Мектептегі геометрия курсы екі үлкен бөлімге бөлінген: планиметрия және тұтас геометрия. Стереометрия кеңістік фигуралары мен олардың сипаттамаларын зерттейді. Бұл мақалада біз түзу призманың не екенін қарастырамыз және оның диагональ ұзындықтары, көлемі және бетінің ауданы сияқты қасиеттерін сипаттайтын формулаларды береміз.
Призма дегеніміз не?
Мектеп оқушыларына призманың анықтамасын атауды сұрағанда, олар бұл фигура екі бірдей параллель көпбұрыш, қабырғалары параллелограммдар арқылы қосылған деп жауап береді. Бұл анықтама мүмкіндігінше жалпы болып табылады, өйткені ол көпбұрыштардың пішініне, олардың параллель жазықтықта өзара орналасуына шарт қоймайды. Сонымен қатар, ол қосылатын параллелограммдардың болуын білдіреді, олардың класына шаршы, ромб және тіктөртбұрыш кіреді. Төменде төртбұрышты призманың не екенін көруге болады.
Призманың n + 2-ден тұратын көп қырлы (көп қырлы) екенін көреміз.қабырғалары, 2 × n төбелері және 3 × n шеттері, мұндағы n - көпбұрыштардың бірінің қабырғаларының (төбелерінің) саны.
Екі көпбұрышты әдетте фигураның табандары деп атайды, ал басқа жақтары призманың қабырғалары болып табылады.
Түзу призма түсінігі
Призмалардың әртүрлі түрлері бар. Сонымен, олар дұрыс және дұрыс емес фигуралар туралы, үшбұрышты, бесбұрышты және басқа призмалар туралы айтады, дөңес және ойыс фигуралар бар, ең соңында олар көлбеу және түзу. Соңғысы туралы толығырақ сөйлесейік.
Тік призма - көп қырлылар класының зерттелетін фигурасы, оның барлық бүйір төртбұрыштары тік бұрыштары бар. Мұндай төртбұрыштардың тек екі түрі бар - төртбұрыш және шаршы.
Фигураның қарастырылған пішінінің маңызды қасиеті бар: түзу призманың биіктігі оның бүйір жиегінің ұзындығына тең. Фигураның барлық бүйір жиектері бір-біріне тең екенін ескеріңіз. Бүйірлік беттерге келетін болсақ, жалпы жағдайда олар бір-біріне тең емес. Олардың теңдігі мүмкін, егер призма түзу болғанымен қатар ол да дұрыс болса.
Төмендегі суретте негізі бесбұрышты түзу фигура көрсетілген. Оның барлық бүйір беттері тіктөртбұрыштар екенін көруге болады.
Призма диагональдары және оның сызықтық параметрлері
Кез келген призманың негізгі сызықтық сипаттамалары оның биіктігі h және табанының қабырғаларының ұзындығы ai, мұндағы i=1, …, n. Егер негіз дұрыс көпбұрыш болса, онда оның қасиеттерін сипаттау үшін бір жақтың ұзындығын білу жеткілікті. Белгіленген сызықтық параметрлерді білу бізге бір мағыналы мүмкіндік бередіфигураның көлемі немесе беті сияқты қасиеттерін анықтаңыз.
Түзу призманың диагональдары кез келген екі көршілес емес төбелерді қосатын кесінділер. Мұндай диагоналдар үш түрлі болуы мүмкін:
- негізгі жазықтықта жатқан;
- бүйір тіктөртбұрыштардың жазықтықтарында орналасқан;
- томға жататын сандар.
Неге қатысты диагональдардың ұзындықтары n-бұрыш түріне байланысты анықталуы керек.
Бүйір тіктөртбұрыштардың диагональдары келесі формула арқылы есептеледі:
d1i=√(ai2+ h2).
Дыбыс диагональдарын анықтау үшін сәйкес негізгі диагональ мен биіктік ұзындығының мәнін білу қажет. Егер негіздің кейбір диагоналы d0i әрпімен белгіленсе, онда дыбыс диагоналы d2i келесідей есептеледі:
d2i=√(d0i2+ h2).
Мысалы, кәдімгі төртбұрышты призма жағдайында көлем диагоналының ұзындығы:
d2=√(2 × a2+ h2).
Тік бұрышты үшбұрышты призмада диагональдардың аталған үш түрінің біреуі ғана болатынын ескеріңіз: бүйірлік диагональ.
Зерттелетін пішіндер класының беті
Бет ауданы - фигураның барлық беттерінің аудандарының қосындысы. Барлық беттерді визуализациялау үшін призманы сканерлеу керек. Мысал ретінде бесбұрышты фигура үшін мұндай сыпыру төменде көрсетілген.
Жазық фигуралар саны n + 2, ал n төртбұрыштар екенін көреміз. Бүкіл сыпырудың ауданын есептеу үшін екі бірдей негіздің аудандарын және барлық төртбұрыштардың аудандарын қосыңыз. Сонда сәйкес формула келесідей болады:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Бұл теңдік призмалардың зерттелетін түрі үшін бүйір бетінің ауданы фигураның биіктігі мен оның табанының периметрінің көбейтіндісіне тең екенін көрсетеді.
So негізгі ауданын сәйкес геометриялық формуланы қолдану арқылы есептеуге болады. Мысалы, егер тік призманың табаны тікбұрышты үшбұрыш болса, онда мынаны аламыз:
So=a1 × a2 / 2.
Мұндағы a1 және a2 үшбұрыштың катеттері.
Егер негіз бұрыштары мен қабырғалары тең n-бұрыш болса, келесі формула әділ болады:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Көлем формуласы
Кез келген түрдегі призманың көлемін анықтау қиын жұмыс емес, егер оның базалық ауданы So және биіктігі h белгілі болса. Осы мәндерді бірге көбейтсек, фигураның V көлемін аламыз, яғни:
V=So × сағ.
Түзу призманың h параметрі бүйір жиегінің ұзындығына тең болғандықтан, көлемді есептеудің барлық мәселесі So ауданын есептеуге келеді. Бізден жоғарыSo анықтау үшін бірнеше сөз айтты және бірнеше формулалар берді. Мұнда тек ерікті пішінді негіз болған жағдайда оны қарапайым сегменттерге (үшбұрыштар, тіктөртбұрыштар) бөліп, әрқайсысының ауданын есептеп, содан кейін S алу үшін барлық аймақтарды қосу керек екенін ескереміз. o.
