіңіз керек.
Бұл мәселені шешу үшін оқиғаларды белгілеу керек.
- Сонымен, A - бірінші қораптан сұр шарды алыңыз: P(A)=1/6.
- A’ – бірінші қораптан ақ допты да алыңыз: P(A')=5/6.
- B – сұр шар екінші қораптан шығарылды: P(B)=2/3.
- B’ – екінші қораптан сұр шарды алыңыз: P(B')=1/3.
Мәселенің шартына сәйкес құбылыстардың бірі болуы керек: AB' немесе A'B. Формула арқылы мынаны аламыз: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Енді ықтималдықты көбейту формуласы қолданылды. Әрі қарай, жауапты білу үшін оларды қосу теңдеуін қолдану керек:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Формула арқылы ұқсас есептерді осылай шешуге болады.
Нәтиже
Мақалада оқиғаның ықтималдығы шешуші рөл атқаратын «Ықтималдықтар теориясы» тақырыбы туралы ақпарат берілген. Әрине, бәрі ескерілген жоқ, бірақ ұсынылған мәтінге сүйене отырып, математиканың осы бөлімімен теориялық түрде танысуға болады. Қарастырылып отырған ғылым тек кәсіби жұмыста ғана емес, күнделікті өмірде де пайдалы болуы мүмкін. Оның көмегімен сіз кез келген оқиғаның кез келген мүмкіндігін есептей аласыз.
Мәтінде ықтималдықтар теориясының ғылым ретінде қалыптасу тарихындағы айтулы даталар мен оған еңбектері салынған адамдардың есімдері де сөз болды. Міне, адамның қызығуы адамдардың кездейсоқ оқиғаларды да есептеуді үйренуіне әкелді. Бір кездері олар жай ғана қызығушылық танытты, бірақ бүгін бұл туралы бәрі біледі. Ал болашақта бізді не күтіп тұрғанын, қарастырылып жатқан теорияға қатысты тағы қандай тамаша жаңалықтар ашылатынын ешкім айта алмайды. Бірақ бір нәрсе анық – зерттеу бір орында тұрмайды!
