Бесбұрышты призманы қалай саламыз? Фигураның көлемі және бетінің ауданы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Геометрия есептерін шешуде бесбұрышты призма үшбұрышты, төртбұрышты немесе алтыбұрышты призмаларға қарағанда әлдеқайда сирек кездеседі. Дегенмен, бұл пішіннің негізгі қасиеттерін қарап шығу, сондай-ақ оны салуды үйрену пайдалы.

Бесбұрышты призма дегеніміз не?

Бұл үш өлшемді фигура, оның табандары бесбұрыштар, ал қабырғалары параллелограммдар. Осы параллелограммдардың әрқайсысы параллель табандарына перпендикуляр болса, онда мұндай призманы тікбұрышты деп атайды. Тік бұрышты бесбұрышты призманың бүйір беті бес төртбұрыштан тұрады. Оның үстіне олардың әрқайсысының табанына іргелес жатқан қабырғасы бесбұрыштың қабырғасының сәйкес ұзындығына тең.

Егер бесбұрыш дұрыс болса, яғни оның барлық қабырғалары мен бұрыштары бір-біріне тең болса, онда мұндай тікбұрышты призманы дұрыс деп атайды. Әрі қарай мақалада біз осы нақты фигураның қасиеттерін қарастырамыз.

Призма элементтері

Ол үшін, кез келген призма сияқты,келесі элементтер тән:

• беттер немесе бүйірлер кеңістіктегі фигураны байланыстыратын жазықтықтардың бөліктері;
• төбелер - үш жақтың қиылысу нүктелері;
• қабырғалар - фигураның екі жағының қиылысу сегменттері.

Барлық аталған элементтердің сандары бір-бірімен келесі теңдікпен байланысты:

Шет саны=шыңдар саны + беттер саны - 2

Бұл өрнек көпбұрышқа арналған Эйлер формуласы деп аталады.

Бесбұрышты призмада қабырғалардың саны жетіге тең (екі табан + бес төртбұрыш). Шыңдардың саны - 10 (әр негіз үшін бес). Бұл жағдайда жиектер саны:

Қабырғалар саны=10 + 7 - 2=15

Он жиегі призманың табандарына жатады, ал бес жиегі тіктөртбұрыштардан тұрады.

Бесбұрышты призманы қалай салуға болады?

Бұл сұрақтың жауабы нақты тапсырмаға байланысты. Егер ерікті призманы салу қажет болса, онда кез келген бесбұрышты салу керек. Осыдан кейін бесбұрыштың әрбір төбесінен ұзындығы бірдей бес параллель кесінді сызыңыз. Содан кейін сегменттердің жоғарғы ұштарын қосыңыз. Нәтиже бесбұрышты ерікті призма.

Егер дұрыс призманы салу қажет болса, онда тапсырманың барлық күрделілігі дұрыс бесбұрышты алуға келеді. Бұл көпбұрышты салудың бірнеше жолы бар. Мұнда біз тек екі жолды қарастырамыз.

Бірінші әдіс - циркульмен шеңбер салу. Содан кейін ерікті диаметр сызыладышеңбер және одан бес бұрыш транспортир арқылы 72^o(572^o=360^{o арқылы есептеледі.). Әрбір бұрышты санаған кезде шеңберге ойық жасалады. Тіктөртбұрышты салу үшін белгіленген ойықтарды түзу сегменттермен қосу керек.}

Екінші әдіс тек циркуль мен сызғышты пайдалануды қамтиды. Бұл алдыңғысымен салыстырғанда біршама күрделі. Төменде осы құрастырудың әрбір қадамын егжей-тегжейлі түсіндіретін бейне берілген.

Жұлдыздың ұштарын қоссаңыз, бесбұрышты салу оңай екенін ескеріңіз. Дәл кәдімгі бесбұрыш салу қажет болмаса, қолмен сызылған жұлдызша әдісін қолдануға болады.

Бесбұрыш сызылған бойда оның әрбір төбесінен бес бірдей параллель кесінді сызып, олардың төбелерін қосыңыз. Нәтиже бесбұрышты призма.

Пішін аймағы

Енді бесбұрышты призманың ауданын қалай табуға болатынын қарастырыңыз. Төмендегі сурет оның дамуын көрсетеді. Қажетті аудан екі бірдей бесбұрыш пен бір-біріне тең бес тіктөртбұрыштан құралғанын көруге болады.

Фигураның бүкіл бетінің ауданы формуламен өрнектеледі:

S=2S_o+ 5S_p

Мұнда o және p индекстері сәйкесінше негізді және тіктөртбұрышты білдіреді. Бесбұрыштың қабырғасының ұзындығын a деп, ал фигураның биіктігін h деп белгілейік. Содан кейін тіктөртбұрыш үшін жазамыз:

S_p=ah

Бесбұрыштың ауданын есептеу үшін,әмбебап формуланы пайдаланыңыз:

S=n/4a²ctg(pi/n)

Мұндағы n – көпбұрыштың қабырғаларының саны. n=5 орнына қойсақ, мынаны аламыз:

S₅=5/4a²ctg(pi/5) ≈ 1, 72a ²

Алынған теңдіктің дәлдігі 3 ондық таңба, бұл кез келген мәселені шешуге жеткілікті.

Енді негіз мен бүйір бетінің алынған аудандарының қосындысын табу қалды. Бізде:

S=21, 72a² + 5ah=3, 44a² + 5a сағ

Алынған формула тек тікбұрышты призма үшін жарамды екенін есте ұстаған жөн. Қиғаш фигура жағдайында оның бүйір бетінің ауданы барлық параллелограммдарға перпендикуляр болуы керек кесіндінің периметрі туралы білім негізінде табылады.

Фигураның көлемі

Бесбұрышты призманың көлемін есептеу формуласы басқа призма немесе цилиндр үшін ұқсас өрнектен еш айырмашылығы жоқ. Фигураның көлемі оның биіктігі мен табанының ауданының көбейтіндісіне тең:

V=S_oh

Егер қарастырылып отырған призма тікбұрышты болса, онда оның биіктігі тіктөртбұрыштар түзетін жиектің ұзындығына тең. Жоғарыда дұрыс бесбұрыштың ауданы жоғары дәлдікпен есептелді. Бұл мәнді көлем формуласына ауыстырыңыз және кәдімгі бесбұрышты призма үшін қажетті өрнекті алыңыз:

V=1, 72a²сағ

Осылайша, көлем мен беттің ауданын есептеуЕгер табанның жағы мен фигураның биіктігі белгілі болса, тұрақты бесбұрышты призма мүмкін болады.