Әрбір орта мектеп оқушысы доп, цилиндр, конус, пирамида және призма сияқты кеңістіктік фигуралар туралы біледі. Бұл мақаладан сіз үшбұрышты призманың не екенін және оның қандай қасиеттерімен сипатталатынын білесіз.
Мақалада қай фигураны қарастырамыз?
Үшбұрышты призма призмалар класының ең қарапайым өкілі болып табылады, оның қабырғалары, төбелері және шеттері кез келген басқа ұқсас кеңістіктік фигураларға қарағанда азырақ. Бұл призма ерікті пішінге ие болуы мүмкін, бірақ міндетті түрде бір-біріне тең және кеңістікте параллель жазықтықта болуы керек екі үшбұрыштан және жалпы жағдайда бір-біріне тең емес үш параллелограммнан құралған. Түсінікті болу үшін сипатталған сурет төменде көрсетілген.
Үшбұрышты призманы қалай алуға болады? Бұл өте қарапайым: үшбұрышты алып, оны кеңістіктегі қандай да бір векторға көшіру керек. Содан кейін екі үшбұрыштың бірдей төбелерін кесінділерімен қосыңыз. Осылайша біз фигураның жақтауын аламыз. Егер біз қазір бұл жақтаудың қатты жақтарын шектейтінін елестетсек, онда біз аламызбейнеленген үш өлшемді фигура.
Зерттелетін призма қандай элементтерден тұрады?
Үшбұрышты призма - бұл көпбұрыш, яғни ол бірнеше қиылысатын беттерден немесе қабырғалардан жасалған. Оның бес қабырғасы бар (екі үшбұрышты және үш төртбұрышты) жоғарыда көрсетілген. Үшбұрышты қабырғалар негіз деп аталады, ал параллелограммдар бүйірлік беттер деп аталады.
Кез келген көп қырлы сияқты, зерттелетін призманың төбелері бар. Пирамидадан айырмашылығы, кез келген призманың төбелері тең. Үшбұрышты фигурада олардың алтауы бар. Олардың барлығы екі негізге де жатады. Екі негіз және бір бүйір жиегі әр шыңында қиылысады.
Егер фигураның қабырғаларының санына төбелер санын қоссақ, содан кейін алынған мәннен 2 санын азайтсақ, онда қарастырылып отырған призманың неше қыры бар деген сұраққа жауап аламыз.. Олардың тоғызы бар: алтауы негіздерді шектейді, ал қалған үшеуі параллелограммдарды бір-бірінен ажыратады.
Пішін түрлері
Алдыңғы абзацтарда берілген үшбұрышты призманың жеткілікті толық сипаттамасы фигураның бірнеше түріне сәйкес келеді. Олардың жіктелуін қарастырыңыз.
Зерттелетін призма көлбеу және түзу болуы мүмкін. Олардың арасындағы айырмашылық бүйірлік беттердің түріне жатады. Түзу призмада олар тіктөртбұрыштар, ал көлбеу призмада олар жалпы параллелограммдар. Төменде бірі түзу және бір қиғаш табандары үшбұрышты екі призма көрсетілген.
Көлбеу призмадан айырмашылығы, түзу призманың табандары мен арасындағы барлық екібұрышты бұрыштары болады.жақтары 90°. Соңғы факт нені білдіреді? Түзу фигурадағы үшбұрышты призманың биіктігі, яғни табандарының арақашықтығы кез келген бүйір қырының ұзындығына тең. Қиғаш фигура үшін биіктік әрқашан оның кез келген бүйір жиектерінің ұзындығынан аз болады.
Үшбұрышты негізі бар призма дұрыс емес және дұрыс болуы мүмкін. Егер оның табандары қабырғалары тең үшбұрыштар болса, ал фигураның өзі түзу болса, онда ол дұрыс деп аталады. Тұрақты призманың шағылысу жазықтықтары мен айналу осьтерін қоса алғанда, айтарлықтай жоғары симметрия бар. Кәдімгі призма үшін оның көлемін және беттердің бетінің ауданын есептеу формулалары төменде келтірілген. Сонымен, ретімен.
Үшбұрышты призманың ауданы
Сәйкес формуланы алуды жалғастырмас бұрын, дұрыс призманы ашайық.
Бірдей тіктөртбұрыштардың үш ауданын және қабырғалары бірдей тең үшбұрыштардың екі ауданын қосу арқылы фигураның ауданын есептеуге болатыны анық. Призманың биіктігін h әрпімен, ал оның үшбұрышты табанының қабырғасын - а әрпімен белгілейік. Сонда S3 үшбұрышының ауданы үшін бізде:
S3=√3/4a2
Бұл өрнек үшбұрыштың биіктігін табанына көбейтіп, нәтижені 2-ге бөлу арқылы алынады.
Тіктөртбұрыштың ауданы үшін S4 аламыз:
S4=ah
Барлық жақтарының аудандарын қосқанда біз фигураның жалпы бетінің ауданын аламыз:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3aсағ
Мұнда бірінші мүше табандардың ауданын көрсетеді, ал екіншісі үшбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын көрсетеді.
Бұл формула тек кәдімгі фигура үшін жарамды екенін есте сақтаңыз. Дұрыс емес көлбеу призма жағдайында ауданды есептеу кезең-кезеңімен жүргізілуі керек: алдымен негіздердің ауданын, содан кейін - бүйір бетін анықтаңыз. Соңғысы бүйірлік жиек пен бүйірлік беттерге перпендикуляр кесілген периметрдің көбейтіндісіне тең болады.
Фигураның көлемі
Үшбұрышты призманың көлемін осы класстың барлық фигураларына ортақ формула арқылы есептеуге болады. Мынадай көрінеді:
V=So h
Тұрақты үшбұрышты призма жағдайында бұл формула келесі ерекше пішінді алады:
V=√3/4a2 h
Егер призма дұрыс емес, бірақ түзу болса, онда табанның ауданының орнына үшбұрыштың сәйкес ауданын ауыстыру керек. Егер призма көлбеу болса, онда негіздің ауданын анықтаудан басқа, оның биіктігін де есептеу керек. Бұл үшін әдетте, егер қабырғалар мен табандар арасындағы екібұрышты бұрыштар белгілі болса, тригонометриялық формулалар қолданылады.
