Түзу призманың бетінің ауданы: формулалар және есептің мысалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Көлем және бет ауданы үш өлшемді кеңістікте шекті өлшемдері бар кез келген дененің екі маңызды сипаттамасы болып табылады. Бұл мақалада біз көп қырлылардың белгілі класын – призмаларды қарастырамыз. Атап айтқанда, түзу призманың бетінің ауданын қалай табуға болады деген сұрақ ашылады.

Призма дегеніміз не?

Призма деп бірнеше параллелограммдармен және параллель жазықтықта орналасқан екі бірдей көпбұрыштармен шектелген кез келген көпбұрышты айтады. Бұл көпбұрыштар фигураның негізі болып саналады, ал оның параллелограммдары қабырғалары болып табылады. Негіздің жақтарының (бұрыштарының) саны фигураның атын анықтайды. Мысалы, төмендегі суретте бесбұрышты призма көрсетілген.

Негіздердің арасындағы қашықтық фигураның биіктігі деп аталады. Егер биіктік кез келген бүйір жиектің ұзындығына тең болса, онда мұндай призма түзу болады. Түзу призманың екінші жеткілікті қасиеті - оның барлық қабырғалары тіктөртбұрыштар немесе шаршылар. Алайда, егерЕгер бір қабырғасы жалпы параллелограмм болса, онда фигура көлбеу болады. Төменде төртбұрышты фигуралар мысалында түзу және қиғаш призмалардың көрнекі түрде қалай ерекшеленетінін көре аласыз.

Түзу призманың бетінің ауданы

Егер геометриялық фигураның n бұрыштық негізі болса, онда ол n+2 жақтан тұрады, оның n-і тіктөртбұрыштар. Негіздің қабырғаларының ұзындықтарын a_i деп белгілейік, мұндағы i=1, 2, …, n және фигураның биіктігін белгілейік, ол фигураның ұзындығына тең. бүйір жиегі, h. Барлық беттердің бетінің ауданын (S) анықтау үшін негіздердің әрқайсысының S_{o ауданын және жақтардың барлық аудандарын (тіктөртбұрыштар) қосыңыз. Осылайша, жалпы түрде S формуласын келесідей жазуға болады:}

S=2S_o+ S_b

Мұндағы S_{b - бүйір бетінің ауданы.}

Түзу призманың табаны абсолютті кез келген жалпақ көпбұрыш болуы мүмкін болғандықтан, S_{oесептеуге арналған жалғыз формуланы беруге болмайды және бұл мәнді анықтау үшін жалпы алғанда жағдайда геометриялық талдау жасау керек. Мысалы, егер негіз а жағы бар дұрыс n-бұрыш болса, онда оның ауданы мына формула бойынша есептеледі:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

S_{b мәніне келетін болсақ, оны есептеу үшін өрнекті беруге болады. Түзу призманың бүйір бетінің ауданы:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Яғни, мәнS_{b фигураның биіктігі мен табанының периметрінің көбейтіндісі ретінде есептеледі.}

Есептерді шешу мысалы

Алған білімімізді келесі геометриялық есепті шығаруға қолданайық. Қабырғалары тік бұрышы 5 см және 7 см болатын табаны тікбұрышты үшбұрыш болатын призма берілген. Фигураның биіктігі 10 см. Тік бұрышты үшбұрышты призманың бетінің ауданын табу керек.

Алдымен үшбұрыштың гипотенузасын есептейік. Ол мынаған тең болады:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 см}

Енді тағы бір дайындық математикалық операцияны орындайық – негіздің периметрін есептеңіз. Бұл болады:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 см

Фигураның бүйір бетінің ауданы P мәні мен биіктігі h=10 см көбейтіндісі ретінде есептеледі, яғни S_b=206 см ^2.

Бүкіл беттің ауданын табу үшін табылған мәнге екі негіз аймағын қосу керек. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы катеттердің көбейтіндісінің жартысымен анықталатындықтан, біз мынаны аламыз:

2S_o=257/2=35см²

Сонда біз түзу үшбұрышты призманың бетінің ауданы 35 + 206=241 см болатынын аламыз2.