Цилиндр: бүйір бетінің ауданы. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданының формуласы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Стереометрияны оқығанда негізгі тақырыптардың бірі «Цилиндр». Бүйір бетінің ауданы геометриялық есептерді шешуде негізгі емес болса, маңызды формула болып саналады. Дегенмен, мысалдар арқылы шарлауға және әртүрлі теоремаларды дәлелдегенде көмектесетін анықтамаларды есте сақтау маңызды.

Цилиндр тұжырымдамасы

Алдымен бірнеше анықтамаларды қарастыру керек. Оларды зерттегеннен кейін ғана цилиндрдің бүйір бетінің ауданы формуласы туралы мәселені қарастыруға болады. Осы жазба негізінде басқа өрнектерді есептеуге болады.

Цилиндрлік бет деп генератрицамен сипатталған, қозғалатын және берілген бағытқа параллель болып қалатын, бар қисық бойымен сырғанайтын жазықтық түсініледі.
Екінші анықтама да бар: цилиндрлік бет берілген қисықпен қиылысатын параллель түзулер жиынынан құралады.
Генеративті шартты түрде цилиндр биіктігі деп аталады. Ол негіздің ортасынан өтетін осьтің айналасында қозғалғанда,тағайындалған геометриялық дене алынады.
Остің астындағы фигураның екі табаны арқылы өтетін түзу сызықты білдіреді.
Цилиндр – қиылысатын бүйір бетімен және 2 параллель жазықтықпен шектелген стереометриялық дене.

Бұл үш өлшемді фигураның түрлері бар:

Дөңгелек – бағыттауы шеңбер болатын цилиндр. Оның негізгі құрамдастары – негіздің радиусы және генератрица. Соңғысы фигураның биіктігіне тең.
Тік цилиндр бар. Ол өз атауын генератрицаның фигураның негізіне перпендикулярлығына байланысты алды.
Үшінші түрі - қиғаш цилиндр. Оқулықтарда сіз оның басқа атауын да таба аласыз - «қиық негізі бар дөңгелек цилиндр». Бұл сурет негіздің радиусын, ең төменгі және ең үлкен биіктіктерді анықтайды.
Теңбүйірлі цилиндр деп дөңгелек жазықтықтың биіктігі мен диаметрі бірдей дене түсініледі.

Символдар

Дәстүрлі түрде цилиндрдің негізгі «компоненттері» келесідей аталады:

Негіздің радиусы R (сонымен қатар ол стереометриялық фигураның бірдей мәнін ауыстырады).
Генеративті – L.
Биіктігі – H.

Негізгі аумақ - S_{база(басқаша айтқанда, көрсетілген шеңбер параметрін табу керек).}

Қиық цилиндр биіктігі – h₁, h_{2(ең аз және максимум).}

Бүйір бетінің ауданы - S _{side (оны кеңейтсеңіз, сіз аласызтөртбұрыш түрі).}
Стереометриялық фигураның көлемі - V.
Жалпы бетінің ауданы – S.

Стереометриялық фигураның «компоненттері»

Цилиндрді зерттегенде бүйір бетінің ауданы маңызды рөл атқарады. Бұл бұл формуланың бірнеше басқа, күрделіректердің құрамына кіретіндігіне байланысты. Сондықтан теорияны жақсы білу керек.

Фигураның негізгі құрамдастары:

Бүйір беті. Белгілі болғандай, ол берілген қисық бойымен генератордың қозғалысының арқасында алынады.
Толық бетке бар негіздер мен бүйірлік жазықтық кіреді.
Цилиндрдің қимасы, әдетте, фигураның осіне параллель орналасқан тіктөртбұрыш болып табылады. Әйтпесе, ол ұшақ деп аталады. Ұзындығы мен ені басқа фигуралардың толық емес құрамдас бөлігі болып табылады. Сонымен, шартты түрде секцияның ұзындығы генераторлар болып табылады. Ені - стереометриялық фигураның параллель аккордтары.
Осьтік қима дененің ортасы арқылы ұшақтың орналасуын білдіреді.
Соңында, соңғы анықтама. Тангенс – цилиндрдің генератриксі арқылы өтетін және осьтік қимаға тік бұрыш жасайтын жазықтық. Бұл жағдайда бір шарт орындалуы керек. Көрсетілген генератор осьтік қиманың жазықтығына қосылуы керек.

Цилиндрмен жұмыс істеудің негізгі формулалары

Цилиндрдің бетінің ауданын қалай табуға болады деген сұраққа жауап беру үшін стереометриялық фигураның негізгі «компоненттерін» және оларды табу формулаларын зерттеу керек.

Бұл формулалар алдымен қиғаш цилиндр, содан кейін түзу үшін өрнектердің берілуімен ерекшеленеді.

Деконструкцияланған мысалдар

1-тапсырма.

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын білу қажет. АС=8 см кесіндінің диагоналы берілген (сонымен қатар ол осьтік). Генератрикспен байланыста болғанда, _{<ACD=30° болып шығады.}

Шешім. Диагональ мен бұрыштың мәндері белгілі болғандықтан, бұл жағдайда:

CD=ACcos 30°

Пікір. Осы нақты мысалдағы ACD үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш болып табылады. Бұл CD және AC бөлу бөлімі=берілген бұрыштың косинусы дегенді білдіреді. Тригонометриялық функциялардың мәнін арнайы кестеден табуға болады.

Сол сияқты AD мәнін таба аласыз:

AD=ACsin 30°

цилиндрдің бүйір бетінің ауданы формуласы

Енді келесі формуланы пайдаланып қажетті нәтижені есептеу керек: цилиндрдің бүйір бетінің ауданы «pi» көбейту нәтижесінің екі есесіне, фигураның радиусы мен биіктігіне тең. Тағы бір формуланы пайдалану керек: цилиндр негізінің ауданы. Ол радиустың квадратына «pi» көбейту нәтижесіне тең. Соңында, соңғы формула: жалпы бетінің ауданы. Ол алдыңғы екі аймақтың қосындысына тең.

2-тапсырма.

Цилиндрлер берілген. Олардың көлемі=128n см³. Қай цилиндрде ең кішісі бартолық беті?

Шешім. Алдымен фигураның көлемі мен биіктігін табу үшін формулаларды пайдалану керек.

Цилиндрдің жалпы бетінің ауданы теориядан белгілі болғандықтан, оның формуласын қолдану керек.

Егер алынған формуланы цилиндр ауданының функциясы ретінде қарастыратын болсақ, онда ең төменгі «көрсеткішке» экстремум нүктесінде жетеді. Соңғы мәнді алу үшін дифференциацияны пайдалану керек.

Формулаларды туындыларды табуға арналған арнайы кестеде көруге болады. Болашақта табылған нәтиже нөлге теңестіріліп, теңдеудің шешімі табылады.

Жауап: S_{min h=1/32 см, R=64 см жетеді.}

3-мәселе.

Стереометриялық фигура берілген - цилиндр және қима. Соңғысы стереометриялық дененің осіне параллель орналасатындай етіп жүзеге асырылады. Цилиндрдің келесі параметрлері бар: VK=17 см, h=15 см, R=5 см. Секция мен ось арасындағы қашықтықты табу керек.

Шешім.

Цилиндрдің көлденең қимасы VSCM, яғни тіктөртбұрыш деп түсінілетіндіктен, оның қабырғасы VM=h. WMC қарастырылуы керек. Үшбұрыш төртбұрышты. Осы мәлімдемеге сүйене отырып, MK=BC деген дұрыс болжамды шығаруға болады.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Осыдан MK=BC=8 см деген қорытынды жасауға болады.

Келесі қадам фигураның негізі арқылы кесінді сызу. Алынған жазықтықты ескеру қажет.

Цилиндрдің бетінің ауданын қалай табуға болады

AD – стереометриялық фигураның диаметрі. Ол мәселе мәлімдемесінде айтылған бөлімге параллель.

BC – бар тіктөртбұрыштың жазықтығында орналасқан түзу.

ABCD – трапеция. Белгілі бір жағдайда ол тең қабырғалы деп саналады, өйткені оның айналасында шеңбер суреттелген.

Алынған трапецияның биіктігін тапсаңыз, есептің басында берілген жауапты алуға болады. Атап айтқанда: ось пен сызылған қиманың арасындағы қашықтықты табу.

Ол үшін AD және ОЖ мәндерін табу керек.

Жауап: қима осьтен 3 см қашықтықта орналасқан.

Материалды біріктіру мәселелері

1-мысал.

Цилиндр берілген. Одан әрі ерітіндіде бүйір бетінің ауданы қолданылады. Басқа нұсқалар белгілі. Негіздің ауданы Q, осьтік қиманың ауданы M. S табу керек. Басқаша айтқанда, цилиндрдің жалпы ауданы.

2-мысал.

Цилиндр берілген. Бүйір бетінің ауданын мәселені шешу қадамдарының бірінде табу керек. Биіктігі=4 см, радиусы=2 см екені белгілі. Стереометриялық фигураның жалпы ауданын табу керек.